VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме.

Матрица — это прямоугольная таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Размерностью матрицы называется величина m×n, где m-число строк, n-число столбцов.

Впервые матрица появилась в Древнем Китае и носила название «волшебный квадрат». Чуть позже она стала известна и арабским математикам. В конце XVII века швейцарский ученый Габриэль Крамер разработал свою теорию, а в 1751 году опубликовал один из методов решения систем линейных уравнений «правило Крамера». Также в этот период был создан «метод Гаусса». Огромный вклад в развитие теории матриц в середине XIX внесли такие известные ученые как Уильям Гамильтон и Артур Кэли. Наряду с ними развивали данную теорию немецкие математики Карл Вейерштрасс и Фердинанд Георг Фробениус, а также, французский математик Мари Энмон Камиль Жордан. В 1850 году Джеймс Сильвестр ввел современное понятие матрицы.

Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй. Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Обуславливается это тем, что матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты. Одним из примеров может послужить таблица распределения ресурсов по различным отраслям.

Ресурсы	Отрасли экономики
	Промышленость	Сельское хозяйство	Торговля
Трудовые ресурсы	4,8	6,7	7,1
Водные ресурсы	3,1	2,5	5,8
Электроэнергия	5,6	4,3	3,4

Данная таблица может быть записана в виде матрицы:

Так, например, элемент матрицы показывает, сколько водных ресурсов потребляет сельское хозяйство, а элемент матрицы показывает, сколько трудовых ресурсов потребляет торговля.

Другим примером может служить следующая задача:

предприятие выпускает три вида продукции , , , и на производство данной продукции использует два вида сырья,, :

где каждый элемент показывает, сколько сырья j-того типа может быть израсходовано на производство продукции i-того типа. Стоимость каждого типа сырья задана матрицей-столбцом , а план выпуска продукции задан матрицей-строкой . Таким образом, мы получим: затраты на сырьё (единиц), а стоимость второго сырья (единиц).

Следовательно, общая стоимость сырья может быть записана в виде матрицы:.

Отметим, что общую стоимость сырья P можно вычислить и в ином порядке: для начала, вычислим матрицу Z стоимостей затрат сырья:

Общая стоимость сырья равна:

Одинаковость данных результатов (92200) получена благодаря выполнению ассоциативного закона произведения матриц:

Далее рассмотрим задачу:

В таблице приведены данные о производительности 5 предприятий, которые выпускают 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, так же длительность работы всех предприятий в году и цена каждого вида сырья.

Вид изделия №	Производительность данных предприятий					Затраты видов сырья изделия
	1	2	3	4	5	1	2	3
1	5	6	4	7	8	2	4	5
2	1	3	5	4	1	3	6	7
3	9	16	1	5	7	4	5	6
4	4	11	8	6	5	5	9	7
	Количество полных рабочих дней в году					Цена различных видов сырья
	1	2	3	4	5	1	2	3
	210	160	180	130	150	50	60	70

Необходимо определить:

1. Производительность каждого предприятия по каждому типу изделий;

2. Потребность каждого предприятия по каждому типу сырья;

3. Сумму кредитования предприятий для закупки сырья, которое необходимо для выпуска продукции указанных видов и количеств.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: составим матрицы, которые характеризуют весь экономический спектр производства. Построим матрицу производительности предприятий по всем типам продукции:

Каждый столбец данной матрицы соответствует производительности по каждому виду продукции. Исходя из этого, годовую производительность i- того предприятия по каждому виду продукции можно получить благодаря умножению i- того столбца матрицы C на количество рабочих дней в году для данного предприятия (i = 1, 2 ,3, 4, 5). Следовательно, годовую производительность каждого предприятия по каждому из изделий можно представить в виде матрицы:

Матрица затрат сырья на единицу изделия (данные показатели по условию являются одинаковыми для всех предприятий) имеет следующий вид:

Расход по типам сырья на предприятиях можно описать при помощи произведения матрицы D на матрицу C:

Где j-ая строка соответствует номеру типа сырья, а i-ый столбец - номеру предприятия согласно таблице (j =1, 2, 3; i =1, 2, 3, 4, 5). На второй вопрос задачи ответ можно получить аналогично, умножив столбцы матрицы DС на соответствующее количество рабочих дней в году - это годовая потребность предприятий в каждом типе сырья:

Введем вектор стоимости сырья:

Тогда стоимость годового запаса сырья для каждого предприятия получим путем умножения вектора на матрицу :

Исходя из этого, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора .

Из вышеизложенного следует, что матрицыимеют ряд достоинств: позволяют в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и закономерности, дают возможность решать сложные задачи. Также с помощью матриц можно с минимальным количеством затрат труда и времени обработать большой статистический материал, различные данные, которые характеризуют структуру и особенности социально-экономического комплекса.

Список используемой литературы

1. Красс М. С. Математика в экономике. М.: ФБК-ПРЕСС, 2005,472с

2. Мамаев И. И., Бондаренко В. А. Экономические задачи на составление систем линейных алгебраических уравнений/ Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития регионов: материалы ежегодной 78-й научно-практической конференции Ставропольского ГАУ «Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу». Секция «Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона, г. Ставрополь, 16 апреля 2014г.-Ставрополь: ООО «Альфа Принт», 2014. С. 251-255.

3. Бондаренко В. А., Мамаев И. И., Сахнюк П. А., Сахнюк Т. И. Опыт использования математических моделей современных экономических исследований в учебном процессе./ Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона.-Ставрополь, 2013. С. 233-236.

4. Бондаренко В. А., Мамаев И. И., Сахнюк П. А., Сахнюк Т. И. Модель совершенствования мотивации обучения студентов экономических специальностей в учебном процессе// Информационные системы и технологии как фактор в развитии экономики региона: Сборник материалов Международный научно-практической конференции/ СтГАУ.-Ставрополь: Бюро Новостей, СтГАУ, 2013. С. 225-228.

5. Мамаев И. И., Бондаренко В. А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры//Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных трудов по материалам Международно-практической конференции.-Ставрополь, СтГАУ, 2013. С. 268-271.

6. Мамаев И.И., Долгополова А.Ф. Профессиональная направленность в обучении студентов математическим дисциплинам/Аграрная наука, творчество, рост. -2013. -С. 278-280.

7. Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач//Современные наукоемкие технологии. -2013.-№6. -С.91-93.

Код для цитирования: Скопировать