VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Математическая модель — это близкое к существующему описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики.

Цель моделирования: исследовать объекты и предугадывать результаты наблюдений.

Математическое моделирование незаменимо в тех случаях, когда эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Невозможно проверить правильность той или иной теории.

Основные этапы математического моделирования:

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — некая конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель.

2) Решение математической задачи. Разработка алгоритмов и численных методов решения задачи.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Полученные сведения преобразовать для понятного объяснения.

4) Проверка адекватности модели. Согласование результатов эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Математическое моделирование бывает:

- Аналитическое - процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических и т.д.) или логических условий.

- Имитационное – моделирование, при котором реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются все явления, входящие в процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности. Основным преимуществом имитационного моделирования перед аналитическим является возможность решения более сложных задач.

- Комбинированное – объединяет в себе предыдущие два вида моделирования: аналитическое и имитационное. Это позволяет получить более точные показатели для задачи

Симплекс метод - это универсальный метод для решения линейной системы уравнений или неравенств и линейного функционала, так как позволяет решить задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде. Если система ограничений задана в стандартной форме, то ее переводят в каноническую форму путем добавления новых переменных.

Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения задачи линейного программирования заключается в следующих моментах:

- умение находить начальный опорный план;

- наличие признака оптимальности опорного плана;

- умение переходить к нехудшему опорному плану.

На примере хлебопекарного магазина «Шоколадница» рассмотрим задачу:

В «Шоколаднице» изготавливают два вида тортов «Зимняя вишня». Нормы затрат продуктов на один торт и запасы хлебопекарного магазина выглядят следующим образом:

Название продуктов	Запасы на один торт (у.д.е.)		Запасы
	I	II
Мука	2	3	18
Вишня	8	7	56
Темный шоколад	0	3	15
Белый шоколад	3	0	18
Маргарин	1	2	6
Сахарный песок	6	3	18

Необходимо составить план выпечки тортов для максимизации прибыли, если первый вид торта стоит 10 у.д.е., а второй – 12 у.д.е., причем в ассортименте должны быть оба вида тортов.

Для решения поставленной задачи применим наиболее доступный и простой метод линейного программирования. Составим экономико-математическую модель задачи, состоящую из системы ограничений, условия не отрицательности и целевой функции с видом оптимизации. Введём обозначения: примем, что будет выпускаться штук первого вида торта, а второго вида торта штук.

Так как в ассортименте должны быть оба вида тортов, то количество выпускаемой продукции должно быть положительным.

Математическая модель данной задачи примет вид:

.

Запишем систему ограничений в каноническом виде, для этого введем дополнительные переменные: соответственно для каждого уравнения системы, и подготовим эту систему и целевую функцию для решения симплекс-методом.

Далее идёт процесс работы с симплекс-таблицами.

Симплекс-таблица №1.

	18	2	3
	56	8	7
	15	0	3
	18	3	0
	6	1	2
	18	6	3
	0	-10	-12

Находим разрешающие столбец и строку с учётом того, что, разрешающий элемент и выполняем пересчёт элементов таблицы. Приходим к следующим таблицам.

Симплекс-таблица №2

	9	1/2	-3/2
	35	9/2	-7/2
	6	-3/2	-3/2
	18	3	0
	3	1/2	1/2
	9	9/2	-3/2
	36	-4	6

Симплекс-таблица №3

	8	-1/3
	26	-1
	9	1/3
	12	-2/3
	2	-8/9
	2	2/9	1/3
	4	8/9

По таблице видим, чтобы максимизировать прибыль от реализации торта «Зимняя вишня» первого вида нужно произвести 2 торта, а второго вида также 2 торта.

Вывод: с помощью симплекс-метода мы смоделировали ситуацию и узнали все необходимые показатели при данных условиях.

Нормативы потребления компонент торта обычно не меняются, а вот если изменится количество запасов продуктов, необходимо будет поставленную задачу пересчитывать заново.

Математическое моделирование с применением симплекс метода позволяет предугадать расходы/доходы, будущие траты фирмы или ее потери. При правильном расчете с учетом всех внутренних и внешних факторов мы можем предугадать ситуацию на предприятии.

Список используемой литературы

1. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Перспективы применения математических методов в экономических исследованиях // Аграрная наука, творчество, рост / Ставрополь, 2013. 252-254 с.

2. Исследование операций (учебное пособие) / Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 118-119.

3. Математические методы в экономике [Электронный ресурс] — URL : http://ru.wikipedia.org/wiki/Математическиеметодывэкономике.

4. Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Попова С.В., Крон Р.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Тынянко Н.Н. Комплект рабочих тетрадей по курсу высшей математики для экономических специальностей. // Международный журнал экспериментального образования. 2009. № S4. С. 22.

5. Попова С.В., Смирнова Н.Б. О прикладной направленности математики в высшей школе. // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: сб. научных статей по материалам Международной научно-практической конференции / Ставрополь: АГРУС Ставропольского ГАУ, 2013. С. 260-264.

6. Смирнова Н.Б., Попова С.В. Проблемы создания математических моделей эколого-экономических систем в процессе взаимодействия человека и окружающей среды // Культура и общество: история и современность материалы III Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции. Филиал РГСУ в г. Ставрополь; под редакцией О. Ю. Колосовой, Т. В. Вергун, Р. Ф. Гударенко. г. Ставрополь, 2014. С. 185-190.

7. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры// Аграрная наука, творчество, рост/ Сборник научных статей по материалам научно-практической конференции. – Ставрополь, из-во «АГРУС», 2013г. С. 266-268.

8. Смирнова Н.Б., Демьянчук У.В. Применение математики в экономике // Культура и общество: история и современность: материалы II Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции / под редакцией: Колосовой О.Ю., Гударенко Р.Ф., Ряснянской Н.А., Красиковой Е.А. Ставрополь, 2013. с. 144 – 147.

9. Линейная алгебра (учебное пособие) / Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 115.

10. Смирнова Н.Б., Попова С.В. Системный подход к образованию, его проблемы и перспективы развития. // Культура и общество: история и современность: сб. материалов II Всероссийской (с международным участием) науч.-практ. конф. под редакцией: Колосовой О.Ю., Гударенко Р.Ф., Ряснянской Н.А., Красиковой Е.А. / Ставрополь, 2013. С. 41 - 47.

Код для цитирования: Скопировать