VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В современном мире все чаще возникает необходимость прогнозировать наступление того или иного события. Одним из инструментов позволяющих это сделать является раздел математики теория вероятностей.

Впервые упоминания о теории вероятностей появились еще до нашей эры и уже в средние века она начала формироваться как наука.

В 1657 году была опубликована первая теория вероятностей Христиана Гюйгенса, в которой были сформулированы основные понятия, и даже предпосылки теорем сложения и умножения вероятностей. Впоследствии теория вероятностей сформировалась благодаря русским математикам П.Л.Чебышёву, А.М. Ляпунову и А.А. Маркову. С помощью ранее изданных работ английских и австрийских ученых они создали основу для расширения теории вероятностей, доказали законы больших чисел и центральной предельной теоремы, а также была разработана теория цепей Маркова.

Современный вид теория вероятностей приняла благодаря аксиоматике Колмагорова, затем выделилась в один из разделов математики и приобрела конечный вид.

Теория вероятностей находит применение во многих сферах жизнедеятельности: в биологии и медицине (описания биологической изменчивости), в психологии (установление надежности проводимых тестов), в спорте и др. Особое значение теория вероятностей получила при решении экономических задач. Множество аналитических обзоров, прогнозов и рекомендаций по развитию и функционированию финансовых рынков - все эти данные составляются с использованием современных методов статистических исследований. При анализе состояния финансовых рынков обычными методами, часто получаются противоречивые данные, с помощью которых нельзя однозначно и эффективно принимать решения. Так как большинство событий, происходящих на финансовом рынке, являются случайными, следовательно, при анализе и исследовании финансовых рынков используют специальные методики, основанные на законах теории вероятности. На рынках непрерывно заключается большое количество сделок и совершаются торговые операции. Некоторые из них в дальнейшем могут привести к убыткам, а другие принести определенную прибыль. Точно предсказать последствия совершаемых операций невозможно, так как их результат зависим от множества непредсказуемых факторов.

Рассмотрим применение теории вероятностей на примере.

Пусть финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность, что рынок акций будет расти в это же время, равна 0,70. Аналитик также считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,02. Используя данную информацию, определите вероятность того, что рынок акций будет развиваться, а норма процента падать в течение данного периода?

Приведем решение данной задачи. Вероятность роста акций P1=0,7; вероятность того, что акции падают во время данного периода P2=0,2. Следовательно, вероятность того,что рынок акций будет развиваться, а норма процента падать в течение данного периода найдём с помощью классического определения вероятности.

P=P1 * P2

P=0,7*0,2=0,14 или 14%.

Таким образом, рынок акций будет расти, а норма процента падать в течение определенного периода с вероятностью 14%.

Другой тип задач можно выразить следующим примером.Три разные фирмы разместили свои акции на торгах в отношении 1:2:3. Практика показала, что акции, поступающие от первой, второй и третьейфирмы, успешно продаются в 70%, 80%, 90% случаях соответственно. Определите вероятность того, что акции будут успешно распроданы в течение 1 месяца.

Решение: пусть событиеА состоит в том, что акция была продана в течение одного месяца.

Введем Hi= акцияпоступила от i-й фирмы, i=1, 2, 3.

По условию

PAH1= 0,70; PAH2=0,80; PAH3=0,90.

С помощью классического определения вероятности находим

PH1= 11+2+3≈0,167;

P(H2)=21+2+3≈0,333;

PH3=31+2+3≈0,5.

По формуле вероятности находим

PA=PH1*AH1+PH2*AH2+PH3*AH3=0,167*0,7+0,333*0,8+0,5*0,9≈0,8333.

То есть, вероятность того, что акции будут успешно распроданы, в течение 1 месяца составляет 0,8333.

И, наконец, рассмотрим задачу, решение которой основывается использовании теории вероятностей при повторении независимых испытаний. Банк выставил на продажуn акций двух разных предприятий. Вероятность продажи акций любогопредприятия равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно проданных акций будет между m1и m2. Найти наивероятнейшее число проданных акций среди n и его соответствующую вероятность.

Решение: используем интегральную теорему Лапласа:

Pnm1, m2=Ф m2-npnpq- Ф m1-npnpq,

где n=6400; p=0,5;q=1-p=0,5; m1=3120; m2=3200;

Ф-функция Лапласа (значения берутся из таблицы). Подставляем:

P64003120, 3200=Ф 3200-6400*0,56400*0,5*0,5- Ф 3120-6400*0,56400*0,5*0,5= Ф0-Ф-2=0+Ф2=0,4772.

Найдём наивероятнейшее число m0 проданных акций среди n из неравенства:

np-q≤m0≤np+q,

6400*0,5-0,5≤m0≤6400*0,5+0,5,

3199,5≤m0≤3200,5.

Отсюда m0=3200.

Найдем вероятность по локальной теореме Лапласа:

Pnm0=1npq φ m0-npnpq.

Подставляем:

P6400 3200=16400*0,5*0,5 φ 3200-6400*0,56400*0,5*0,5=0,025*φ0=0,025*0,3989=0,00998.

Следовательно, вероятность одновременно проданных акций будет 0,4772; наивероятнейшее число проданных акций средиn будет 3200, а его соответствующая вероятность равна 0,0099

Таким образом, теория вероятностей является неотъемлемой частью экономической деятельности человека, помогает принимать те или иные решения, исследовать полученные результаты и добиться поставленных целей в процессе различных видов деятельности.

Список использованной литературы

1. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. // Учебник. М.: изд-во ЛКИ, 2010г.-600стр.

2. Долгополова А. Особенности применения методов математического моделирования в экономических исследованиях/ А. Ф.Долгополова, Т. А. Гулай, Д. Б. Литвин// Кант: экономика и управление. - 2013 – №1 - С. 62-66.

3. Долгополова А.Ф., Морозова О.В., Долгих Е.В., Крон Р.В., Тынянко Н.Н., Попова С.В., Смирнова Н.Б. Теория вероятностей для экономических специальностей на базе Excel (практикум). //Международный журнал экспериментального образования. 2009. № S4. С. 19.

4. Теория вероятностей и математическая статистика/А. Ф. Долгополова, Т. А. Гулай, Д. Б. Литвин, С. В. Мелешко//Международный журнал экспериментального образования. 2012. № 11. С. 51-52.

5. Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Тынянко Н.Н., Долгих Е.В., Крон Р.В., Попова С.В., Смирнова Н.Б., Демчук А.А. Математическая статистика для экономических специальностей на базе Excel (практикум)//Международный журнал экспериментального образования. 2009. № 4. С. 21.

6. Мелешко С.В., Невидомская И.А., Донец З.Г. Организация самостоятельной работы студентов при решении задач теории вероятностей./ Финансово-экономические проблемы развития региона и учетно-аналитические аспекты функционирования предпринимательских структур. Сб. науч. тр. по мат. Ежегодной 77-й научно-практической конференции ФГБОУ ВПО СтГАУ "Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу". 2013. С. 486-489.

Код для цитирования: Скопировать