VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов. Они позволяют создавать теоретические модели, а так же отображать существующие в экономической жизни связи, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Рассмотрим типичные задачи с использованием математических методов [1-3]. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А: 1 2 3 4. Вид сырья

Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед. Составим вектор-план выпуска продукции: =(60, 50, 35, 40).

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Рассмотрим типичные задачи, возникающие в ходе хозяйственной деятельности предприятий. Спрогнозируем величину выпуска продукции, исходя из сведений известных о запасах сырья. Фирма выпускает 3 вида продукции. При этом используется 3 типа сырья. Таблица отражает основные параметры технологии производства. Определим объемы продукции, которые возможно выпустить при заложенных данных о запасах сырья. Такого рода вопросы неизбежно возникают при деятельности любого предприятия. Полученные в ходе решения ответы на поставленные вопросы дадут возможность для прогнозных оценок и заключений, а также для создания планов по микроэкономическим показателям предприятий.

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, вес.ед./изд.			Запас сырья, вес.ед.
	1	2	3
1 2 3	6 4 5	4 3 2	5 1 3	2400 1450 1550

Обозначим неизвестные объемы выпускаемой предприятием продукции через неизвестные величины x₁, x₂ и x₃. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать уравнения, отражающие баланс продукции и сырья из которого она сделана. Получаем систему 3 уравнений с 3 неизвестными:

Решение систему уравнений приводит к следующим результатам (с учетом заданных значений о сырье):

Рассмотрим наиболее общую постановку задачи прогнозирования объемов продукции. Пусть

- матрица, отражающая расход сырья Т видов при выпуске продукции. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор

Вектор = (х₁, х₂, ... , xn) характеризует объем выпуска продукции и определяется из решения системы Т уравнений с n неизвестными

Здесь индекс Т означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.

Рассмотрим задачи использование линейной модели торговли. Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х₁, х₂, …, хn, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена продукцией.

Пусть а_ij - доля бюджета х_j, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов а_ij:

Тогда, если весь объем средств расходуется только на закупку сырья извне (это можно рассматривать как торговый бюджет). Тогда справедливо равенство

Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

Условие сбалансированной торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. , или

Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов xn, получаем

Как можно заметить, в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Таким образом, мы получим неравенство

откуда следует, что возможен только знак равенства.

Условия принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме: A_x=x

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить: x: (A-E)x=0

Таким образом, применение методов оптимального решения в деятельности предприятий приводит к экономии материальных средств, экономии времени и улучшению производительности. Кроме того, данные методы могут быть полезны и в задачах экспериментального исследования различного рода процессов [4-15].

Список использованной литературы

1. Тарасов В.Л. Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие. - Н.Новгород: ННГУ, 2003. - 64с.

2. Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. Наука, 2011. — 760 с.

3. Грешилов А.А. Прикладные задачи математического программирования: М.: Логос, 2006. - 288 с.

4. Yanovskii A.A., Simonovskii A.Ya., Klimenko E.M. On the Influence of the Magnetic Field upon Hydrogasdynamic Processes in a Boiling Magnetic Fluid // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. – 2014. – Vol. 50, No. 3, pp. 260–266.

5. Яновский А.А., Симоновский А.Я., Клименко Е.М. К вопросу о влиянии магнитного поля на гидрогазодинамические процессы в кипящей магнитной жидкости // Электронная обработка материалов. – 2014. – № 3, С. 66-72.

6. Яновский А.А., Спасибов А.С. Математическое моделирование процессов в кипящих намагничивающихся средах // Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 183-186.

7. Яновский А.А., Симоновский А.Я., Савченко П.И. Моделирование гидрогазодинамических процессов в кипящей магнитной жидкости // В сборнике: информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона /Ставрополь, 2013. С. 159-163.

8. Яновский А.А., Симоновский А.Я. Математическое моделирование формы пузырька пара в кипящей магнитной жидкости В сборнике: Финансово-экономические проблемы развития региона и учетно-аналитические аспекты функционирования предпринимательских структур Сборник научных трудов по материалам Ежегодной 77-й научно-практической конференции ФГБОУ ВПО "Ставропольский государственный аграрный университет" "Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу". 2013. С. 490-493.

9. Игропуло В.С., Яновский А.А. Математическое моделирование некоторых ориентационных процессов на наноповерхностях // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. т. 15. № 3. C. 484-485.

10. Литвин Д.Б., Яновский А.А., Донец З.Г. Интерполяция и аппроксимация данных в matlab // в сборнике: информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона 2013. с. 97-99.

11. Яновский А.А. А.Я. Симоновский, Холопов В.Л. Влияние магнитного поля на процессы парообразования в кипящей магнитной жидкости // Фундаментальные исследования. 2013. №8(2). С. 332-337.

12. Яновский А.А. Тепло- и массоперенос при кипении магнитной жидкости на неограниченной поверхности с точечным подводом тепла / Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №4(3) С. 1289-1290

13. Симоновский А.Я., Яновский А.А. Влияние однородного магнитного поля на теплообмен при кипении магнитной жидкости на неограниченной поверхности // Наука. Инновации. Технологии. 2011, №6-1, С. 272-278.

14. Гулай Т.А. Рабочая тетрадь «математическая логика и теория алгоритмов» (учебное пособие) / Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Яновский А.А. // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 8-2. С. 169.

15. Симоновский А.Я., Родина Е.В., Цыплакова О.Н., Донец З.Г. Теплообмен в магнитной жидкости, кипящей на горизонтальной поверхности в однородном магнитном поле // В сборнике: Аграрная наука, творчество, рост. 2014. С. 361-364.

Код для цитирования: Скопировать