VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Современные требования к организации обучения школьников согласно модернизации российского образования нацеливают учителя на развитие творческой, социально-активной личности, выявление ее познавательных интересов и потребностей, выдвигает задачу развития познавательных способностей, активизации самостоятельности учащихся. Особое место среди всех видов и форм деятельности обучаемых, способствующих активизации познавательной самостоятельности, реализации творческого потенциала школьников занимает участие школьников в олимпиадах.

При решении задач, предлагаемых на олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе. Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относятся неравенства Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Целью работы является систематизация теоретических сведений и подбор задач для обучения школьников методам решения олимпиадных задач на неравенствао средних.

При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Рассмотрим n неотрицательных чисел − x₁ , x ₂ , …, xn. Средним арифметическим этих чисел называется число 1nx1+x2+…++xn=An, а средним геометрическим этих чисел называется число nx1x2…xn=Gn. В случае, когда числа x₁, x₂, …, xnявляются положительными, вводят среднее гармоническое (пропорциональное) этих чисел − число Hn=n1x1+1x2+…+1xn . Справедлива следующая

Теорема 1. Если x₁, x₂, …, xn– неотрицательные числа, то имеет место неравенство

1nx1+x2+…+xn≥nx1x2…xn(1)

Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенстваx1-x22≥0.

Действительно, x1-x22=x1-2x1x2+x2, откуда

x1+x22≥x1x2(2)

Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x₁ =x₂

Существует связь средними величинами:

Теорема 2. Если x₁, x₂, …, xn – положительные числа, то имеют место неравенства

An ≥Gn ≥ Hn .

Действительно, применяя к числам 1x1,1x2,…,1xnнеравенство Коши, получаем:

1n1x1+1x2+…+1xn≥n1x1*1x2*…*1xn=1Gn, (3)

откуда Gn≥ Hn .

Пусть x₁, x₂, …, xn– произвольные числа. Средним квадратичным этих чисел называется число –Kn=x12+x22+…+xn2n.

Теорема 3. Если x₁, x₂, …, xn– положительные числа, то имеют место неравенства

Kn≥ An≥ Gn≥ Hn, илиx12+x22+…+xn2n≥x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn≥n1x1+1x2+…+1xn. (4)

Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.Для двух чисел неравенство (4) можно записать так

a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b,

которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,

a2+b22≥a+b2a2+b22≥a+b 242a2+2b2≥a2+2ab+b2

a2-2ab+b2≥0 a+b 2≥0.

Аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ≥ An .

Далее на занятии предлагаются следующие задачи для обсуждения с учениками:

Задача 1.Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что (1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1−a)(1−b)(1−c).

Решение. Поскольку a+b+c=1, то 1+a= (1− b)+ (1− c). Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим x+y≥2xy, получаем 1+a≥21-c1-b.

Аналогично 1+b≥21-a1-c,1+c≥21-b1-a.

Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство.

Для закрепления навыков использования неравенства Коши можно предложить задачи:

Задача 2.Для неотрицательных чисел a, b, cвыполняется условие a² +b² +c² =1. Доказать, что a+b+c≤3.

Задача 3.Дано: a, b, c≥0, a+b+c=1. Доказать неравенство:

1-a1-b1-c≥8abc.

Задача 4. Доказать неравенство:abc ≥a+b-ca+c-bb+c-a.

Задача 5. .Дано: x, y, z>0, xyz=1. Доказать неравенство

3x+2y+z3y+2z+x3z+2x+y≥216.

Материал занятия по методам доказательства неравенств направлен на развитие логического мышленияучащихся, обучение методам доказательства утверждений с использованием неравенств о средних. Знакомство учащихся с неравенством Коши способствует более эффективной подготовке к олимпиадам по математике.

Библиографический список

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1972. – 416 с.: ил.

2. Абатурова В.С.,Цопанов И.Д. Неравенства.Пособие для подготовки к олимпиаде по математике. – М.: ЮМИ ВНЦ РАН, 2012. – 96 с.

3. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. – Мн.: Полымя, 1998. – 108 с.

Код для цитирования: Скопировать