VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В статье рассматривается применение различных методов к решению дискретного уравнения Сильвестра и приводится анализ полученных результатов.

Уравнение Сильвестра возникает во многих приложениях, поэтому его решение является важным в задачах линейной алгебры.

Рассмотрим дискретное уравнение Сильвестра:

АХG – X=С.

А – действительная матрица размера m×m, G - действительная матрица размера n×n и С - действительная матрица m×n заданы, а X - искомая матрица m×n.

Теорема [1,2]:Дискретное уравнение Сильвестра однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда

λiλj≠1 ∀λi∈σA, ∀λj∈σG.

Найдем решение дискретного уравнения Сильвестра при помощи формы Шура.

Напомним, что формой Шура матрицы называют матрицу, полученную в результате унитарного подобия, которая имеет треугольный вид.

Трансформируем матрицу А к форме Шура[1,2] при помощи ортогональной матрицы U, а G при помощи ортогональной матрицы V:

A=UTA U=А11 0 … 0А21 А22 … 0…………………. Аk1 Аk2 Аkk , G=VTG V=G11 G12 … G1l0 G22 … G2l…………………. 0 0 Gll .

Получим нижнетреугольную матрицу A и верхнетреугольную матрицу G.

Диагональные блоки G11, ..., Gll матрицы G имеют порядок 1 либо 2. Умножим обе части уравнения Сильвестра слева на UT, а справа на V:

(UTAU)UTXVVTGV-UTXV=UTCV.

Обозначим через C=UTCV и Y=UTXV, запишем уравнение в виде:

AYG-Y=C.

Это уравнение распадается на простейшие матричные уравнения, которые решаются последовательно как линейные системы. Возвращаясь к предыдущему уравнению, восстанавливаем искомую матрицу X:

X=UYVT.

Рассмотрим решение этого уравнения методом произведения Кронекера[2].

Обозначим за матрицу AB:

AB=GT⊗A-Imn.

Заметим, что вектор левой части уравнения Сильвестра равен произведению матрицы AB на вектор матрицы Х. Тогда уравнение Сильвестра можно записать в виде:

vec AXG-X=ABvec X.

ABvec X=vec С.

Откуда можно выразить вектор Х:

vecX=AB-1vec(С).

Используя метод произведения Кронекера, могут возникнуть большие погрешности вычисления при обращении матрицы AB, так как она плохо обусловлена. Также этот метод требует больше памяти для хранения данных при расчетах.

Использование формы Шура, является эффективным средством численного решения уравнения Сильвестра, так как основано на вычислении ортогональных матриц. Этот способ решения уравнения Сильвестра более быстрый и удобный, кроме того он является численно устойчивым алгоритмом.

Список литературы:

1. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – [13] с.154-156.

2. Antoulas A.C.: Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. - Department of Electrical and Computer Engineering Rice University Houston, Texas 77251-1892, USA. – 2004. [6]– с.145-169.

Код для цитирования: Скопировать