VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Для решения метрических задач, а также для общего обозрения используются карты крупных, средних и мелких масштабов. С этой целью, независимо от того, рассматриваем ли мы Землю как сферу или как сфероид, мы должны преобразовать ее трехмерную поверхность в плоское изображение на карте. Это преобразование, выполняемое по математическим законам, называется картографической проекцией. Картографические проекции используются в навигации, астрономии, кристаллографии и др. Их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и других небесных тел. Различие требований к картам разного пространственного охвата, тематики и назначения, а также сами особенности конфигурации картографируемой территории и ее положение на Земном шаре привели к огромному многообразию картографических проекций.

Разложить сфероид на плоскость нисколько не легче, чем расплющить кусок апельсиновой кожуры – он будет разорван. При отображении Земной поверхности в двухмерном пространстве искажается форма, площадь, длина или направление объектов (рис. 1).

Рис. 1. Отображение земной поверхности в двухмерном пространстве

Картографические проекции используют математические формулы, определяющие связь между сферическими координатами точек на поверхности эллипсоида или шара и соответствующими координатами точек на плоскости карты.

Различные проекции имеют разные типы искажений. Некоторые проекции разработаны с учетом минимизации искажений одной или двух характеристик данных. Проекция может сохранять площадь объектов, но изменять их форму.

Поскольку карты являются плоскими, в качестве вспомогательных поверхностей некоторых простейших проекций используются геометрические фигуры, которые можно развернуть на плоскость без растяжения их поверхностей. Они называются развертывающимися поверхностями. Типичными примерами являются конусы, цилиндры и плоскости. Картографические проекции систематически проецируют местоположения с поверхности сфероида на условные местоположения на плоской поверхности, используя уравнения картографических проекций. Многие обычные картографические проекции можно классифицировать в соответствии с используемой для них проекционной поверхностью: конические, цилиндрические или азимутальные (рис. 2) [1].

Рис. 2. Типы проекций

Проекции на плоскость проецируют картографические данные на плоскую поверхность, касающуюся глобуса. Проекция на плоскость также известна также как азимутальная или зенитная проекция. Этот вид проекции обычно идет по касательной к глобусу в одной точке, но может быть и секущим. Точкой контакта может быть Северный полюс, Южный полюс, точка на экваторе или любая точка между ними. Эта точка определяет используемую ориентировку и является фокусом проекции. Фокус определяется центральной долготой и центральной широтой. Ориентировка проекций может быть полярной (нормальной), экваториальной (поперечной) и косой (рис. 3).

Рис. 3. Ориентировка проекций

Полярные проекции представляют собой простейшую форму этого вида проекций. Параллели широты отходят от полюса как концентрические окружности, а меридианы представлены прямыми линиями, которые пересекаются на полюсе под своими истинными углами. При всех остальных ориентировках проекции на плоскость будут иметь углы координатной сетки 90° в своем центральном фокусе. Направления из фокуса являются точными.

Большие окружности, проходящие через фокус, представлены прямыми линиями, таким образом, кратчайшим расстоянием от центра до любой другой точки на карте является прямая линия. Модели искажения площадей и форм представляют собой круги вокруг фокуса. Поэтому азимутальные проекции лучше приспособлены для отображения округлых территорий, чем прямоугольных. Проекции на плоскость используются чаще всего для картографирования полярных регионов.

В некоторых проекциях на плоскость данные о поверхности рассматриваются со специфической точки в пространстве. Эта точка обзора определяет, как сферические данные будут спроецированы на плоскую поверхность. Перспектива, в которой рассматриваются все местоположения, в различных азимутальных проекциях различная. Точкой перспективы может быть центр Земли, точка на поверхности, прямо противоположная фокусу, или внешняя точка по отношению к глобусу, как будто ее рассматривают со спутника или с другой планеты.

Азимутальные проекции частично классифицируются по своему фокусу и, если это возможно, по точке перспективы. На рисунке 4 приведено сравнение трех плоскостных проекций с полярными аспектами, но с различными положениями точки перспективы. В Гномонической проекции данные о поверхности рассматриваются от центра Земли, в то время как в Стереографической проекции они рассматриваются от одного полюса к противоположному полюсу. В Ортографической проекции Земля рассматривается с бесконечно удаленной точки, как будто бы из далекого космоса. Различия в перспективе определяют степень искажения по направлению к экватору (таблица 1) [2].

Рис. 4. Плоскостные проекции с различными положениями точки перспективы

Таблица 1: Примеры азимутальных картографических проекций
Тип	Гномоническая	Стереографическая	Ортографическая
Источник света	Точка сходимости в центре Земли	Точка сходимости противоположна центру проекции	Точка сходимости удалена настолько, что лучи стремятся к параллельности
Свойства	сохраняет масштаб, где меридианы и параллели пересекаются, ни равноугольная, ни равновеликая	равноугольная, сохраняет масштаб, где меридианы и параллели пересекаются	сохраняет масштаб только в центре проекции, ни равноугольная, ни равновеликая

В зависимости от искажений, азимутальные проекции подразделяются на равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойствами. Азимутальную равновеликую проекцию называют также стереографической. Она получается проведением лучей из некоторой фиксированной точки поверхности Земли на плоскость, касательную к поверхности Земли в противолежащей точке.

Азимутальная равновеликая проекция сохраняет площадь отдельных полигонов, одновременно поддерживая истинное направление от центра. Общая модель искажения – радиальная (рис. 5). Эта проекция лучше всего подходит для картографирования отдельных участков суши, имеющих симметрично-пропорциональную форму, либо круглую, либо квадратную [3].

Рис. 5. Радиальная модель искажения

Задача. Решение множества научных и производственных геодезических задач требует перевода координат точек из одной системы в другие. При этом используют различные геодезические проекции. В данной работе поставлена задача произвести перевод географических координат в координаты азимутальной равновеликой проекции. Алгоритм решения задачи:

1. Выбираем карту с которой будем работать.

2. Выбираем радиус сферы R.

3. Определяем координаты φ0 и λ0 полюса Q полярных сферических координат, который обычно выбирают в центральной точке картографируемой территории.

4. Осуществляем переход от географических координат (φ и λ) к полярным сферическим координатам (z и а) по формулам сферической тригонометрии:

cosz=sinφ sinφ0+cosφ cos φ0cos(λ0-λ);

sinasinz=cosφsin(λ0-λ);

cosa sinz=sinφcosφ0-cosφsinφ0cos(λ0-λ).

1. Вычисляем координаты проекции, частные масштабы и искажения углов.

Формулы равновеликой азимутальной проекции

x= ρcosδ; y= ρsinδ;

ρ=2Rsin(z2); δ=a;

μ1=cos(z2); μ2=sec(z2);

ρ= 1;tg45˚+ω4=sec(z2).

В данном случае в центральной точке проекции искажения всех видов отсутствуют [4].

Решение:

1. Т. к. азимутальные проекции чаще всего применяются для карт мелких масштабов, для расчета перевода координат в азимутальную проекцию выберем мелкомасштабную карту, например, карту полушария суши.

2. Полушарие суши представляет собой полушарие Земли, с центром, расположенным по координатам 47°13′ с. ш. 1°32′ з. д. Данные координаты и будут являться центральной точкой картографируемой территории (φ0=47°13′, λ0=1°32′).

3. Т.к. карта мелкомасштабная, необходимо выбрать радиус сферы R, таким радиусом в данном случае является радиус Земли (R=6371).

4. Также необходимы географические координаты какого-либо пункта суши, которые сначала будут переведены в полярные сферические координаты, а затем в координаты азимутальной проекции. Пусть таким пунктом будет город Белгород, координаты которого φ=50°36′, λ=36°36′ (рис. 6).

Рис. 6. Белгород на картах государства и области.

1. Расчет по формулам равновеликой азимутальной проекции произведен в программе Maple 13 с помощью соответствующих команд.

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

В результате данной работы географические координаты пункта город Белгород (φ=50°36′, λ=36°36′), взятые в градусной мере, были переведены по формулам сферической тригонометрии сначала в полярные сферические координаты (ρ=4121.32222, δ= -0.851414249). Затем, используя формулы равновеликой азимутальной проекции, были просчитаны координаты азимутальной равновеликой проекции: x= 2715,621590; y = - 3100,112292.

Контролем правильности пересчета координат является условие равновеликости ρ = ��1*��2, которое в данной работе выполняется (ρ=1).

Благодаря своим свойствам, азимутальная равновеликая проекция широко применяется для карт, на которых правильно нужно передать не только площади территорий, но и очертания этих территорий. В поперечном положении эта проекция используется для построения карт полушарий, а в косом положении – для карт материков Азии, Австралии, Северной Америки, Южной Америки.

Проекты, в которых требуется определение кратчайших маршрутов, особенно на длинные дистанции, нуждаются в азимутальных проекциях, поскольку в них возможно изображение больших кругов как прямых линий. Эти проекции стали популярны лишь недавно, но их использование будет расти с расширением использования ГИС в этих областях [5].

Литература:

1. ArcGIS 9 Картографические проекции/ Copyright © 1994–2000 Environmental Systems Research Institute, Inc. Russian Translation by DATA+, Ltd.

2. Л.А. Вахрамеева, Л.М. Бугаевский, З.Л. Казакова – «Математическая картография». – Москва «НЕДРА» 1986.

3. Курошев Г.Д. – Космическая геодезия и глобальные системы позиционирования. Учебное пособие. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011. – 182 с.

4. С.Ю. Лозовая, В.П. Воронов – «Применение аналитического пакета MAPLE для исследования конструктивно-технологических параметров оборудования и моделирования техпроцессов на предприятиях стройиндустрии». – Белгород 2007.

5. ДеМерс Майкл Н. – «Географические информационные системы. Основы». – Пер. с англ. - М: Дата+, 1999.

Код для цитирования: Скопировать