VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

С помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа и матричного метода исследуется решения уравнений теории упругости для слоистой кубической системы в двумерной области. Получены асимптотические представления корней дисперсионных уравнений, удобные для численных расчетов на ЭВМ.

Рассмотрим в декартовой системе координат x, z систему из n-кубических слоев, ограниченных полупространствами. Во всех упомянутых средах плоскость изотропии параллельна границами раздела. При этом каждая среда описывается уравнениями Ляме

a∂2ux∂x2+c∂2uz∂x∂z+d∂2ux∂z2=ρ∂2ux∂z2, a=+2 a∂2uz∂x2+c∂2ux∂x∂z+d∂2uz∂x2=ρ∂2uz∂t2, c=+μ,, d=μ, (1)

и уравнениями закона Гука

txz=μ,dux∂z+∂uz∂x; tzz=∂ux∂x+(+2μ)∂ux∂z (2)

в которых  - плотность; , , μ, - коэффициенты Ламе. На всех границах раздела имеют место условия жесткого контакта.

U_xi = U_{yi + 1}, U_zi = U_{zi + 1}, t_xzi = t_{xzi + 1}, t_zzi =t_{zzi + 1}, (3)

при которых непрерывны векторы смещений U_x, U_z, а также компоненты тензоры напряжения t_zz, t_zz. Поле смещений в заданной системе удовлетворяет нулевым начальным условиям

U_x/t=0 = 0, U_z/t=0 = 0, ∂ux∂t│_{t = 0} = 0, ∂uz∂t│_{t = 0} = 0, (4)

Пусть

φ₁=u_x, φ₂ = u_z, φ₃ = tkz, φ₄ = t_zz, f₁ = -sinkx, f₂ = coskx,

f₃ = -ksinkx, f₂ = kcoskx, F₁ = U_x, F₂ = U_z, F₃ = T_xz, T_u = T_zz (5)

величина η в общем случае характеризует фазовую скорость υ = │I_mη│ и коэффициент затухания γ = R│R_eη│ интерференционных волн, при этом k=2π/ -волновое число  -длина волны, а в случае нормальных волн η=iτ. Решения задачи с помощью интегральных преобразований

φ_i(x,z,t)=0∞fj(kx)2πidkσ-i∞σ+i∞Fj(k,η,z)ektηdη, (j = 1,2,3,4) (6)

сводится к изучению системы дифференциальных уравнений

d∂2ux∂(kz)2-a+ρη2Ux+cduzdkz=0; a∂2uz∂kz2-d+ρη2Uz-cdux∂kz=0; Txz=dduxdkz+Uz, Tzz=dduz∂kz-c-dUx. (7)

Первым двум уравнениям (7) соответствует определяющее уравнение

adα⁴ – fα² + (a + η²)(d +η²) = 0; (8)

α_{1,2 = x±x2-θ2ad}; f = d(d +η²)+d(d +η²) c² (9)

θ = 4dd(d + η²)(d +η²)

Выбор основной ветви радикала (9) и проведения разрезов из точек ветвления η = ±id/ρ и η = ±id/ρ проводится так же, как в [ I ].

Система (7) сводится к системе алгебраических уравнений. Решение последний системы запишем для каждого слоя и каждого полупространства рассматриваемой среды. Заданная системы возбуждается падающими из полупространств волнами X0-, Y0- , Xn+1+, Yn+1+ которые представляются равенствами (6). Образующиеся в результате отражений и преломлений волновые поля удовлетворяют соотношениям (I), (2) и (4). Кроме того, эти поля совместно с падающими возмущениями удовлетворяют условиями (3). Для определения остальных 4(n+1) функций на основании (3) применяем обобщенный матричный метод [ I ].

А теперь исследуем дисперсионные уравнения, описывающие распространение нормальных волн типа в заданном слое при kh ≫1. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является характеристическим уравнением для собственных чисел некоторого дифференциального оператора, являющегося обобщением оператора Штурма- Лиувилля. В случае нормальных волн этот оператор является самосопряженным, а для затухающих-несамосопряженным.

Дисперсионное уравнение симметричного слоя относительно плоскости z = 0,5h разлагается на два уравнения.

_{γ22γ1-1thkha12-β22β1-1th khα22=0,γ22γ1-1thkha22-β22β1-1th khα12=0}(10)

Описывающие антисимметричные и симметричные колебания. Величины β₁, γ₁, β₂, γ₂ являются функциями от η, выражения которых получается из соответствующих выражения [ I ] при b=a d= . Исследование уравнений проводится в областях

T_ - I_{mη1(0) 0; a(d – d) – c² > 0 (16)}

Наконец, отметим, что из-за ограниченности объема работы приведены только основные результаты исследований.

Литература

1. Молотков Л.А. , Баймагамбетов У. Об исследовании распространения волн в слоистых трансверсально-изотропных упругих средах. Записки науч. семинаров

ЛОМИ. Л. 1978.Т. 78. С.149-173

1. Молотков Л.А. , Баймагамбетов У., Смирнова Н.С. Об исследовании дисперсионных уравнений свободного трансверсально-изотропного упругого слоя. Записки научн. семинаров ЛОМИ. Л., 1980. Т. 99 С. 85-103

2. Осипов И.О. К методу функционально-инвариантных решений для задач динамической теории упругости анизотропных сред Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. С. 391-396.

3. Бреховских Л.М. Волны Е. слоистых средах. М. 1973, 343с.