VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Использование макроэкономических моделей позволяет обосновать выбор той или иной политики в области валового выпуска и определить траекторию экономического развития (роста). Поэтому изучение таких моделей является актуальной задачей.

Рассмотрим модель национальной экономики, в которой инвестиции пропорциональны приросту валового выпуска, а потребление зависит линейно от выпуска (национального дохода) с запаздыванием в 1 год, т.е.описывается следующими разностными уравнениями:

, , (1)

, . (2)

Здесь , и – соответственно инвестиции, валовый выпуск и потребление в период (год) , – фактор акселерации (коэффициент пропорциональности), – склонность к потреблению, – базовое потребление [1,4].

Принимем во внимание условие бюджетного баланса

, , (3)

означающее равенство предложения и спроса в каждый период t. Модель (1)-(3) в экономико-математической литературе носит название модели Самуэльсона-Хикса, которая применяется для описания колебаний деловой активности в условиях экономического роста [1, 3-5].

Подставляя уравнения (1), (2) в (3), получим (исключив инвестиции и потребление ) уравнение динамики валового выпуска:

или

, , (4)

Модель вида (4) является линейным неоднородным разностным уравнением 2-го порядка.

С помощью замены

, , (5)

где C - некоторая постоянная, уравнение (4) можно свести к однородному. Действительно, подставляя (5) в (4), запишем

или , откуда следует, что , (6)

Выберем С таким образом, чтобы последнее уравнение стало однородным, т.е. из условия , откуда найдем . Тогда выражение (5) примет следующий вид:

, , (5’)

где переменная (в силу (6) и выбора С) удовлетворяет линейному однородному разностному уравнению 2-го порядка, соответствующему неоднородному уравнению (4):

, (6’)

Согласно [2,4], частное решение уравнения (6’) будем искать в виде

, , (7)

где индекс в левой части равенства (5) обозначает номер периода, а в правой – является показателем степени. Подставляя выражение (7) в (6’), получим уравнение , Сокращая его на общий множитель , перейдем к алгебраическому уравнению 2-ой степени относительно , называемому характеристическим:

(, ). (8)

Исследуем случай, когда дискриминант

(8’)

уравнения (8) положителен, т.е. и , – различные действительные корни (8), определяемые по формуле , причем . В этом случае, в соответствии с алгоритмом, изложенным в [2,4], решение уравнения (6’) имеет вид

, , (9)

где , - постоянные, определяемые из дополнительных (начальных) условий. Подставляя формулу (9) в соотношение (5’), получим явное аналитическое выражение для валового выпуска

, (10)

Пусть известны значения выпусков и в моменты t=0 и t=1 соответственно. Полагая в (10) , получим: , , откуда, решая полученную систему линейных уравнений, найдем

, . (11)

Таким образом, если дискриминант характеристического уравнения (8) положителен, то валовый выпуск в модели Самуэльсона-Хикса выражается через функции показательного вида по формуле (10).

Литература

1. Математическая экономика на персональном компьютере. Под ред. М. Кубонива. – М.: Финансы и статистика, 1991. – 304 с.

2. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности.– М.: Наука, 1983.– 48 с.

3. Мешечкин В.В., Победаш П.Н. О параметрическом анализе одной модели экономического роста. // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: ”Твердыня”, 2002. - С. 238-240.

4. Мешечкин В.В., Победаш П.Н. Параметрический анализ и асимптотические оценки выпусков в одной модели экономического роста.// В сб. трудов молодых ученых КемГУ, посвященный 60-летию Кемеровской области: В 2т.Т.2.Кемеровский госуниверситет.- Кемерово: Полиграф, 2002. - С.109-115.

5. Мешечкин В.В., Победаш П.Н. Параметрический анализ выпусков для частного случая модели Самуэльсона-Хикса. // Материалы Всероссийской научно-практической конференции “Наука и образование”. - Белово: БИ(Ф) КемГУ, 2003. - С. 480-483.

Код для цитирования: Скопировать