VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Статистические закономерности являются фундаментальными законами природы. В работе [1] показано: идеальный график рангового распределения (РР) набора чисел случайных величин W(r) из Гауссового распределения представляет собой S – образную кривую, симметричную относительно биссектрисы прямого угла, образующего координатные оси W и r (рис.1). На рис.1,а представлено идеальное Гауссово частотное распределение f_i = f (W) и, соответствующее ему, РР этих же величин W(r) (рис.1, б).

Рис.1. а) Гауссово частотное распределение f _i = f(W) 10000 случайных величин со стандартным отклонением σ = 30, математическим ожиданием 200;

б) соответствующее ему, РР этих же величин W(r) [1, с. 48].

График Гауссового распределения f(W) (рис 1, а) для наглядности повёрнут на 90 градусов в плоскости рисунка по отношению к графику рис. 1, б [1]. Приведённые графики являются результатом компьютерного моделирования случайных чисел (выборка 10000) с заданным Гауссовым распределением. Среднее значение случайной величины W= 200 (математическое ожидание) соответствует точке перегиба на S–образной кривой.

В методологии естественных наук известен способ определения принадлежности эмпирически полученного графика к той или иной математической зависимости. Этот метод идентификации заключается в построении полученной выборки эмпирических физических величин в «координатах спрямления» и приведения исследуемой функции к линейному виду в этих координатах. Этот метод широко используется физиками-экспериментаторами.

Представляет несомненную методологическую значимость нахождение координат спрямления для S–образной кривой РР случайных величин и применение этих координат с целью идентификации S–образного РР с вероятностным распределением случайных величин (Гауссовым распределением), что и составило цель исследования. Цель определила ряд конкретных задач и этапы исследования.

Этапы исследования.

1. Теоретическая часть:

• определение координат спрямления для S–образной кривой РР;

• нахождение и описание способа моделирования случайных чисел с заданным распределением вероятности;

2. Практическая часть:

• Проверка полученных теоретических результатов при помощи компьютерного модельного эксперимента.

Отметим, что S–образный вид эмпирического РР W(r)свидетельствует о принадлежности совокупности параметровW к Гауссовому распределению, при этом с уменьшением дисперсии Гауссового распределения крутизна S–образной характеристики РР увеличивается, угол α между касательной к S–кривой в точке перегиба и горизонтальной осью уменьшается [1].

В работах [2,3] показано, что математическая формула S–образной кривой имеет вид: (1)

где – функция ошибок, или функция Лапласа [4, с.575], а - функция, обратная функции ошибок.

1. Нахождение координат спрямления для S–образной кривой РР.

Чтобы найти координаты спрямления , нужно подставить (1) в функцию ошибок, при этом в координатах erf ξ (r) получается убывающая прямая:

erf {[ξ ( r ) – μ] / (√2 σ) }= а – (2/N₀) r = а – kr , (2)

где r – ранговый номер случайной величины ξ в порядке её убывания; а, k –постоянные , при этом k = 2/N₀ отражает значение тангенса угла наклона прямой к оси рангов.

Проверка данного утверждения, осуществлённая при помощи компьютерного модельного эксперимента, описана ниже в п.3.

1. Моделирование случайных чисел с заданным распределением вероятности.

Ранее найденпростой способ моделирования случайных чисел с заданным распределением вероятности. Известно, что: ,

где плотность вероятности. Свойством является монотонность неубывающей функции, ограниченной в пределах от нуля до единицы, что очень кстати, так как любой язык программирования имеет генератор псевдослучайных чисел в интервале от нуля до единицы. Воспользуемся методом обратных функций.

Теорема. Пусть случайная величина, равномерно распределенная на интервале , - монотонная возрастающая функция на , имеющая производную и пределы:

_и

Тогда существует обратная функция , и случайная величина распределена на интервале с плотностью [5]. Рассмотрим распределение Гаусса.

(3)

Пусть , причем - случайная величина, равномерно распределенная от нуля до единицы, тогда:где - равномерно распределенные случайные величины в пределах от нуля до единицы.

Примем и выразим : (5)

В результате мы получаем две независимые случайные величины, распределенные по закону Гаусса из двух независимых равномерно распределенных случайных величин :

(6)

Полученные формулы были запрограммированы в среде MatLab и были получены следующие эмпирические результаты.

3) Проверка полученных теоретических результатов при помощи компьютерного модельного эксперимента

Были построены гистограммы Гауссовых распределений при различных значениях дисперсии (10,20,30,40,50) и, соответствующие им, S-образные кривые пузырьковым методом (ранжирование случайной величины по убыванию). Таким образом была проверена формула (2) (рис. 2, а, б)

Рис.2. К вопросу идентификации распределений случайных величин функции Гаусса (а) с

S – образными РР (б, в).

а) Гистограммы распределений случайных величин с дисперсиями 10,20,30,40,50. б) Соответствующие им S-образные кривые РР. в) Спрямление S-образных кривых РР в координатах erf (ξ – А) = f (r) (координатах спрямления).

Подобный алгоритм можно использовать для моделирования случайных величин, распределенных по необходимому закону. Ниже представлены рисунки (рис.3, а, б, в, г), иллюстрирующие описанный выше модельный эксперимент для двух дисперсий – 50 и 30.

Спрямление S-характеристики наглядно выглядит близким к идеальному случаю, когда все точки ложатся на кривую или попадают в доверительный интервал. В рассмотренных случаях моделирование доверительного интервала не предусмотрено, а большинство точек оказывается выше или ниже прямой, что обуславливает малое значение коэффициента регрессии.

Дисперсия 50

Дисперсия 30

Рис. 3. К вопросу спрямления функции Гаусса с разными дисперсиями. а) Поле случайных величин; б) Распределения Гаусса; в) Соответствующие им S-образные кривые РР; г) S-образные кривые РР в координатах спрямления.

Результаты исследования имеют теоретическую и практическую значимость, которая заключается в том, что ранговый анализ открывает новые возможности в методологии научных исследований, использующих построения нормальных распределений: по внешнему виду кривой РР в грубом приближении можно идентифицировать принадлежность выборки значений исследуемой величины к Гауссовому распределению.

Таким образом:

• Найдены координаты спрямления для S – образного РР случайных величин.

• Результаты модельного компьютерного эксперимента подтвердили спрямление S – образного РР в координатах erf ξ (r) , где ξ – функция ошибок, r – ранговый номер исследуемой случайной величины.

• Спрямление S – образного РР случайных величин в найденных координатах спрямления доказывает принадлежность исследуемой выборки случайных величин к вероятностному распределению Гаусса.

• Простота вышеизложенного метода – построение выборки случайных величин Гауссового распределения как S – образного рангового распределения и представление его в виде линейного графика в координатах спрямления позволяют сделать вывод о несомненной практической значимости проведённого исследования.

Результаты модельного компьютерного эксперимента подтверждены ранее проведённым натурным экспериментом по исследованию распределения числа импульсов от счетчика Гейгера-Мюллера [6].

Литература

1. Гурина Р.В., Евсеев Д. А. О соотношении Гауссового и рангового распределений / Теоретические и прикладные вопросы науки и образования: сб. науч. тр по материалам Междунар. науч.- практ. конф 31 августа 2013 г. Часть 1. М-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2013. – С.47-49. http://www.ucom.ru/doc/conf/2013_08_31_1.pdf

2. Гурина Р.В., Безбатько Д.Н. Формула для рангового S- распределения случайных величин. // Наука и образование в жизни современного общества: сб научных трудов по материалам Междунар. науч.- практ. конф 29 ноября 2013 г.: в 18 частях. Часть 12. М-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-_Общество», 2013. – С.39-41.

3. Евсеев Д.А., Безбатько Д.Н. Исследование соотношения рангового и гауссового распределений// Актуальные вопросы современного образования: материалы IX научно-практической заочной конференции, Москва-Ульяновск, 5 апреля 2014 г./ .М.; Ульяновск: ООО «Колор-Принт», 2014. - С. 61-67.

4. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров)/Под общей ред. И.Г. Арамановича. – М. Изд-во «Наука» Гл. ред. Физико-математической литературы. 1974. -С.832

5. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука" ,1973.

6. Шарипова К.В., Евсеев Д.А. Ранговое распределение случайных величин в координатах спрямления//Eurasian Uninon of Scientists. 2014.-С.142-146 http://euroasia-science.ru/zhurnaly/18-zhurnal-4/fiziko-matematicheskie-nauki

 

6

 

Код для цитирования: Скопировать