VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В работе рассматриваются задачи, относящиеся к такой области математики, как общая топология. Общая топология - раздел математики, в котором изучаются вопросы «непрерывности» и «сходимости» в наиболее общем виде. В общей топологии широко применяются понятия теории множеств - множество, функция, кардинальные числа, аксиома выбора и т. д. Благодаря своей универсальности язык теории топологических пространств стал общепринятым во всех разделах математики, связанных с понятием пространства. Основной концепцией общей топологии является топологическое пространство.

Топологическое пространство (X;τ) – множество X с некоторым семейством τ подмножеств множества X, называемых открытыми множествами, для которых выполнены следующие условия:

1. Все множество X, а также пустое множество суть элементы семейства τ.

2. Объединение любого числа и пересечение конечного числа множеств, являющихся элементами семейства τ, суть элементы семейства τ.

Целью работы является рассмотрение топологического пространства «стрелка Зоргенфрея», называемого стрелкой, и доказательство некоторых его свойств. Стрелка вместе с ее свойствами не является новым объектом общей топологии, но доказательства представленных в данной работе теорем проведены нами самостоятельно, поскольку в специальной литературе, как правило, даны только ссылками на соответствующие свойства с предложением исследовать их самостоятельно.

Стрелкой Зоргенфрея (обозначается S) называется полуинтервал [0;1) с топологией, которая вводится определенным образом.

2.1. База топологии.

Определение. База топологии – семейство B⊂τ, такое, что каждое непустое открытое подмножество пространства X можно представить в виде объединения некоторого подсемейства семейства B.

На полуинтервале [0;1) введем топологию, отличную от топологии на прямой.

Рассмотрим совокупность полуинтервалов:

B=α;β0≤α