VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

РР – это распределение, полученное в результате процедуры ранжирования последовательности значений параметров Wбольшого числа объектов системы, поставленных соответственно рангу r в порядке убывания этого параметра W.

Исследователи различных направлений используют в своих исследованиях ранговый анализ, заключающийся в построении и анализе ранговых распределений (РР) [1, 2 , 3 и др.]. Теория и методология РА разработана профессором МЭИ Б.И. Кудриным [4.] и его последователями (сайт www.kudrinbi.ru).

Распределение Гаусса представляет собой функцию f(x) вероятности обнаружения параметра x(случайной величины)в определённом малом интервале значений x. Распределение Гаусса изучается в курсах математической и общей физики, в частности, при расчёте погрешностей измерений. В работе Р.В. Гуриной, Д.А. Евсеева [5,6] показано: идеальный график рангового распределения (РР) набора чисел случайных величин W(r) из Гауссового распределения представляет собой S – образную кривую. На рис.1,а представлены идеальные Гауссовы частотные распределения f_i = f (W) и, соответствующие им, РР этих же величин W(r) (рис.1, б). Приведённые графики являются результатом компьютерного моделирования случайных чисел (выборка 10000) с заданным Гауссовым распределением.

График Гауссового распределения f(W) (рис 1, а) для наглядности повёрнут на 90 градусов в плоскости рисунка по отношению к графику рис. 1, б. Среднее значение случайной величины W= 200 соответствует точке перегиба на S–образной кривой. Отметим, что S–образный вид эмпирического РР W(r) свидетельствует о принадлежности совокупности параметров W к Гауссовому распределению, при этом с уменьшением дисперсии Гауссового распределения крутизна S–образной характеристики РР увеличивается, угол α между касательной к S–кривой в точке перегиба и горизонтальной осью уменьшается [5].

Рис.1. а) Гауссовы частотные распределенияf_i = f(W) 10000 случайных величин со стандартными отклонениями σ = 10, 20, 30, 50 и математическим ожиданием 200; б) соответствующее им, РР этих же величин W(r).[5, с. 48]

В работах [7,8] показано, что математическая формула S–образной кривой имеет вид:

, (1)

где ξ – случайная величина (по отношению к рис. 1; ξ = W );

где – функция, обратная функции ошибок:

(2)

(2) – функция ошибок, или функции Лапласа [9, с.575]

Несомненную практическую и методологическую научную значимость имеет доказательство справедливости зависимости (1) для эмпирических гауссовых распределений, представленных в виде S–образных РР, что определяет актуальность и цель настоящего исследования.

В качестве доказательства справедливости формулы (1) был избран известный физикам-исследователям «метод спрямления» исследуемой функции в координатах, в которых функция принимает линейный вид. Координаты спрямления получены подстановкой (1) в функцию ошибок (2) , при этом получается уравнение убывающей прямой:

erf[ξ ( r ) – μ] / (√2 σ) = а – (2/N₀) r = а – kr= у , (3)

где r – ранговый номер случайной величины ξ в порядке её убывания; а, k –постоянные, при этом k = 2/N₀ отражает значение тангенса угла наклона прямой к оси рангов.

Вышесказанное подтверждается построением эмпирическихS–образных кривых случайных величин Гауссовых распределений в координатах спрямления (2). При этом данные гауссовых распределений брались из известных источников.

Пример 1. Было выполнено построение РР по данным задачи № 6.12 на Гауссово распределение из известного источника [10, с. 145]. В условии этой задачи приведены эмпирические данные сорока измерений времени падения камня от окна до земли в сотых долях секунды (t∙10 ^-2 , с). Эти значения были проранжированы и по ним построено табулированное РР (табл. 1). При этом, если встречались несколько одинаковых значений t, для этих значений бралось среднее ранговое число и для него записывалось одно значение времени.

Табл. 1. РР значений времени падения камня (сотые доли секунды);

ранжируемая величина – время: ξ = t.

r	1	2	3	4	5	6	8	10	12	15	17
t∙ 10-2 , с	88	86	84	82	81	80	79	78	77	76	75

Продолжение таблицы

r	19	23	26	29	31,5	33	35	37	38	39	40
t ∙ 10-2 , с	74	72	70	69	68	66	65	63	62	60	58

По данным табулированного РР было построено графическое РР (рис.2,а), а также выполнено построение этой зависимости в координатах спрямления (рис. 2,б).

Пример 2. Было построено табулированное РР, затем S–образная кривая РР 49-и величин измеренного выходного напряжения в интегральной микросхеме (ИМС) по эмпирическим данным из источника [11, с.76]случайных величин Гауссовых распределений. Затем S–кривая РР была перестроена в координатах спрямления (2). Построения и внешний вид полученных графиков аналогичен графикам рис. 2 (поэтому не приводятся).

Рис.2. Ранговое распределение 40 значений времени падения камня;

а) в координатах ξ (r), где ξ– время (сотые доли секунды), r – ранговое число; б) построение РР в координатах спрямления.

Пример 3. На рис. 3 приведены графики РР 380 участников компьютерного тестирования по математике в УлГУ по данным 2005 года.

Из графиков рис. 3 (а, б) следует, что результаты тестирования 380 участников описываются распределением Гаусса.

Рис.3. Ранговое распределение 380 участников компьютерного тестирования по математике; а) в координатах ξ (r), где ξ – время (сотые доли секунды), r – ранговое число; б) РР в координатах спрямления.

Примеры из практики 1-3 подтверждают справедливость формулы (1) и результат модельного эксперимента [1].

Надо отметить, что реальные S – кривые (рис.2, 4) имеют некоторые незначительные отклонения от идеальной кривой и обусловлены погрешностью измерений. Эмпирическое значение тангенса угла наклона совпадает с теоретическим.

Результаты исследования имеют теоретическую и практическую значимость, которая заключается в том, что ранговый анализ открывает новые возможности в методологии научных исследований, использующих построения нормальных распределений:по внешнему виду кривой РР в первом приближении можно идентифицировать принадлежность выборки значений исследуемой величины к Гауссовому распределению.

Представляет практический интерес проверять на «гауссовость» любые совокупности параметров. Для этого достаточно построить их ранговое распределение в координатах ξ (r), и для убедительности – в координатах спрямления, не используя специальных методик построения гистограмм и их идентификации с нормальным распределением.

Таким образом:

• Результаты свидетельствуют о том, что график РР W(r) набора чисел случайных величин из Гауссового распределения представляет собой S – образную кривую.

• Простота метода очевидна, метод позволяет– обойтись без построения гистограмм распределений Гаусса.

• Особенно важен рассмотренный в докладе метод студентам гуманитарных специальностей, для которых понимание Гауссовых распредедений и построение гауссовых гистограмм представляет реальные значительные трудности, по сравнению с построением S – образных РР случайных величин.

• Спрямление S – образного РР ξ (r) в координатах спрямления доказывает принадлежность исследуемой выборки случайных величин к вероятностному распределению Гаусса.

Литература

1. Гурина Р.В..Ранговый анализ образовательных систем (ценологический подход). Методические рекомендации для работников образования. Вып.32. «Ценологические исследования». –М.: Технетика. – 2006. –40 с.(сайт http://gurinarv.ulsu.ru/

2. Гурина Р.В..Метод рангового анализа и закон разнообразия в педагогике// Педагогический журнал Башкортостана. – 2013. – №3-4. – С. 111-122.

3. Гнатюк, В.И. Оптимальное построение техноценозов. Теория и практика / В.И Гнатюк // Вып. 9. «Ценологические исследования». – М.: Центр системных исследований. – 1999.

4. Кудрин, Б.И. Введение в технетику / Б.И. Кудрин. – Томск: Изд-во ТГУ, 1993. – 552 с.( сайт wwwkudrinbi).

5. Гурина Р.В., Евсеев Д. А. О соотношении Гауссового и рангового распределений / Теоретические и прикладные вопросы науки и образования: сб. науч. тр по материалам Междунар. науч.- практ. конф. 31 августа 2013 г. Часть 1. М-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2013. – С.47-49. http://www.ucom.ru/doc/conf/2013_08_31_1.pdf

6. Евсеев Д. А. Исследование соотношения рангового и Гауссового распределений / / VI Международная студенческая электронная научная конференция «Cтуденческий научный форум 2014»

http://www.scienceforum.ru/2014/pdf/829.pdf

1. Гурина Р.В., Безбатько Д.Н. Формула для рангового S- распределения случайных величин. // Наука и образование в жизни современного общества: сб научных трудов по материалам Междунар. науч.- практ. конф. 29 ноября 2013 г.: в 18 частях. Часть 12. М-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-_Общество», 2013. – С.39-41.

2. Евсеев Д.А., Безбатько Д.Н. Исследование соотношения рангового и гауссового распределений// Актуальные вопросы современного образования: материалы IX научно-практической заочной конференции, Москва-Ульяновск, 5 апреля 2014 г./ .М.; Ульяновск: ООО «Колор-Принт», 2014. С. 61-67.

3. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров)/Под общей ред. И.Г. Арамановича. – М. Изд-во «Наука» Гл. ред. Физико-математической литературы. 1974. –832 с.

4. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. / Дж. Тейлор. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 272 с.

5. Семёнов Ю.Г. Контроль качества/ Технология полупроводниковых приборов и изделий микроэлектроники. Кн. 10 /– М.: Высш. шк., 1990. – 111 с.

 

8

 

Код для цитирования: Скопировать