Задачи Диофанта можно использовать в школьном курсе математики. Продемонстрируем фрагмент урока для 8-го класса:
План урока:
1.Рассказ учителя об известном ученом – математике Диофанте и его уравнениях.
2. Распределение заданий для подготовки к уроку.
3.Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов.
1. Актуализация знаний.
Рассмотрим задачу: «В клетке находится x фазанов и у кроликов. Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62».
Общее число ног можно записать с помощью уравнения 2х+4у=62 (*)
Это равенство, которое мы составили по условию задачи, как вы знаете, называют уравнением с двумя переменными. Более того, данное уравнение мы называли линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Напомним основные положения, связанные с этим понятием.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где xи у – переменные, а, bи с – некоторые числа.
Однозначно определить из уравнения (*) значения xи y нельзя. Даже если ограничиться только натуральными значениями переменных, здесь могут быть такие случаи: 1 и 15, 3 и 14, 5 и 13 и т. д.
Определение. Пара чисел (a, b) называется решением уравнения с двумя переменными, если при замене x на а и y на b получаем истинное равенство.
Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т. е. множество, состоящее из всех пар чисел (a, b), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство. При этом, конечно, если заранее указаны множества Х и Y, которые могут принимать неизвестные x и у, то надо брать лишь такие пары (a, b), для которых а принадлежит Х и b принадлежит Y.
Пару чисел (a, b)можно изобразить на плоскости точкой М= М (a, b). Рассматривая изображения всех точек множества решений уравнения с двумя неизвестными, получим некоторое подмножество плоскости. Его называют графиком уравнения.
Можно доказать, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, является прямая линия. Для построения графика этого уравнения достаточно взять две точки с координатами и провести через них прямую.
Два уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения называются равносильными. Например, равносильны уравнения х+2у=5 и 3х+6у=15 – любая пара чисел, удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет и второму.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
С помощью линейных уравнений с двумя переменными можно решать различные текстовые задачи, которые сводятся обычно к нахождению целых (натуральных) решений уравнения, причем часто коэффициенты при переменных в этих уравнениях являются целыми числами.
2. Изучение нового материала
Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Решая различные текстовые задачи, часто сводим их к решению некоторого уравнения или системы уравнений. При этом стремимся составить по условиям задачи столько независимых уравнений, сколько имеется неизвестных. Но бывают и такие задачи, для которых это сделать невозможно: число независимых уравнений, которые можно составить по условию задачи, меньше числа неизвестных. Однако может случиться, что условие задачи накладывает какие-то другие дополнительные ограничения на неизвестные, которые вместе с полученными уравнениями позволяют найти значения неизвестных (напр., из условия следует, что искомые целые числа заключены в заданных пределах). Такая ситуация присутствует в задаче про кроликов и фазанов.
Таким образом, диофантовы уравнения 1-ой степени с двумя переменными являются линейными уравнениями с двумя переменными, которые присутствуют в курсе алгебры.
Рассмотрим задачи, которые сводятся к решению диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными:
(1),
где a, b, c – целые коэффициенты. Основной метод решения таких задач − перебор вариантов.
В способе перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Применим этот способ в следующих задачах:
Задача 1.Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 руб. И высчитывают 2 руб. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 руб. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.
Решение.
Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х руб. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у руб. Имеем уравнение 10х – 2у =180, причем xменьше или равен 21. Получим: 5х-у=90, 5х=90+у, х=18+у:5.
Так как xцелое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы в правой части получилось целое число. Возможны четыре случаи:
у=0, х=18, т. е. решением является пара – (18, 0);
у=5, х=19, (19, 5);
у=10, х=20, (20, 10);
у=15, х=21, (21, 15).
Задача №2. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых?
Решение.
Пусть x– количество двухрублевых монет, у – количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х+5у=23; 2х=23–5у; x = (23 – 5у):2; x =(22+1 – 5у):2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у):2.
Так как xи yнатуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов.
y=1, х=9, то есть двухрублевых монет может быть 9;
у=2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2;
у=3, х=4, то есть двухрублевых монет может быть 4;
при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.
Таким образом, ответ в задаче следующий: среди монет 9 или 4 двухрублевых.
Учащиеся познакомились с методом решения диофантовых уравнений 1-ой степени, которые присутствуют в олимпиаде по математике.
Используемые источники
1. http://www.tutoronline.ru/blog/zadacha-diofanta
2. http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00174673_0.html
3. http://www.diofant.ru/
4. http://www.people.su/36606