VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Древний Китай − легендарная древняя империя на территории современного Китая − знаменит не только своими памятниками архитектуры, но и значительным вкладом в развитие наук, в том числе и математики. Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Потребности измерения (напр., количества зерна, длины дороги) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел, а также разработке приемов выполнения арифметических действий над дробями.

В работах китайских математиков наблюдается интерес к общим алгебраическим методам и присутствует высоко разработанная техника вычисления. В сборнике «Десять классических трактатов по математики» («Десятикнижье»), который написан на протяжении III-VI вв. н.э., большинство текстов безымянные и различны по содержанию. Однако некоторые заголовки трактатов содержат имена авторов и обладают общими свойствами.

Математические исследования содержатся в сочинении «Математика в девяти книгах». Систематизированный материал включает в себя: правила действия с дробями, алгоритм Евклида, пропорции и прогрессии, правила извлечения корней, вычисление различных площадей и объёмов, теорему Пифагора и применение подобия прямоугольных треугольников, формулы для пифагоровых чисел, вопросы практической геометрии, решение системы линейных уравнений и т.д.

С нашей точки зрения задачи Древнего Китая имеют большой гуманитарный потенциал в обучении математике, они способствуют неординарному развитию логического мышления школьников. Приведем некоторые задачи для организации учебной деятельности.

1. Китайская версия пифагоровой тройки: 3 × 4 × 5.

В комментариях к этой книге указывается, что доказательство теоремы основывалось на следующем чертеже (см. рис.1): большой квадрат a+b2 больше, чем квадрат гипотенузы c2, на четыре прямоугольных треугольника c катетами a и b, т. е. на 2ab:

a+b2=c2+2ab.

Значит, квадрат гипотенузы равен большому квадрату, уменьшенному на два прямоугольника со сторонами a и b, то есть закрашенной фигуре (рис.1). А эта фигура, в свою очередь, равна сумме квадратов со сторонами a и b:

a2+b2=c2

1. Имеется водоем со стороной в 1 чжан (10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

В самом трактате «Математика в девяти книгах» решение не дается, приводится только правило, по которому можно вычислить ответ, причем в общем виде:

«Половину стороны водоема умножь самое на себя, надводную часть в 1 чи умножь самое на себя, вычти это из первого, остаток раздели на удвоенную надводную часть камыша, получишь глубину воды. Прибавь количество чи надводной части, получишь длину камыша».

Учащимся можно предложить перевести текст на математический язык. В алгебраических обозначениях, если сторона водоема равна 2a (10 чи), а надводная часть b (1 чи), то глубина водоема равна a2-b22b , а длина камыша a2-b22b+b.

Решение:

Пусть глубина водоема x чи. Тогда длина камыша x+b чи. По теореме Пифагора квадрат этой длины равен сумме квадратов глубины водоема и расстояния от центра до берега, т. е. x+b 2=x2+a2, откуда: x2+2bx+b2=x2+a2, 2bx+b2=a2, x=a2-b22b , в полном соответствии с ответом, данным в трактате «Математика в девяти книгах».

При подстановке конкретных чисел a=5, b=1 получаем x=25-12=12 (чи), а длина камыша, соответственно, x+b=13 (чи).

1. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. Следуя «правилам оптимальной стратегии», можно составить уравнение 4x+235-x=94, где x число кроликов, и получить ответ задачи.

Если мы представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки.

Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 70 (35·2 = 70).

Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

Остальные не посчитаны это передние лапы кроликов. Сколько их? 24 (94 – 70 = 24). Сколько же кроликов? 12 (24:2 = 12). А фазанов? 23 (35 – 12 = 23)

1. Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу – мера объема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.

Учащимся можно предложить составить систему уравнений. Если через x, y, z обозначить соответственно хороший, средний и плохой урожай 1 снопа, то задача сводится к решению системы:

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

Отсюда x=9,25 доу, y=4,25 доу, z=2,75 доу.

Использование на уроках древних задач способствуют повышению интереса к математике. К примеру, задача 4 поможет при изучение темы «Система линейных уравнений». Она носит практический характер и показывает применение математических методов в решении систем. На предстоящей педагогической практике мы попробуем реализовать нашу идею.

Библиографический список

1. Березкина Э. Математика Древнего Китая. – М.: Наука, 1980. – 311 с.

2. Чистяков В.Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. 1962.