VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Рассматривается понятие четырехмерных матриц и решение содержащих их матричных ДУ [3,4].

При решении матричных уравнений часто прибегают к упрощению первоначальной матрицы путем приведения ее к определенной, более удобной для вычислений, форме. Одной из таких форм является форма Шура. В классической теории наиболее популярным является использование Жордановой формы. Однако, с точки зрения численных методов, вычисление Жордановой формы может приводить к значительным погрешностям [1]. В отличие от Жордановой формы, методы, основанные на форме Шура, используют унитарные преобразования и поэтому обладают гораздо большей численной устойчивостью.

Для произвольной квадратной комплексной матрицы A справедлива [2] теорема Шура о триангуляризации:

Существует унитарная матрица, трансформирующая A к правой треугольной матрице.

Для приведения двумерной матрицы к форме Шура существует [1, 2] эффективный QR-алгоритм. Основываясь на этих знаниях, в пакете Mathematica мною была разработана программа, реализующая весь ряд разложений QR-алгоритма: QR-разложение, разложение Хессенберга, разложение Шура. Приводятся результаты численных экспериментов.

Далее, основываясь на теории обыкновенных двумерных матриц, рассматриваются основные свойства и определения четырехмерных матриц.

Четырехмерную матрицу A={aijkl, i=1,M1, j=1, M2, k=1, M3, l=1, M4} удобнее всего представлять в следующем виде:

A=a1111a1112⋮a11M3M4a1211a1212⋮a12M3M4⋯aM1M211aM1M212⋮aM1M2M3M4 (1)

Где пара индексов {i,j} – номер блока, {k,l} – позиция в блоке [3]. Тогда умножение четырехмерной матрицы аналогично умножению двумерной, но более разнообразно и выполняется с применением правил тензорного исчисления зацепления, свертывания или сокращения индексов: если некоторый индекс встречается в выражении дважды, то выражение должно быть по этому индексу просуммировано. Таким образом, формула умножения определена следующим образом [3, 4]:

A⋅B=C, cikjl=p=1nq=1naijpq⋅bpqkl (2)

Для представления подобной матрицы в форме Шура необходимо выделить понятие верхнетреугольной формы четырехмерной матрицы: 1.Матрица должна быть квадратной, т.е. ∀ aijkl ij=kl; 2. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. ∀ aijkl если i

Код для цитирования: Скопировать