VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Рассмотрим следующую задачу:

В баке начальный момент времени находилось литров раствора с концентрацией . В бак ежеминутно подает литров раствора того же вещество с концентрацией и быстро размешивается, так, что раствор в баке практически остается однородным. Одновременно из бака ежеминутно выливается литров раствора. Определим массы растворенного вещества в баке. Составим дифференциальные уравнения изменения массы.

Пусть в начальный момент в баке растворено вешества. За время подается (кг) растворенного вещества и удаляется из баке вещества, где есть отношение массы растворенного вещества к обьему роствора, содержащегося в баке в момент времени . Очевидно, изменения массы растворенного вещества за время удовлетворяет равенству

Разделяя обе части этого равенства на и переходят к пределу получим или (1)

Полученное уравнение является линейным неоднородным уравнением первого порядка.

Рассмотрим два случае и .

I. Пусть . Скорость вливания вещества равно скорости выливание. Тогда дифференциальное уравнения (1) имеет следующий вид:

(2)

Это уравнение разделяющимися переменных. Разделяя переменных получим

Интегрируя обе части этого равенство находим

.

Учитывая, что , получим .

Отсюда следует

.

Следовательно,

.

Отсюда следуем при достаточно больших

.

II. Теперь рассмотрим случая . Скорость вливание не ровно скорость выливание. В этом случая решения уравнение (1) будет искать в виду . Подставляем в уравнение (1) имеет

.

Отсюда получим

Приравнивая коэффициент при приходим к уравнениям

.

Из первого уравнения имеем

Подставим это выражение в уравнений (2) и решая этого уравнения получим

Пользуясь начальным условиям, , исходим ,

Отсюда получим

Из этой формулы сделает следующие выводы

Если , т. е. в бак поступает раствор той же концентрация, то масса растворенного вещества меняется по линейному закону

Если в раствор поступает чистая вода, то масса меняется по закону

Если и , то

Литература.

1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Наука. 1985. 324с

Код для цитирования: Скопировать