VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

1. Реакционный аппарат имеет форму открытого цилиндра. При изготовлении аппарата материал идет на образование стенок и дна цилиндра. Если r - радиус основания и h - высота цилиндра, то сумма площади основания и боковой поверхности цилиндра выразится так:

Вместе с тем объем V цилиндра равен

Исключив отсюда h, получим:

Задача заключается в том, чтобы при заданном объеме V цилиндра найти такое значение r, при котором поверхность F имеет минимум.

Дифференцируя последнее равенство по r, и приравнивая первую производную нулю, получаем

Откуда

Так как

то отсюда находим:

h=r

Поскольку вторая производная

положительна, то приh=r поверхность аппарата будет минимальной .

2. Реакционный аппарат имеет форму закрытого цилиндра. Найти радиус цилиндра так, чтобы при заданном объеме его поверхность была наименьшей.

Пусть r - радиус основания, а h - высота цилиндра. Полная поверхность цилиндра равна

Так как , то, исключив h, найдем:

Дифференцируем это выражение по r и приравниваем производную к нулю:

Отсюда следует, что

Или

Следовательно

h=2r

3. Задача об изготовлении конусообразного фильтра . Вырезать из круга сектор так, чтобы из него можно было сделать конусообразный фильтр с максималным объемом.

Для упрощения предположим, что радиус круга равен единице(рис.1), и обозначим централный угол сектора, из которого требуется сделать фильтр, через φ (в радианах).

Если радиус окружности основания конуса обозначить через r, то должно быть:

Принимая высоту конуса равной h, найдем, что объем его равен:

(1)

Но h и r являются катетами треугольника, гипотенуза которого представляет образующую конуса, по условию равную единице, откуда

Заменяя в формуле (1) r и hих значениями, получим:

(2)

Будем искать максимум функции

По общему правилу, приравниваем производную нулю:

После упрощений это уравнение приводим к виду

Отбросив решения, не имеющие физического смысла, найдем:

Чтобы выразить искомую дугу в градусах, нужно определить xиз пропорции:

где x - искомое число градусов. Найдем:

Отсюда получаем приближенное значение х=294°. Следовательно, вырезать нужно сектор с центральным углом, равным приблизительно 360°-294°=64°.

Максимальный объем фильтра найдем из формулы (2):

Литература

1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : полный курс. -М.: Айрис-пресс, 2009.-608 с.

2. Богданов Ю. С., Кастрица О. А. Начала анализа в задачах и упражнениях. Минск: Высшая школа. 1998.

3. Вавилов В. В. и др. Задачи по математике. Начала анализа. -М.: Наука, 1990.

Код для цитирования: Скопировать