Теорема 1.
Между точками луча, образованного парой мнимых пересекающихся плоскостей
(1)
и множеством подобных треугольников с углами при вершинах, существует взаимнооднозначное соответствие.
Для построения вещественной прямой, заданной уравнением (1), запишем ее уравнение в параметрической форме
.
С учетом теоремы синусов
,
– радиус описанной окружности,
Так как
,
то
.
В треугольнике со сторонами и углами при вершинах , радиус описанной окружности и параметр связаны отношением
.
Откуда
Доказательство обратного утверждения теоремы 1 следует из соотношений
полученных с использованием формулы Герона.
Теорема 2.
Если синусы углов треугольника выражаются рациональными числами, то его стороны также рациональны.
Из
следует, что при и рациональных значениях синусов углов, стороны треугольника выражаются рациональными числами и найдется подобный ему целочисленный треугольник.
Теорема 3.
У треугольника с рациональными синусами углов площадь выражается рациональным или целым числом.
Следствие.
Множество треугольников Герона является подмножеством треугольников с рациональными синусами углов.
Определение. Базовым треугольником называется треугольник, стороны которого удовлетворяют условиям
,
.
Теорема 4. Для любого треугольника существует базовый. Все подобные ему треугольники находятся из соотношений
,
1. Берестова Е.В., Митюшов Е.А. Геометрический смысл пары мнимых пересекающихся плоскостей (статья в настоящем сборнике).