VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Красота математической задачи, как правило, заключена в соединении простоты ее постановки с трудностью решения. При очевидном условии, что решение имеется. Примером такой задачи может служить утверждение, которое формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема.

Между точками луча, образованного парой мнимых пересекающихся плоскостей и определяемого уравнением

(1)

,

и множеством подобных треугольников с углами при вершинах, существует взаимнооднозначное соответствие.

Доказательство существования решения вытекает из трехкратного применения теоремы косинусов к подобным треугольникам с одинаковыми углами при вершинах

, , .

Складывая эти равенства, получаем одно из утверждений теоремы. Каждому треугольнику ставится в соответствие точка луча, задаваемого уравнением (1). Справедливо и обратное утверждение.

Как известно, каноническое уравнение поверхности второго порядка, определяющего вещественную прямую, как линию пересечения двух мнимых плоскостей, записывается в следующем виде:

.

Этому уравнению удовлетворяют точки координатной оси

.

Построение луча, координаты которого удовлетворяют уравнению (1), возможно различными способами. В частности, путем нахождения собственного вектора матрицы соответствующей квадратичной формы.

 

Код для цитирования: Скопировать