VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Очень часто встречаются ситуации, когда две различные измеряемые величины связаны друг с другом довольно тесно, хотя и не предельно жестко. Например, рост и вес человека, толщина ствола и высота дерева, температура воздуха и концентрация в нем вредных веществ и т. д. В математической статистике такие величины называют случайными в том смысле, что при их измерении получают статистический набор значений, несколько отличающихся друг от друга. Можно ли количественно оценить тесноту статистической связи между двумя последовательностями значений, полученных при измерении случайных величин? Если это удастся сделать в виде формулы, то, зная одну из величин – x, ту, которую измерить проще (например, толщину ствола дерева), можно будет находить другую величину y– ту, которую измерить труднее (например, высоту дерева), а иногда и невозможно.

В настоящее время, да и в прошлом, люди пытались заглянуть в будущее, приподнять завесу неизвестного. С помощью некоторых наук это стало возможным. Мы же постараемся внести свой вклад в этот процесс. Молодые люди часто интересуются своим будущим, в частности, своей будущей семьей. Они строят для себя определенные идеалы. С помощью такой науки, как математическая статистика стало возможным предсказание, а точнее расчет роста будущего супруга или супруги и будущих детей в данной паре.

Целью нашего исследования является: определение тесноты связи между ростом мужа и ростом жены, ростом родителей и ростом детей.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1.  

   1. Проанализировать математическую литературу по разделу «Теория корреляции»;

   2. Осуществить статистический сбор данных (студенты филиала ТюмГНГУ в г. Тобольске);

   3. Используя программу Excel осуществить необходимые расчеты для определения тесноты связи между ростом мужа и ростом жены, ростом родителей и ростом детей;

   4. Вывести формулу для расчета роста жены/мужа и будущих детей. Используя программу Excel осуществить необходимые расчеты для определения тесноты связи между ростом мужа и ростом жены, ростом родителей и ростом детей.

Перед началом работы были выдвинуты гипотезы: рост жены зависит от роста мужа на корреляционное значение r; рост детей зависит от суммы ростов родителей на корреляционное значение r.

В ходе исследования были использованы следующие методы работы:

1). Эмпирический – опрос (рост супругов, рост взрослого ребёнка);

2). Аналитический метод (анализ и обобщение данных средств массовой информации)

3). Математический метод (работа с математическими формулами)

4).Логический метод (формулировка выводов и заключений на основе полученной информации).

Исследуя материал по данной теме, выяснилось, что существует связь между ростом супруга и супруги, а так же между ростом родителей и детей.

В теории вероятностей поставленные задачи решаются в разделе, именуемом теорией корреляции. Там выводятся формулы, позволяющие вычислить коэффициент корреляции r, изменяющийся от 0 (связи не обнаружено) до 1 (связь 100%-ная), и записать линейное уравнение для связи между х и у (его называют уравнением регрессии).

Наличие связи между ростом родителей и ростом их детей представляется заранее очевидным, предопределенным генетически. Из повседневных наблюдений ясно, что у высоких родителей более высокие дети, чем у низких, и нужно найти лишь показатели этой связи. Нами были собраны данные по 100 парам «муж-жена» (n=100) и их детей в возрасте 18-22 лет.

Расположив в два столбца полученные пары значений, вычислим далее их квадраты и произведения, которые потребуются для вычисления коэффициента корреляции. Поделив суммы во втором и третьем столбцах на 100, получим среднее арифметическое значения роста жены и роста мужа соответственно: x=164,24; y=176,6.

№ п/п	x	y	x²	y²	xy
1	155	178	24025	31684	27590
2	170	186	28900	34596	31620
3	169	175	28561	30625	29575
4	165	180	27225	32400	29700
…	…	…	…	…	…
Суммы по 100 точкам	16424	17660	2702920	3127700	2903153

И среднее значение произведений из последнего столбца: xy=1ni=1n(xi∙yi)≈29031,53

Следующий этап – вычисление СКО. Среднее квадратичное отклонение (синонимы: квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. СКО вычисляют обычно по формулам:

sx=1ni=1n(xi-x)2≈7,414; sy=1ni=1n(yi-y)2≈9,505.

Все готово для вычисления коэффициента корреляции по следующей формуле: r=xy-x∙ysx∙sy≈0,38 [2].

Корреляция (от лат. correlatio — соотношение, взаимосвязь), корреляционная зависимость — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми).[1]. При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляцииr. Полученное нами значение r попадает в интервал связи средней силы (сильной обычно считают связь, начиная с r = 0,7). Таким образом, полученная сила связи довольно значительная: величины роста супругов коррелируют между собой статистически значимо. Тем самым математически доказывается, что рост партнера учитывается в большинстве супружеских пар, хотя отнюдь не во всех.

Аналогичные расчеты были проведены по детям (d – дочь; s – сын) и их родителям. По данным, где мы сравнивали не только а и х, или b и у, но и сумму ростов родителей со значениями d и s.

Получив значение корреляции, можем записать два уравнения регрессии: одно из них позволяет найти у (рост мужа), если известен х, а второе – найти х (рост жены), если задан у:

y-y=rsysx(x-x); x-x=rsxsy(y-y). [2].

Подставив все найденные значения, получим окончательно для прогнозирования роста супругов: y=0,49x+96,69; x=0,3y+111,96.

Используем их на конкретном примере: например, мой рост 172см., тогда ожидаемый рост супруга будет примерно равен: y=172*0,49+96,69, y≈180,93 см. (возможная погрешность=СКО).

Аналогично устанавливалась связь между ростом детей и родителей. Рассчитаны коэффициенты корреляции связи дочь-мать (r=0,57), дочь-отец(r=0,68), дочь-мать+отец (r=0,74), сын-мать (r=0,36), сын-отец (r=0,5), сын-мать+отец (r=0,67).

Следовательно, рост дочери и сына в большей мере зависит от роста отца, чем от роста матери, но наибольшая зависимость от суммы ростов родителей.

Рост дочери можно рассчитать по формулам: d=0,4836x+ 86,414 (по росту матери), d=0,554y+67,65 (по росту отца), d=0,353(x+y)+45,4 (по сумме ростов матери и отца).

Также рост сына можно рассчитать по формулам: s=0,392x+112,02 (по росту матери), s=0,371y+111,08 (по росту отца), s=0,43(x+y)+31,02 (по сумме ростов матери и отца).

Этими эмпирическими формулами могли бы воспользоваться мужчины и женщины, собирающиеся вступить в брак, если они заинтересуются тем, партнер какого роста для них соответствует среднестатистическому параметру. Хотя, конечно, симпатия и любовь гораздо важнее, а сделанное предположение носит чисто абстрактный математический характер.

Так как коэффициент корреляции составил больше нуля, значит статическая связь между ростом мужа и жены, родителей и детей существует и она довольно значительна. Мы выяснили, что рост детей в паре в большинстве зависит от суммы ростов родителей и по этим данным вывели эмпирические формулы, которыми могли бы воспользоваться мужчины и женщины, собирающиеся вступить в брак, и спрогнозировать будущий рост своих детей.

Список используемой литературы:

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 9 – изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

2. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 9 – изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 404 с.

3. Баранова, М. А. Математика в школе / М. А. Баранова, Б. С. Горбец // Взаимосвязан ли рост супругов? Как спрогнозировать рост детей по росту их родителей? – 2009. - №9. – С. 23 – 26.

Код для цитирования: Скопировать