VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Многофакторные уравнения регрессии являются важными инструментами выявления и оценки связей и зависимостей между различными экономическими показателями, одни из которых выступают в качестве зависимых или результативных показателей, а другие – в качестве независимых показателей или показателей-факторов.

Построить многофакторное уравнение регрессии означает рассчитать и оценить их параметры и статистические характеристики.

Целью настоящего исследования является выявление наличия связей и их оценка на примере регионов Приволжского федерального округа по данным за 2010 г. Особенностью регионов ПФО является то, что большинство из них являются благополучными регионами.

Данные регионов ПФО, необходимые для проводимого нами исследования, приведены в таблице 1.

Таблица 1

Величины ключевых показателей по14-ти регионамПриволжского

федерального округа за 2010г.

		ВРП, млрд.руб.	Числ.зан., тыс.чел.	Ст-ть ОФ, млрд.руб.	Инвест., млрд.руб.
		Y	X1	X2	X3
1	Республика Башкортостан	645,5	1782,4	1485	139,6
2	Республика Марий Эл	68,8	322,1	204	21,2
3	Республика Мордовия	92,9	387,1	342	38,4
4	Республика Татарстан	884,2	1800,9	2132	306,0
5	Удмуртская Республика	229,4	759,6	592	42,3
6	Чувашская Республика	139,5	577,1	456	43,8
7	Пермский край	544,5	1316,2	1605	129,9
8	Кировская область	145,0	664,5	488	30,6
9	Нижегородская область	545,9	1722,2	1389	172,3
10	Оренбургская область	414,5	1050,5	902	97,5
11	Пензенская область	150,9	667,7	533	46,3
12	Самарская область	579,0	1525,0	1653	132,6
13	Саратовская область	327,2	1204,7	991	78,1
14	Ульяновская область	152,6	598,0	430	44,8
	Итого по ПФО	4919,9	14378,0	13202	1323,4
	Срзначение	378,5	1106,0	1016	101,8

Источник: составлена автором по данным Росстата [4]

По этим данным можно построить одно-, двух и трёхфакторные уравнения регрессии различных видов (линейных и нелинейных). Наше исследование ограничивается рамками построения и анализа двухфакторных уравнений регрессии.

По данным таблицы 1 можно построить три группы двухфакторных уравнений для зависимости ВРП от: Х₁и Х₂; Х₁и Х₃; Х₂и Х₃. Однако включить в одну и ту же модель в качестве показателей-факторов стоимость основных фондов (Х₂) и объём инвестиций (Х₃) не целесообразно, поскольку Х₂ является показателем, который зависит от Х₃(напомним, что инвестиции делаются с целью обновления основных фондов и обеспечения их прироста).

В соответствии с теорией «эконометрики» два показателя, между которыми существует корреляционная связь, включать в одну и ту же модель в качестве показателей-факторов не рекомендуется [3;5].Поэтому в настоящем исследовании рассматриваются две группы уравнений регрессии: У от Х₁,Х₂иУот Х₁,Х₃.Построенные нами по пять видов 2-х факторных уравнений регрессии для каждой из двух зависимостей, а также две важные статистические характеристики (индекс детерминации - r и средняя ошибка аппроксимации – А) приведены в таблице 2.

Таблица 2

Двухфакторные уравнения регрессии, выражающие зависимость ВРП (У) от численности занятых в экономике (X1, тыс. чел.), стоимости основных фондов (X2, млрд. руб.)

и объема инвестиций (X3, млн. руб.) и их статистические характеристики

по данным регионов ПФО за 2010 г.

Y от X1 и X2	r	A	Место по приемл-ти
Y= -63,3+0,1123X1+ 0,3175X2	0,9713	12,3	3
Y= 63,8 * 1,0009x1* 1,0005x2	0,9440	17,6	7
Y= 0,0646* X10,5434*X206981	0,9795	11,3	1
Y= 707,5 – 290280/X1 + 17235/X2	0,6703	41,7	10
Y= -32,7 +0,4029X1- 0,1400X2- 0,00017X12 + 0,000035X22 + +0,0002X1X2	0,9799	12,1	2
Y от X1, X3
Y= -59,5 + 0,255X1 + 1,5792X3	0,9698	12,6	6
Y= 60,1 * 1,0014X1* 1,0006X3	0,9314	23,9	8
Y= 0,0994*X10,9350* X30,3610	0,9794	13,4	5
Y= 683,4- 75125/X1- 13052/X3	0,7369	37,2	9
Y= -100,7- 0,0237X1+ 6,521X3+ 0,00037X12 + 0,0147X32- +0,0064X1X3	0,9783	12,5	4

Отметим, что индекс детерминации – статистическая характеристика, с помощью которой оценивают степень тесноты связи результативного показателя Y от показателей-факторов (в нашем случае Х₁,Х₂или Х₁,Х₃) и который принимает значения от 0 до 1. При этом с увеличением индекса степень тесноты связи усиливается.

Величины индекса детерминации являютсяотносительно низкими для уравнений гиперболического вида и очень высокими для уравнений остальных видов. Таким образом, с точки зрения индекса детерминации четыре из пяти построенных уравнений регрессии являются приемлемыми.

К важным характеристикам, с помощью которых оценивается приемлемость того или иного из уравнений регрессии, относится средняя ошибка аппроксимации (А). В соответствии с учебной литературой, если величина средней ошибки аппроксимации меньше 10%, то степень приемлемости уравнения регрессии считается высокой [3;5].

Как видно из таблицы 2, по шести уравнениям из 10-ти величины средней ошибки аппроксимации весьма близки к 10% (находятся в пределах 11-13%). Ещё по одному уравнению эта ошибка составляет 17,6% и лишь по двум уравнениям она является высокой (37 и 42% соответственно).Следовательно, по совокупности двух статистических характеристик (r,A) восемь двухфакторных уравнений можно считать приемлемыми с точки зрения практической реализуемости.

В таблице 2 приведены места, которые занимают каждое уравнение по степени приемлемости. Обратите внимание: 1-е, 2-е и 3-е места по приемлемости занимают уравнения для зависимости ВРП от численности занятых в экономике и стоимости основных фондов: степенного, полиномиального и линейного видов. Из уравнений для зависимости ВРП от численности занятых в экономике и объема инвестиций 4-е, 5-е и 6-е места занимают: полиномиального, степенного и линейного видов. Зависимости гиперболического вида оказались не приемлемыми (занимают 9-е и 10-е места).

После оценки приемлемости уравнений регрессии по статистическим характеристикам принято анализировать их параметры, к которым относятся свободные члены и коэффициенты при переменных.

С точки зрения возможности экономической интерпретации параметров наибольший интерес представляют уравнения линейного, степенного и параболического видов.

Параметры m_i в уравнениях линейного и степенного видов называются соответственно предельными эффективностями факторов и коэффициентами эластичности. Такие характеристики рассчитываются по формулам:

предельная эффективность= Y/X_i;

E_Xi= Y/X_i* X_i/Y, гдеE_Xi–коэффициент эластичности.

В случае уравнения линейного вида Y/X_i=m_i, а в случае уравнения степенного вида E_Xi=m_i. Во всех остальных случаях предельные эффективности факторов и коэффициенты их эластичности являются переменными величинами.

Предельная эффективность показывает, на какую абсолютную величину увеличится или уменьшится величина результативного признака (Y), если величина одного из показателей-факторов (Xi) увеличится на одну единицу при неизменности остальных. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится или уменьшится Y, если один из показателей-факторов (Xi) увеличится на 1% при неизменности остальных.

Таким образом, при двухфакторных уравнениях линейного вида приведённых в таблице 1, увеличение численности занятых в экономике регионов на 1тыс. чел., приводило к увеличению величины ВРП на 0,1123 млрд. руб., аналогично можно утверждать, что увеличение стоимости основных фондов на 1 млрд. руб. сопровождается ростом ВРП на 0,3175 млрд. руб.

В соответствии с уравнением степенного вида увеличение каждого из двух показателей-факторов (численности занятых в экономике и стоимость основных фондов) на 1% приводит к увеличению ВРП на 1,2415% (0,5434+0,6981).

Параметры уравнений регрессии гиперболического, показательного и полиномиального видов не поддаются экономической интерпретации. Из этого вовсе не следует, что уравнения регрессии, параметры которых не поддаются экономической интерпретации, бесполезны. Дело в том, что: во-первых, уравнения регрессии строятся и исследуются не только ради их параметров; во-вторых, уравнения каждого вида имеют свои особенности и преимущества.

Покажем это, например, для полиномиальных уравнений регрессии, которые в общем случае имеют следующие математические записи:

1. Y=b+m1x1+m2x2+m3x12+m4x22+m5x1x2;

2. Y=b+m1x1+m2x3+m3x12+m4x32+m5x1x3.

3. Величины параметров и характеристик, построенных нами двухфакторных уравнений полиномиального вида, приведены в таблице 3.

4. Таблица 3

5. Величины параметров и характеристик двухфакторных уравнений регрессии,

6. выражающих зависимость ВРП от численности занятых, стоимости основных

7. фондов и объёма инвестиций по данным 14 регионов ПФО за 2010 г.

   		m1	m2	m3
   	1	2	3	4
   у от х1,х2	-32,7	-0,4024	-0,1402	-0,00017
   у от х1,х3	-100,6	-0,0231	6,5093	-0,00037

8. Продолжение таблицы 3

   m4	m5	seb	se1	se2	se3
   5	6	7	8	9	10
   0,000035	0,000223	73,0	0,4081	0,3650	0,00067
   0,0147	-0,00640	70,8	0,2932	3,1238	0,00029

9. Продолжение таблицы 3

   se4	se5	seу	r2	df	F	SSreg	SSresid
   11	12	13	14	15	16	14	18
   0,00064	0,00131	45,7	0,9799	8	78,0	16705	813946
   0,0117	0,0043	47,5	0,9783	8	72,1	18031	812620

11. Особенность и преимущество этих уравнений в том, что они позволяют рассчитать значения показателей-факторов (Xi), при которых результативный показатель Y принимает max или min значения.

12. Для этого достаточно определить частные производные по каждому показателю-фактору, приравнять полученные уравнения к нулю и найти соответствующие значения переменных.

13. Пусть задано двухфакторное уравнение регрессиив виде уравнения:

14. Y= b+ m₁X₁+ m₂X₂+ m₃X₁²+ m₄X₂²+ m₅X₁X₂.

15. Запишем для этого уравнения частные производные по Х₁ и Х₂:

16. Y/X₂= m₂+2m₄X₂+m₅X₁;Y/X₁=m₁+2m₃X₁+m₅X₂.

17. Приравняв эти уравнения к нулю и упростив их, получим следующие уравнения:

18. 2m₃X₁+ m₅X₂= -m_1; m₅X₁+ 2m₄X₂= -m₂.

19. Совместное решение этих уравнений как системы дает следующие расчётные формулы для X₁ и X₂, при которых Y будетприниматьmax или min:

20. X₁= (-m₂m₅+2m₁m₄)/(m₅²-4m₃m₄);X₂= (-m₁-2m₃X₁)/m₅.

21. Для уравнения зависимостиУ от Х₁,Х₂величины X₁,X₂, при которых Убудет maxили minследующими:

22. X₁= (-0,1402*0,0002+2*0,4029*0,000035)/(0,00022+4*0,00017*0,000035)=

23. = 43,2 тыс. чел.;

24. X₂= (-0,4029-2*0,000167*43,2)/0,000223=-1739 млрд.руб.

25. При этих значениях Х₁и Х₂ВРП будет равен:

26. У=-32,658+0,4029*43,2+0,1402*1939-0,000167*43,2^²-0,000035*1939^²-

27. -0,00023*43,2*1939=317,2 млрд. руб.

28. Если выполнить аналогичные расчёты по уравнению регрессии для зависимостиYот Х₁ и Х₃ , то получим Х₁ = 217,7 тыс. чел., Х₂ = 244млрд. руб., У=643,8 млрд. руб.

29. Нетрудно определить, что полученные значения для ВРП (Y) для обоих построенных уравнений полиномов 2-го порядка будут максимумами:

30. Y_max=317,2 млрд. руб.при X₁=43,2 тыс. чел и X₂=-1739 млрд. руб. – для зависимости ВРП от численности занятых в экономике и стоимости основных фондов;

31. Y_max=643,8 млрд. руб.при X₁=217,7 тыс. руб. и X₃=214 млрд. руб. – для зависимости ВРП от численности занятых в экономике и объёма инвестиций.

32. Сравнение данных оптимумов с данными таблицы 1 показывает, что величинаYmaxот X₁, Х₂по 1-му уравнению очень далека от фактических значений регионов по этим показателям. Однако Y_max от X₁, X₃вполне приемлем и реалистичен. В таблице 4 приведены данные регионов ПФО, величины показателей которых наиболее близки к оптимуму.

33. Таблица 4

34. Показатели регионов ПФО, наиболее близкие к оптимуму,

35. и их соотношения к оптимуму

    		ВРП, млрд.руб.	Числ. тыс.чел.	Инвест., млрд.руб.	Пт, тыс.руб.	Ио, руб.	Сумма	Место
    		Y	X1	X3
    1	Оптимум по уравнению регрессии	644	2172	244	296,5	0,379
    2	Республика Башкортостан	646	1782	140	362,2	0,216
    3	Республика Татарстан	884	1801	306	491,0	0,346
    4	Пермский край	545	1316	130	414,1	0,239
    5	Нижегородская область	546	1722	172	317,0	0,316
    6	Самарская область	579	1525	133	379,7	0,229
    1	Оптимум по уравнению регрессии	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	2,00
    2	Республика Башкортостан	1,00	0,82	0,57	1,22	0,57	1,79	5
    3	Республика Татарстан	1,37	0,83	1,25	1,66	0,91	2,57	1
    4	Пермский край	0,85	0,61	0,53	1,40	0,63	2,03	2
    5	Нижегородская область	0,85	0,79	0,71	1,07	0,83	1,90	3
    6	Самарская область	0,90	0,70	0,54	1,28	0,60	1,88	4

37. Чтобы показать соотношение показателейпяти наиболее благополучных регионов ПФО к оптимуму в таблице 4 выполнен ряд дополнительных расчётов: определены два показателя эффективности (производительность труда – Пт и инвестиционноотдача – Ио); определены отношения всех пяти показателей верхней части таблицы регионов к их значениям по оптимуму; определены величины интегрального коэффициента эффективности (как сумма относительных коэффициентов показателей эффективности) и на их основе места, занимаемые каждым регионом. Как видно из таблицы 4 интегральный коэффициент по двум регионам выше, чем по оптимуму (Республика Татарстан и Пермский край), а по трём – чуть ниже.

38. Построенные полиномы 2-го порядка являются полными полиномами. Однако можно строить и исследовать и неполные полиномы 2-го порядка, например, видов:

39. Y=b+m1X1+m2X2+m3X12+m4X22;

40. Y=b+m1X1+m2X2+m5X1X2;

41. Y=b+m1X1+m2X2+m3X12+m5X1X2ит.д.

42. В настоящем исследовании не ставилась цель строить и анализировать неполные полиномы 2−го порядка.

43. Чтобы автоматизировать множество расчётов, с которыми сталкиваются исследователи при построении уравнений регрессии и их анализе, целесообразно использовать компьютерную модель.Методика построения и применения компьютерных моделей для подобных целей описана в публикациях [1;2].

44. Литература

45. 1. Адамадзиев К.Р. Отношения, зависимости и динамические тенденции показателей России, ЮФО и Республики Дагестан: статистико-эконометрическая оценка. Ж. Сегодня и завтра Российской экономики. Научно-аналитический сборник. Спец. выпуск, 2009. с 30-40

46. 2. Адамадзиев К.Р., Адамадзиева А. К. Оценка экономических показателей регионов России методами математического, статистического и компьютерного моделирования. Труды XL Юбилейной международной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе». Приложение к журналу «Открытое образование»

47. 3. Адамадзиев К. Р., Джаватов Д. К. Эконометрика. Краткий курс: учебное пособие. - Махачкала: Изд. Дом «Народы Дагестана», 2003. – 83с.

48. 4. Россия в цифрах, 2010: Крат. Стат. Сб. / Росстат. –М., 2011. -581с.

49. 5.Эконометрика. Учебник для вузов. Под ред. И.И. Елисеевой. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. -576 с.

Код для цитирования: Скопировать