VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Введение

На практике часто появляется необходимость согласования дей­ствии фирм, объединении, министерств и других участников различных проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участ­ников, обязанных согласовывать действия при столкновении инте­ресов.

Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в про­мышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, осо­бенно при заключении договоров с иностранными государствами на любых иерархических уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслужи­вания и выбора новых линий городского транспорта, задачу плани­рования порядка организации эксплуатации месторождений полез­ных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез.

Таким образом, проблема применения теории игр на практике в сфере экономике является на сегодняшний день важной и актуальной. Целью данной работы является рассмотрение решения задач в экономике с помощью метода теории игр. Предмет работы – принципы максимина и минимакса, объект исследования – теория игр в экономике. Задачи:

• Исследование принципов максимина и минимакса

• Наблюдение динамики решения задач: упрощается или усложняется экономическое решение с применением теории игр

• Применение методов теории игр в экономике: рассмотреть конкретные примеры

Практическая значимость работы заключается в содержащихся в ней выводах, которые могут быть использованы для выработки перспектив применения теории игр, а также рекомендаций по использовании максиминного и минимаксного принципов в экономике. Материалы данного исследования могут быть использованы в учебном процессе, для подготовки общих и специальных курсов, учебных и учебно-методических пособий по социально-политическим дисциплинам.

1. Понятие игры. Максиминные и минимаксные решения.

Цель теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, т.е. выбор оптимальной стратегии для каждого из них. Игровая модель, в отличии от конфликтной ситуации, строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил.

Участниками игры (конфликтной ситуации) могут быть минимум два человека (парная игра) или несколько человек (множественная игра). Игра развивается по оговоренным правилами. Игроки по очереди делают свои ходы. Естественно, перед каждым ходом игрок может или сохранить предыдущую стратегию или применить новую стратегию. Если игрок при выборе очередного хода придерживаются каких-либо правил, то такая игра носит название стратегической.

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу (табл. 1) – платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, a_ij называется выигрыш первого игрока.

Таблица 1

Стратегии	В1	В2	…	В n
А1	a11	a12	…	a1n
А2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
А m	am1	am2	…	amn

Если игра содержит ограниченное количество стратегий, то такая игра называется конечной. В противном случае – бесконечной.

Стратегия, приносящая игроку максимальный выигрыш, называется оптимальной. Для нахождения оптимальной стратегии необходимо проанализировать все возможные стратегии и рассчитывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Обычно минимальные числа в каждой строке обозначаются αi и выписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл 2). В каждой строке будет свое α_i = min a_ij . Предпочтительной для игрока А является стратегия, при которой α_i обращается в максимум, т.е.

α = max(mina_ij), где α – гарантированный выигрыш (максимин).

Если придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении стороны В (конкурента) гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньше α . Поэтому α называют также ценой игры – тот гарантированный минимум, который можно обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

Очевидно, что аналогично распределения можно провести и для конкурента В, который должен рассмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения выигрыша:

β = min(maxaij), дает минимаксный выигрыш, или минимакс.

Такая β – стратегия – минимаксная, придерживаясь которой стороне В гарантировано, что в любом случае она проигрывает не больше β, поэтому β называют верхней ценой игры.

Если α = β = С, то число С называют чистой ценой игры или седловой точкой. Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными, так как любое отклонение от этих стратегий приводит к уменьшению выигрыша первого игрока и увеличению проигрыша второго игрока по сравнению с ценой игры С.

Таблица 2

	В1	В2	…	В n	α i
А1	a11	a12	…	a1n	α 1
А2	a21	a22	…	a2n	α 2
…	…	…	…	…	…
А m	am1	am2	…	amn	α i
βi	β1	β2	…	βn

Наиболее полно разработан математический аппарат игр с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока, т.е. общая сумма выигрыша всех игроков равна нулю. При построении игровых моделей предполагается, что каждый из игроков будет выбирать только лучшую (для себя) стратегию.

Результатом исследования игровой модели является определение наиболее осторожной стратегии поведение игрока, либо обеспечение гарантированного выигрыша (как правило, минимального), либо сведение к минимуму проигрыша. Риски при получении большого выигрыша не учитываются и не оцениваются.

Таким образом, результаты исследования игровых моделей указывают на оптимальную стратегию поведения (гарантированный выигрыш), а какой стратегией воспользуется игрок в реальной жизни – дело самого игрока.

1. Практическое применение теории игр в задачах моделирования экономических процессах

Пример №1

На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль . Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток .Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.

В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин, второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-го товара — i-я. стратегия первого игрока, спрос на j-й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка:

Пример №2

Матрица игры имеет вид:

Составим платежную матрицу и найдем в ней максимин и минимакс

	В1	В2	В3	В4	В5	αi
А1	2	10	3	14	5	2
А2	8	9	5	6	7	5
А3	10	8	4	8	12	4
βj	10	10	5	14	12	5/5

Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии j = 2 и j = 3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5.

Пример №3

Диспетчер автобусного парка (ЛПР) в месяцы в конце каждой недели должен принять решение о целесообразности выделения дополнительных автобусов на загородный маршрут. ЛПР имеет три варианта решений: увеличить количество автобусов на 10 (стратегия ) увеличить это количество на 5 (стратегия Р₂) или оставить без изменения обычное число автобусов на линии (стратегия Р₃). Возможны два состояния погоды: —Q₁ плохая погода,Q₂ - хорошая погода, причем в момент принятия решения нет возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будет хорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, то парк понесет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если же выделены дополнительные автобусы, а погода окажется плохой, то возникнут потери вследствие эксплуатации незаполненных автобусов.

Пусть, на основе анализа статистических данных за определенный период установлена функция потерь для возможных комбинаций состояний природы и решений ЛПР в виде матрицы игры А (Р_i,Q_i), в которой отрицательные значения показывают дополнительную прибыль, а положительные – потери: Q₁ Q₂

Если нет сведений о вероятностях различных состояний погоды, то по критерию Вальда и по критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия Р₂. По критерию Гурвица при “коэффициенте пессимизма” q=1 оптимальной окажется стратегия Р₂, а при q=0 — стратегия Р₁.

Пример №4

Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. Но данным прошлых наблюдений предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решим эту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А — в расчете на теплую погоду и стратегия Б — в расчете на холодную погоду. Природу будим рассматривать как второго игрока также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г).

Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит: 600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1975 - 625)8 = 6 800 руб., а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход равен: 600(48 - 27) + 1 975(16 - 8) = 28 400 руб.

Если предприятие выберет стратегию Б, то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход: 1 000(48 - 27) + 625(16 - 8) = 26 000 руб., а в условиях теплой погоды: 600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1 000 - 600)27 = 6 800

Следовательно, матрица данной игры (платежная матица) имеет вид:

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800. Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400. Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то А, то стратегию Б. Такая стратегия называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1 - х). В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход: 6800х + 26 000(1 - х) = 28 400х + 6800(1 - х). Отсюда можно найти, что х — 8/17; 1 - х = 9/17.

Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратеги А и Б в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме: 6800-8/17 + 26000-9/17 16965 руб.; эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной стратегии: (600 костюмов + 1975 платьев)*8/17 + (1000 костюмов + 625 платьев)*9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев.

Следовательно, оптимальная стратегия предприятия заключи в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит три любой погоде средний доход в сумме 16 965 руб.

Заключение

На основании выше изложенного материала можно сделать вывод о том, что особое внимание при исследовании экономико-математических методов необходимо уделять принципам максимина и минимакса, ведь именно они могут упростить ряд экономических задач:

• снизить фактор сезонности в экономических процессах;

• приведению формул и примеров расчетов;

• рассмотрению ряда прикладных задач маркетинга, менеджмента и других областей управления в экономике;

• моделированию спроса и потребления;

• научному управлению запасами;

• анализу сетевого планирования и управления;

• аналитическому моделированию систем массового обслуживания;

• принятию решений на основе теории игр.

Так как я в своей работе особое внимание уделила теории игр, то, после рассмотрения ее более подробно, и в этой конкретной области можно сделать определенные выводы. Здесь представлены, на мой взгляд, более актуальные задачи:

• как получить набольшую выгоду или учет твоих интересов конкурентом, или поставщиком;

• какой товар лучше производить и т.д.

Список используемой литературы

1. Экономико-математические методы и прикладное моделирование / В.В. Федосеев. – М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.

2. Математическое моделирование макроэкономических процессов / А.Н. Котов. – Л.: ЛГУ, 1980

3. Основы экономико-математического моделирования / Ю.Г. Семенов.1976

4. Экономико-математические методы / Л.Л. Терехов.– М.: Статистика–1972

5. Зенкевич Н.А., Петросян Л. А., Янг Д.В.К. Динамические игры и их приложения в менеджменте: учеб. Пособие / Н.А. Зенкевич, Л.А. Петросян, Д.В.К. Янг; Высшая школа менеджмента СпбГУ. — Спб.: Изд-во «Высшая школа менеджмента», 2009. — 415 с.

6. Лефевр Владимир Александрович, Смолян Георгий Львович Алгебра конфликта / Предисл. В.Н. Цыгичко. Изд. 5-е. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. — 72 с.

7. Hagen Lindstädt, Jürgen Müller. Making game theory work for managers — [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://www.mckinseyquarterly.com/Making_game_theory_work_for_managers_2493# (дата обращения 22.02.13)

Код для цитирования: Скопировать