VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В современном мире моделирование рассматривается как один из важных способов изучения окружающего мира, имеющий достаточно широкое приложение во многих областях знаний как гуманитарных (философия, история и др.), так и естественнонаучных (ядерная физика, биология, медицина и др.). Основным понятием математического моделирования является понятие модели. Отметим, что существуют разные точки зрения на это понятие (В. А. Штоф, А. И. Уемов, Чарльз Лейв и Джеймс Марч и др.). Но большинством ученых модель в широком смысле определяется как материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал (объект, процесс или явление), сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели. На основе такого представления о модели моделирование рассматривается как исследование какого-либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. На применении идеи моделирования основан соответствующий метод научного исследования, в ходе которого сложное реальное явление заменяется моделью, то есть некоторой упрощенной копией, схемой и т. д. Построенная модель отражает только некоторые существенные черты, что позволяет исследователю разобраться в сущности оригинала, его функциях, особенностях строения, дает возможность предсказать его поведение или изменение, и т. д. В целом, значимость моделирования в различных областях деятельности человека и определяет необходимость его изучения в средней школе.

Большое значение в научных исследованиях имеют математические модели, которые развивались и совершенствовались в течение многих тысячелетий. Современная математика представляет другим отраслям знаний большое число моделей - мощных универсальных средств исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, можно применять в качестве математической модели. Поэтому одной из приоритетных задач обучения математике учащихся средних общеобразовательных учреждений обоснованно считается формирование умения строить и исследовать математические модели простейших реальных явлений различного характера.

Как правило, в методической литературе [1], [4], [5] и др. рекомендуется такие умения начинать формировать не в 8-11 классах, а значительно раньше, начиная с 5-6 классов. Однако специальная работа в данном направлении должна быть продолжена и в старшей школе. Поясним последнее положение. Актуальность умения решать текстовые задачи обусловлена: профилизацией обучения в старшей школе, в процессе реализации которой учащиеся сталкиваются с задачами из конкретных выбранных ими областей подготовки; необходимостью подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике, в КИМах которого содержится достаточно большое количество задач реального содержания; методическим потенциалом изучаемого математического материала, который дает более широкие (по сравнению с основной школой) возможности для формирования вышеназванного умения и более глубокого знакомства с математическим моделированием и др.

В качестве эффективного средства обучения математическому моделированию в методических исследованиях [4], [5] и др. называются текстовые сюжетные задачи. Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т. д.) [6]. Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). Наиболее распространенным является термин «текстовая задача».

Текстовой задачейбудем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий [1]. Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модельситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики [4]. Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть, выполнено для получения ответа на требование задачи.

Таким образом, формирование умения решать текстовые задачи у учащихся старшей школы будет способствовать и более глубокому изучению ими сущности математического моделирования.

Различным аспектам проблемы обучения учащихся умению решать текстовые задачи в методической литературе уделяется достаточно много внимания. Л. А. Сафоновой [5] обобщены три основных направления, на основе которых проводятся исследования указанной проблемы. Отметим, что разделение по направлениям проведено условно, так как в работах некоторых исследователей (Ю. М. Колягина, Л. М. Фридмана и др.) освещаются сразу несколько аспектов данной проблемы. Остановимся на характеристике направлений подробнее.

1. Текстовые задачи как средство обучения и развития учащихся. В эту группу вошли исследования (Ю. М. Колягина, М. И. Моро и др.), в которых анализируются различные функции текстовых задач в обучении математике, их влияние на развитие учащихся, формирование у них математических представлений и т. п. Так как текстовые задачи являются первыми математическими задачами, изучаемыми в школе, именно с их помощью ученики узнают о структуре задачи, этапах ее решения и используемых при этом математических методах.

2. Текстовые задачи в широком контексте исследования: текстовые задачи представляются как часть математических задач. Авторы работ данной группы (М. И. Зайкин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, Л. М. Фридман и др.) исследуют процесс обучения решению математических задач, рассматривают различные эвристические приемы и методы решения. Представители этого направления изучают различные аспекты школьной математической задачи. Следует особо отметить, что многие исследователи (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, Г. И. Саранцев, Л. М. Фридман и др.) рассматривают задачу как сложный объект. Исследование общих приемов решения нестандартных задач проведено Ю. М. Колягиным. Укажем те приемы, которые применимы для текстовых задач: а) анализировать данную систему с целью выявления существенного; с целью установить полноту, непротиворечивость, независимость условия задачи или ее элементов; б) соотносить неизвестные элементы задачи с известными; распознавать известные или данные элементы в различных сочетаниях; сопоставлять данную задачу с известными задачами; в) конструировать простейшие математические модели данной задачной ситуации; г) осуществлять мысленный эксперимент, предвидеть его промежуточные и конечные результаты; индуктивно строить гипотезы, высказывать разумные догадки; расчленять данную задачу на подзадачи; д) интерпретировать результаты работы над моделью данной задачной ситуации; е) критически оценивать результаты решения задачи с различных точек зрения; обобщать результаты решения задачи; исследовать возможные частные и особые случаи [2].

3. Текстовые задачи как самостоятельный предмет исследования. Это направление Л. А. Сафонова [5] подразделяет еще на три. Опишем более подробно каждое из них.

   1. Обучение использованию отдельных форм и приемов при решении текстовых задач. Например, А. К. Артемов и Н. Б. Истомина в качестве основных приемов и форм обучения, направленных на формирование умения арифметически решать текстовые задачи выделяют следующие: наглядная интерпретация (краткая запись, таблица, схематический рисунок и т. д.); преобразование задачи (измерение данных, условия); сравнение задач (условий, вопросов, текстов, решений); фронтальная беседа; рассмотрение текстов с недостающими или лишними данными; составление задач учащимися; решение задачи другим арифметическим способом; дифференцированная работа над задачей и т. д.

   2. Обучение обобщенным способам решения текстовых задач. Обучение обобщенным способам решения текстовых задач преобладает в школьном учебном процессе. Применение обобщенных способов требует знания отдельных действий, их составляющих. Поэтому школьников, наряду с алгоритмами, следует обучать отдельным действиям, составляющим умение решать текстовые задачи.

   3. Обучение действиям, адекватным методам решения текстовых задач. Знания учащихся становятся более осознанными и прочными, если они приобретаются в результате выполнения определенной деятельности, чем преподносятся в «готовом виде». Поэтому в педагогических науках большее распространение имеет деятельностный подход в обучении. Существуют исследования [4] и др., в которых выделены отдельные действия, входящие в состав определенного метода решения текстовых задач, указаны некоторые виды упражнений по их формированию.

Таким образом, все вышесказанное позволило нам выделить ряд методических идей (который в ходе дальнейшего исследования этой проблемы может быть расширен), значимых для практики обучения математическому моделированию учащихся старшей школы:

- изменяются функции текстовых задач: наряду с традиционными обучающими, развивающими, воспитывающими, на первый план выходят углубление изучения алгебраического материала; обобщение и систематизация материала; индивидуализация и дифференциация образования; развитие исследовательских умений учащихся и др.;

- изменяются временные рамки изучения решения разных видов текстовых задач (вместо разбросанности по отдельным темам и разделам, привязанности к определенной теме школьного курса математики, можно организовать изучение их целым блоком, например, посредством организации проведения элективного курса соответствующего содержания);

- изменяются формы, методы и средства изучения (ведущее место в обучении может быть отведено методам проблемно-поискового и исследовательского характера, стимулирующим познавательную активность учащихся; может быть значительно увеличена и доля самостоятельной работы школьников с различными источниками учебной информации);

- изменяется и приемы, и способы решения текстовых задач (в процессе обучения учащихся старшей школы приоритет должен быть отдан обобщенным приемам и методам решения).

Приведем пример одного из обобщенных приемов составления математической модели текстовой задачи, изложенного в работе Н. В. Лаховой [3] и успешно примененного нами в ходе производственно-педагогической практики. В качестве примера опишем применение этого приема решения на задачах на движение и на работу. Ознакомление с этим приемом осуществляется на основе знакомства учащихся с системой вопросов, которые можно предложить учащимся либо с помощью мультимедийной презентации, либо в виде распечатанных памяток. После знакомства с системой вопросов учитель демонстрирует два–три образца решения задач различных типов, а затем предлагаются задачи для самостоятельного решения. Поясним сказанное на примерах.

Задача № 1.При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 3 ч 45 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на 3 ч быстрее другого?

Учитель: Для начала ответьте на следующие вопросы:

• О каком процессе в задаче идет речь?

• Какими величинами характеризуется этот процесс? (их количество определяет число строчек в будущей таблице.)

Учащиеся, прочитав задачу, начинают отвечать на вопросы. Речь идет о процессе работе по очистке пруда, объем которого обозначим через V кубических единиц. Этот объем каждый час очищается на М (кубических единиц), т.е. М – работа в единицу времени. Обозначим через t – число часов, затраченное на работу. Значит, в таблице нужны 3 строки (А, М, t).

• А о скольких процессах упоминается в задаче? (их количество равно числу столбцов в таблице.)

Ответ учащихся: в задаче говорится о трех процессах работы: два насоса работают одновременно, далее сравниваются показатели по очищению пруда первым насосом, а затем вторым (по отдельности). Таким образом, в таблице будет 3 столбца.

• Какие величины известны и что нужно найти? (Таблица заполняется данными и ставится знак вопроса).

• Как связаны величины в задаче? (Выписываются формулы и уясняются связи величин в таблице).

Ответ учеников: нужно найти, за сколько часов очистит пруд каждый насос, работая отдельно. Но сначала, выразим 3 ч 45 мин в часах, это равно 15/4 ч. В каких единицах измеряется объем, в условии не указано, следовательно для решения это несущественно, значит можем принять в качестве любое число. Возьмем самое удобное – 1.

Учащиеся чертят таблицу 1 с тремя строками и тремя столбцами и заполняют все ее клетки заданными соотношениями.

Таблица 1

Величины	Процессы очищения пруда
	1-м насосом	2-м насосом	1-м и 2-м вместе
V (единиц3)	1	1	1
M (1/час)	1/х	1/(х-3)	4/15
t (ч)	х – ? на 3 часа больше, чем	х-3	15/4

• Какую величину удобно обозначить, например, буквой х? (Анализируется, удобно ли за х взять величину, о которой спрашивается в задаче, или лучше какую-либо другую. Затем остальные неизвестные величины выражаются через х, каждой из них соответствует пустая клетка в таблице).

• Какое условие нужно использовать для составления уравнения? (Это то условие, которое не использовалось для выражения неизвестных через х).

Учащиеся обозначают за х время работы 1-го насоса, работающего отдельно. Далее приходят к выражению (х-3) – время, необходимое 2-му насосу для выполнения всей работы. Так как за 1 ч оба насоса очищают вместе (1/х)+(1/(х-3)) часть пруда, а по условию это 4/15 часть, значит можно составить уравнение: (1/х)+(1/(х-3))=4/15. Учащиеся решают его, находят время работы 1-го насоса. После этого вычисляют время работы 2-го насоса.

Задача № 2.Катер прошел 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость катера по течению.

Прочитав задачу, ученик отвечает на семь предыдущих вопросов примерно следующим образом.

• В задаче идет речь о процессе движения, который характеризуется величинами: путь s (км), скорость v (км/ч) и время t (ч), значит в таблице будут 3 строчки.

• В условии упоминается о двух процессах движения: по течению и против течения. Значит, для них нужно два столбца. Для данных, характеризующих весь путь, удобно выделить еще один столбец.

Далее ученики начинают заполнять таблицу 2. величины, которые пока не входят в нее, пишутся ниже. Внизу таблицы выписываются формулы, связывающие данные величины, а в таблице заполняются соответствующие ячейки.

Таблица 2

Величины	Процессы движения		Общие показатели
	По течению	Против течения
s (км)	5	6
v (км/час)	(х+3) – ?	(х-3)
t (ч)	5/(х +3) – ?	6/(х -3)	1
	вместе равно

S=v·t, v_пот. = v_соб. + v_{т. р.}, v_{пр. т.}=v_соб. – v_{т. р}

• Далее для удобства выражения всех неизвестных величин через одну из них за х нужно принять не v_{по т.}, о котором спрашивается в задаче, а v_соб..

• Для составления уравнения используется связь между величинами, отраженная в последней строчке таблицы. Так как t_{по т.} + t_{пр. т.} =1, то

(5/(х +3))+( 6/(х -3))=1.

Таким образом, используя семь одинаковых вопросов можно решить совершенно разные типы задач. Естественно, все типы задач рассмотреть невозможно, но анализируя задачу, учащиеся в старших классах не испытывают проблем с решением текстовых задач. Следует отметить, что вопросы должны быть адаптированы к изучаемому уровню задач. Далее в процессе обучения вопросы могут постепенно углубляться, их количество увеличиваться. Таким образом, составляя краткое условие на основе вопросов и составления таблицы, учащиеся учатся рассуждать и находить решение задачи.

В заключение отметим, что формирование умения решать текстовые задачи учащимися старшей школы способствует решению проблемы обучения их математическому моделированию. Владением последним способствует активизации познавательной деятельности учащихся, развитию их мышления, усилению творческой направленности процесса обучения, формированию исследовательских умений учащихся, что в современных условиях является актуальным для учащихся старшей школы.

Литература:

1. Демидова, Т. Е. Теория и практика решения текстовых задач / Т. Е. Демидова, И. С. Тонких. – М. : Просвещение, 2002. – 348 с.

2. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. В 2 ч. / Ю. М. Колягин. – М. : Просвещение, 1977. – 364 с.

3. Лахова, Н. В. Решение текстовых задач в средних классах. / Н. В. Лахова // Математика в школе. – 1998. – № 3. – С. 17–23.

4. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие / Г. И. Саранцев. – М. : Просвещение, 2002. – 224 с.

5. Сафонова, Л. А. Обучение учащихся 1-8 классов решению текстовых задач в условиях преемственности изучения математики : дис. …канд. пед. наук / Л. А. Сафонова. –– Саранск, 2000. – 202 с.

6. Ульянова, И. В. Задачи в обучении математике. История, теория, методика: учеб. пособие / И. В.Ульянова. – Саранск, 2006. – 65 с.

Код для цитирования: Скопировать