VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В своей работе я хотел показать математическое доказательство трёх утверждений, имеющий механический смысл свойства центра масс. В курсе физики эти свойства сформулированы в следующем виде.

1.Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.

2.Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется «золотым правилом механики»: произведение массы материальной точки на расстояние от неё до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m1∙d1=m2∙d2, где m1 и m2 - массы материальных точек, а d1 и d2 - расстояния от материальных точек до центра масс.

Рис.1

3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

На основании трёх свойств дадим математическое определение центра масс. Рассмотрим две материальные точки m1А1 и m2А2 и Z- их центр масс, тогда второе свойство запишется в виде m1∙ ZA1=m2∙ ZA2. Учитывая, что векторы ZA1 и ZA2 имеют противоположенные направления, получаем m1ZA1 = -m2ZA2 т.е.

m1ZA1+m2ZA2 =0 (1)

Чтобы выполнялись свойства 1 и 2, центром масс двух материальных точек m1А1 и m2А2 должна быть такая точка Z, для которой спроведливо равенство (1).

Пусть теперь даны три материальные точки m1А1 , m2А2 ,m3А3 , и пусть Z- центр масс этой системы двух материальных точек. (свойство1). Обозначим через С центр масс двух материальных точек m1А1 и m2А2. Тогда, согласно (1),

m1СA1+m2СA2 =0 (2)

Согласно свойству 3, центр масс всей системы m1А1 , m2А2 ,m3А3 совпадает (рисунок 2) с центром масс двух материальных точек (m1+m2)С и m3А3 т.е согласно (1)

m1+m2ZС + m3ZА3=0 (3)

Рис. 2

Но мы имеем

m1+m2ZС= m1ZС +m2ZС=m1(ZA1 -СА1 )+ m2(ZA2 -СА2 )= m1ZA1+m2ZA2- (m1СА1 +m2СА2 )= m1ZA1+m2ZA2

(см. равенство (2)), и поэтому равенство (3) примет вид

m1ZA1+m2ZA2 +m3ZA3= 0 (4)

Итак, если мы хотим , чтобы выполнялось свойство 3, то центром масс трёх материальных точек m1А1 , m2А2 ,m3А3 должна быть такая точка Z, что справедливо равенство (4). По аналогии можно рассмотреть, случай для четырёх и более точек.

Тогда вытекает определение центра масс.

Определение. Центром масс (барицентром) системы материальных точек m1А1 , m2А2 ,m3А3 ,…, mnАn

называется точка Z, для которой имеет место равенство

m1ZA1+m2ZA2 +m3ZA3+ …+mnZAn = 0 (4)

Докажем математически все три свойства , не связанные с физическими представлениями.

Теорема1. Если точка Z служит центром масс системы материальных точек m1А1 , m2А2 ,m3А3 ,…, mnАn

То при любом выборе в пространстве точки О справедливо равенство

OZ=m1OA1+m2OA2+ …+mnOAnm1+m2+ …mn

Доказательство: Рассмотрим для случая n=2.

Выберем произвольную точку О. Равенство

m1ZA1+m2ZA2 = 0

Можно переписать так

m1OA1 –OZ+m2OA2 –OZ=0

Расскрывая скобки и выражая OZ, получим

OZ=m1OA1+m2OA2m1+m2

Теорема 2. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; положение определяется «золотым правилом механики»: m1∙d1=m2∙d2

Доказательство:

Пусть Z - центр масс системы двух материальных точек m1А1 , m2А2 . Тогда в силу m1ZA1+m2ZA2 +m3ZA3+ …+mnZAn = 0 , получим

m1ZA1+m2ZA2=0

т.е. m1ZA1=-m2ZA2. Из этого видно, что векторы ZA1 и ZA2 противоположно направлены, так что точка Z лежит внутри отрезка А₁А₂, причём m1∙ ZA1=m2∙ ZA2, т.е m1∙d1=m2∙d2. Это есть «золотое правило механики».

Математически докажем справедливость свойства 3.

Теорема 3. Пусть в системе m1А1 , m2А2 ,m3А3 ,…, mnАn, состоящей из n материальных точек отмечены k материальных точек m1А1 , m2А2 ,m3А3 ,…, mkАk (рис.3) и пусть С-центр масс отмеченных материальных точек. Если всю массу отмеченных материальных точек сосредоточить в их центре масс С, то от этого положение центра масс всей системы не изменится. Иначе говоря, система m1А1 , m2А2 ,m3А3 ,…, mnАn имеет тот же центр масс, что и система материальных точек (m1+m2+ …mk)C, mk+1Аk+1 ,…,mnАn

Рис. 3

Доказательство. Пусть Z – центр масс системы

m1А1 , m2А2 ,m3А3 ,…, mnАn, т.е.

m1ZA1+m2ZA2 +m3ZA3+ …+mkZAk+mk+1ZAk+1+…+mnZAn= 0.

Так как С – центр масс системы материальных точек m1А1 , m2А2 ,m3А3 ,…, mkАk , то по теореме 1

ZС=m1ZA1+m2ZA2+ …+mkZAkm1+m2+ …mk

Из последних двух равенств получим

(m1+m2+ …mk)ZC+mk+1ZAk+1+…+mnZAn= 0,

а это значит , что центром масс системы материальных точек

(m1+m2+ …mk)C, mk+1Аk+1 ,…,mnАn является та же точка Z.

Код для цитирования: Скопировать