VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Вданнойстатьерассмотрим, какидлячегоможноиспользоватьматрицыв экономике, как решаютсянекоторые экономические задачи, анализируются и делаютсяиз них определенные выводы.

Как известно, матрицей размераmxnназывается прямоугольная таблица, содержащая строк и столбцов, в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного множества - это могут быть целые, действительные или комплексные числа, векторы, рациональные функции — в зависимости от приложений и задач.

Матрицы получили широкое применение в математике потому, что благодаря их использованию, можно компактно записыватьразличные данные, системы линейных алгебраических илидифференциальных уравнений и т.д.В случае систем, число уравнений соответствует количеству строк матрицы, а количество неизвестных — количеству столбцов. В результатезаписи систем линейных уравнений с помощью матриц их решение сводится к операциям над матрицами.

Понятие матрицы и матричная алгебра – математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами - имеют довольно большое значение для экономистов. Это обусловлено тем, что большая часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в довольно простой, а главное - компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Для примера рассмотрим таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (условных единиц):

Ресурсы	Отрасли экономики
	Машиностроение	Строительство
Электроэнергия	7,3	4,1
Трудовые ресурсы	4,8	8,2
Водные ресурсы	2,7	5,1

Мы можем записать её в более компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

Отсюда, матричный элемент показывает, сколько электроэнергии расходует машиностроение, а элемент - сколько трудовых ресурсов требуется строительной отрасли.

Для наглядности перейдём к рассмотрению задач.

Предположим, предприятие выпускает продукцию трёх видов: , , и использует сырье двух типов: и . Нормы расходаэтого сырья характеризуются следующей матрицей:,в которой каждый элемент показывает, сколько единиц сырья -го типа расходуется на производство единицы продукции -го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой: .

А стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) - матрицей столбцом:

.

Отсюда получаем, что затраты на первое и на второе сырьё составляют:

единиц и единиц, поэтому можем записать матрицу-строку затрат сырья как произведение:

.

Значит, общая стоимость сырья денежных единиц тоже может быть записана в матричном виде:

.

Так же общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: для начала необходимо вычислить матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, то есть:

.

А после этого общую стоимость сырья:

.

На этом примере мы наблюдаем выполнение ассоциативного закона произведения матриц: .

Множество экономических задач можно свести к системам линейных уравнений. Для наглядного примера рассмотрим следующую задачу:

Мебельная фабрика специализируется на выпускетрех видов изделий: диванов, кресел и кроватей. При этом используется сырье трех типов: , , . Нормы расхода каждого этого сырья на один вид изделий и объем его расхода на один день заданы таблицей:

Виды сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие, условных единиц			Расход сырья на 1 день, условных единиц
	Диваны	Кресла	Кровати
	3	0	2	180
	1	4	1	160
	6	0	3	330

Чему равен ежедневный объем выпуска каждого вида изделия?

Решение сведём к системе линейных уравнений.

Пусть ежедневно фабрика выпускает . диванов, кресел, кроватей. Тогда в соответствии с расходами на сырьё изделий каждого вида, получим систему:

Эту систему можно решать различными методами. Мы применим метод Крамера, для чего составим и вычислим главный определитель системы: .

Так как он отличен от нуля, то система совместна, а значит, имеет единственное решение. Составим и вычислим вспомогательные определители , где :

, , .

Применяя формулы Крамера, получим решение задачи с точки зрения математики:

, , .

Учитывая, что решение задачи должно быть целочисленным, из полученных значений переменных системы приходим к выводу, что ежедневно мебельная фабрика выпускает 40 диванов, 22 кресла и 30 кроватей.

Проанализировав применение матричной алгебры в экономике, можно прийти к выводу, чтоиспользование матриц имеет свои достоинства и недостатки.

Недостатки. Они заключаются в том, чтоматричная алгебра не обеспечивает реальных рекомендаций по разработке специфических стратегий; по матрицам невозможно определить сферы бизнеса, которые готовы стать победителями.

Достоинстваприменения матриц в следующем:

- они используют широкий набор стратегически значимых переменных; указывают направление движения ресурсов;

- позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал, различные исходные данные, характеризующие уровень, структуру, особенности социально-экономического комплекса.

При наличии отрицательных моментов применения матричной алгебры положительная часть значительно обширнее.

Из выше рассмотренного можно сделать вывод:роль матриц в экономике очень и очень велика. Ведь благодаря их использованию можно гораздо быстрее, чем с использованием какого-либо другого математического аппарата, и проще решить многие экономические задачи, что чрезвычайно важно для экономистов.

Список литературы

1. Кремер Н. Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики : учеб.- справоч. пособие / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин ; под ред. Н. Ш. Кремера. – М. Высшее образование, 2007.

2. Комплект рабочих тетрадей по курсу высшей математики для экономических специальностей./ Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Попова С.В., Крон Р.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Тынянко Н.Н.// Международный журнал экспериментального образования. 2009. № S4. С. 22.

3. Мамаев И.И., Бондаренко В.А.Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры//Аграрная наука, творчество, рост/ Сборник научных статей по материалам научно-практической конференции. – Ставрополь, из-во «АГРУС»,2013г. С. 266-268.

Код для цитирования: Скопировать