VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Является ли разрешимое произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемой группой. Оказалось, что разрешимое произведение упорядочиваемых групп вовсе не обязано быть упорядочиваемым. Контрпример строится для случая двуступенно разрешимого произведения упорядочиваемых групп.

Пусть группа с образующими и определяющими отношениями: является упорядочиваемой группой. Обозначив через фактор – группу группы по её коммутанту , через бесконечные циклические группы и , где целые числа, или I. Построим группу со следующими соотношениями:

где группа без кручения, причем, подгруппа ее является двуступенно разрешимой и

В самом деле,

Существенным является то, что , так

Далее инвариантная абелева подгруппа группы абелева группа.

Возьмем группу и бесконечную циклическую группу .Тогда отображение при котором где можно продолжить до гомоморфизма, так как если некоторое слово равно единице в , то образ этого слова равен единице в . Здесь символ обозначает двуступенно разрешимое произведение. Но в силу того, что действует нетождественно действует нетождественно на Получается, таким образом, что индуцирует автоморфизм второго порядка на группе и, следовательно, группа не является упорядочиваемой, действительно, полагая получаем:

, а это недопустимо.

Таким образом, класс упорядочиваемых групп незамкнут относительно разрешимых произведений.

Список литературы

1. Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы: монография А.И. Кокорин, В.М. Копытов. – М.: Наука, 1972. – 199 с.

2. Копытов В.М., Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость некоторых подгрупп упорядочиваемой группы // Алгебра и логика. Новосибирск, 1968. – Т.7. – №2. – С. 20-26.

3. Жерздева И.С., Мамаев И.И. Гомоморфизмы частично упорядоченных модулей // Современные наукоемкие технологии. 2013. №6. С. 68

4. Ледяева А.С., Мамаев И.И. Y-Простые линейно-упорядоченные модули // Современные наукоемкие технологии. 2013. №6. С. 76-77