VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В полной мере теория приложений может быть разработана с применением кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Поэтому в нашей статье нецелесообразно превышать некоторый уровень математической строгости. Навыки работы в этом направлении – вот что будет для нас главным в нашей статье.

Рассмотрим вычисление площадей плоских фигур. П лощадь криволинейной фигуры может быть найдена из уже известного геометрического смысла определенного интеграла (рисунок 1):

.

Для дальнейших приложений это будет удобно записать в виде криволинейного интеграла (все связанное с криволинейным интегралом, пока следует рассматривать только как удобную форму записи).

Для областей с конфигурацией как на рисунке 2 более удобной является формула .

П ри обходе областей сложной конфигурации можно разбивать ее на более простые области (пример указан на рисунке 3) и для вычисления площадей плоских фигур пользоваться либо формулой , либо формулой , либо комбинированной формулой:

.

Если функция, определяющая границу области, задана параметрически , то последняя формула принимает вид

.

Формула для нахождения площади фигуры, граница которой задана в полярных координатах , имеет вид и получена суммированием площадей элементарных криволинейных треугольников (рис. б, см. пункт 2) .

Рассмотрим вычисление длин дуг плоских кривых. Формула для нахождения длина дуги кривой получается суммированием длин элементарных дуг. Длина элементарной дуги в декартовых координатах может быть найдена по формуле П ифагора (рис. а):

.

а) Если кривая задана явно , то 

б) Если же кривая задана явно , то 

в) Для кривой, заданной параметрически, , получим .

г) В полярной системе координат (рис. б) . В различных частных случаях

.

д) формула для нахождения длины дуги кривой, записанная через криволинейный интеграл . Данная формула, с учетом способа задания кривой, может быть переписана с помощью интеграла Римана, например

.

Пример: Найти площадь и длину дуги эллипса с полуосями а и b.

Зададим эллипс параметрическим уравнением . Тогда

1) .

2) =

=

Получившийся интеграл – эллиптический интеграл и не выражается через элементарные функции. Его значение может быть найдено численными методами, например, методом прямоугольников, трапеций или Симпсона. Также его значение может быть найдено в справочниках по специальным функциям (например, М. Абрамович, И. Стиган).

Рассмотрим криволинейные интегралы I^-го рода.

Для кривой определим .

Так, определенный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода: если функция определяет линейную плотность масс на кривой, то определяет массу кривой.

Рассмотрим вычисление площадей поверхностей вращения и вычисление объёмов.

На рисунках проиллюстрированы формулы

а) для нахождения объема тела, полученного вращением плоской кривой вокруг оси : ;

б) для нахождения объёма тела с известной площадью поперечного сечения:;

в) для нахождения площади поверхности тела, полученного вращением плоской кривой вокруг оси : .

Рассмотрим вычисление моментов и координат центра масс. Статический момент конечной системы материальных точек с массами и радиус-векторами находится по формуле: . Радиус-вектор центра масс будет равен ,

где .

Тогда, если (x, y, z) – декартовы координаты, а – статические моменты системы материальных точек относительно координатных плоскостей соответственно, то , , .

А для координат центра масс имеем:

; ; .

Для точек, лежащих в одной плоскости с декартовыми координатами (x, y), если обозначить статические моменты относительно осей Ox и Oy, получим формулы:

; .

И для центра масс, соответственно; .

Для системы точек, лежащих в плоскости можно говорить и о моментах k^го порядка:

, .

При этом очевидно, что масса системы точек это момент нулевого порядка, а статические моменты это моменты первого порядка. Моменты второго порядка называются моментами инерции.

Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси определяется равенством: , где – расстояния от точек системы до соответствующих осей.

При применении определенного интеграла к вычислению моментов тела разбиваются на тонкие слои из точек «равноудаленных» от соответствующих плоскостей (или осей), и каждый такой слой рассматривается как единое целое.

Пример. Найти статический момент эллипса относительно касательной к эллипсу в его «вершине», если эллипс однороден (плотностью ).

Уравнение эллипса: (рис. б)

Разрежем эллипс на элементарные полоски параллельные оси ординат. Так как полоски достаточно узкие, можно считать, что все точки элементарной полоски находятся на одинаковом расстоянии от оси ординат. Площадь элементарной полоски, в таком предположении, равна .

Умножая площадь на плотность, получим массу элементарной полоски .

Расстояние от элементарной полости до оси Oy: .

Тогда для статического момента эллиптической пластинки относительно прямой, проходящей через его вершину, параллельно одной из осей (в нашем случае – оси ординат), получаем: .

При этом плотность может даже зависеть от х: .

Список литературы

1. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Дифференциальное исчисление в задачах экономики // Аграрная наука, творчество, рост: материалы Международной научно-практической конференции / Сб. науч. тр. – Ставрополь: «АГРУС» СтГАУ, 2013. - С. 263-265.

2. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры // Аграрная наука, творчество, рост: материалы Международной научно-практической конференции / Сб. науч. тр. – Ставрополь: «АГРУС» СтГАУ, 2013. - С. 266-268.

3. Родина Е.В., Саакян Л.Г., Федорец Н.П. Экономический смысл производной // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 6. - С. 83-84.

Код для цитирования: Скопировать