Каждый студент задаётся вопросом: ″Для чего нужно линейное программирование и понадобится ли оно мне в жизни?″ Рассмотрим значимость данной математической дисциплины с точки зрения бизнеса и производства.
Прибегая к линейному программированию, производитель может найти оптимальный производственный план, благодаря которому будет достигаться максимум прибыли при минимуме издержек, а также проследить за тем, как будет изменяться прибыль при изменении величины ресурсов. Приведём пример.
У нас есть следующая функция: LX=2*X1+8*X2→max ,
с её ограничениями: X1+X2≥3X1-X2≤-24*X1+3*X2≤24
Сделаем анализ устойчивости. График нашей функции будет выглядеть следующим образом:
Интересующая нас область является фигурой ABCD.
После изменения коэффициентов целевой функции и анализа изменений констант в правой части неравенств ограничений мы получим стоимость ресурсов, которая выглядит следующим образом:
Стоимость ресурсов |
||
Дефицитные ресурсы |
Недефицитные ресурсы |
|
b2 |
b3 |
b1 |
Интервал устойчивости |
||
[-8;6] |
[9,5;∞) |
[0;50/7] |
Оптимальное значение целевой функции |
||
Lmax∊[14;64] |
Lmax∊[21;∞) |
Lmax=292/7 |
Мера устойчивости (условная стоимость) |
||
y2=52/14 |
y3=290/203 |
y1=0 |
В итоге, мы получаем следующий вывод: максимальное значение L равно 292/7, достигающееся при величинах X1=18/7 и X2=32/7.
Интервалы устойчивости активных запасов:
b2∊[-8;6]; Lmax∊[14;64]
b3∊[9,5;∞); Lmax∊[21;∞)
Пассивных запасов:
b1∊[0;50/7]; Lmax=L(187;327)=292/7
Стоимость ресурсов:
y1=0; y2=52/14; y3=290/203.
С учётом проведения анализа устойчивости, производитель будет производить продукцию на основании полученного плана, что, несомненно, будет положительно сказываться на его ведении дел.
Линейное программирование позволяет исследовать и находить экстремальные значения линейных функций, на неизвестные которых наложены линейные ограничения. Основы данной научной дисциплины были заложены в 1939 г. Л. В. Канторовичем, опубликовавшим работу ″Математические методы организации и планирования производства″, в которой он сформулировал новый класс экстремальных задач с ограничениями и разработал эффективный метод их решения. Как мы видим, эта наука ещё совсем молодая, однако она нашла своё применение во многих сферах промышленности, планирования и финансов, облегчая ведение подсчётов. Примером тому служит то, что ни одну современную банковскую систему невозможно представить без использования линейной модели программирования, позволяющей им управлять своими фондами и проводить финансовое планирование.