VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Высота треугольника участвует во многих интересных задачах, о которых будет идти речь в данном материале.

Докажем, прежде всего, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

□ 1 способ. Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противолежащим сторонам и получим треугольник (рис.1). Тогда высоты данного треугольника являются, очевидно, серединными перпендикулярами сторон треугольника, поэтому они пересекаются в одной точке Н, она называется ортоцентром данного треугольника.

2 способ Используем векторы. Пусть и тогда и из следуетили т.е. прямая перпендикулярна . Этим доказано, что третья высота проходит через точку пересечение первых двух высот.

3 способ. Найдем длины отрезков (где )

тогда Отсюда по теореме Чевы следует, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Треугольник , с вершинами в основаниях высот называется ортоцентрическим . ■

Пусть в треугольнике - его высоты, – ортоцентр, тогда существуют окружности ,и с диаметрами соответственно(рис 2).

Также существуют окружности, равные окружности. В самом деле, если – ортоцентр и(рис.3) пересекает окружность в точке, то из следует . А как вписанные вопирающиеся на одну и ту же дугу. Точно так же , откуда следует равенство треугольников и. Окружности и описаны вокруг равных треугольников, поэтому равны, значит и

Также существуют окружность и с диаметрами соответственно и , они проходят через точки и, и, и (рис.3).

Возьмем окружностии (рис 4). Так как , а – как сумма противолежащих углов, вписанного четырехугольника , то и , т.е прямые и антипараллельны относительно угла . Точно так же , т.е высота данного треугольника является биссектрисойортоцентрического. Аналогичный вывод можно сделать и для остальных высот, т.е. ортоцентр треугольника является центром вписанной окружности его ортоцентрического треугольника .

Рассмотрим некоторые задачи.

Задача1. Пусть – ортоцентр, и - высоты треугольника . Доказать, что (1).

□ Так как – как углы со взаимно перпендикулярными сторонами

(рис.4), то Рассмотрев подобные треугольники и получим равенство (1). ■

Задача 2.

Если - центр описанной окружности треугольника , – его ортоцентр, то доказать равенство.

□ Треугольник гомотетичен его серединному треугольнику при гомотетии с центром (центроид) и коэффициентом . При этой гомотетии и , так как – ортоцентр , поэтому ■

Задача3.

Треугольник вписан в окружность. Доказать, что отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, перпендикулярен к радиусу окружности, проведенному в третью вершину.

□ Известно, что отрезок антипараллелен стороне (рис.6). Проведем диаметр , тогда , откуда следует, что треугольник подобен прямоугольному треугольнику . Следовательно . ■

Задача 4.

В треугольнике стороны ортоцентрического треугольника равны 5, 12 и 13. Найти площадь данного треугольника.

□ Пусть и – высоты, и (рис.7).

Так как , то треугольник – прямоугольный и . Тогда .

Найдем и антипараллельны .

Вычислим произведение

НайдемТак как очевидно, что из , то Найдем Тогда Ответ:195 ■

Задача5.

Из вершин остроугольного треугольникаопущены перпендикуляры и соответственно на стороны и ортоцентрического треугольника. Доказать: 1)прямые и пересекаются в одной точке; 2) прямые и пересекаются в центре О описанной окружности треугольника .

□ 1) Углы (рис.8), отмеченные цифрами 1 равны, так как в окружности углы и равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу . Тогда имеем такие пары подобных треугольников:

1) Запишем (2) в виде. Перемножим левые и правые части равенств (3), (4) и (5):. Правая часть равенства равна по теореме Чевы для высот данного треугольника. Тогда левая часть (6) также равна . По обратной теореме Чевы получим, что прямые и пересекаются в одной точке.

2) Из равенства углов и следует, что прямые ипересекаются в одной точке – центре описанной окружности треугольника.

Задача 6. В прямоугольном треугольнике опущена высота на гипотенузу. и центры вписанных окружностей соответственно треугольников ,и. Доказать, что отрезок равен и перпендикулярен отрезку . Выразить радиус r вписанной окружности треугольника через радиусы и вписанных в треугольники и окружностей.

□ Пусть – радиусы вписанной в треугольник окружности, (рис.9). Опустим перпендикуляр и докажем, что точка, его пересечения сявляется центром вписанной окружности треугольника . Для этого опустим перпендикуляр и покажем, что

В

В т.е

Аналогично, Далее, – квадрат). Из равенства и в треугольнике. Доказано также, что и . ■

Литература

1. Понарин Я.П. Элементарная геометрия . т. 1. Планиметрия. М. , МЦНМО, 2004

2. Просолов В.В. Задачи по планиметрии, ч. 1-2 М. , Наука, 1991

3. Шарыгин И. Ф. Геометрия. Задачник 9-11М., Дрофа, 1997

Код для цитирования: Скопировать