VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

 и  соответственно обозначают целую и дробную части числа .

Определение. Если для целого 

то число  называется точкой скачка последовательности  .

Если  - не целое, то точки скачка всегда существуют. В дальнейшем, предположим, что ,  - рациональное.

Лемма. Если то точки для которых , где являются всеми точками скачка , при  и следствии число точек скачка равно .

Ниже докажем теорему, позволяющую найти точки скачка                               ,  . Разложим   в полурегулярную цепную дробь вида

и определим числа таким образом:

Теорема. Числа вида

при выполнении следующих условий:

1)    ;

2)    для произвольных 

представляют все точки скачка.

Доказательство следует из теоремы 4 [3] (стр. 93 - 99).

Литература

1)    Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. Наука 1978.

2)    Thoger Bang. On the sequence   supplementary note to the preceding paper by The Skolem. Math Scand. S(1957), 69 - 76.

3)    Ильясов И. И. Структурная формула для последовательности остатков  и её приложения к цепной дроби, связанной квадратичным невычетом по простому модулю. Чебышевский сборник. Том 12. Выпуск 1 (2011).