VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Создана компьютерная модель одномерного газа, взаимодействие молекулы которого описывается потенциалом Леннарда-Джонса. С помощью созданной модели проанализирован процесс установления термодинамического равновесия, а также исследовано распределение молекул по скоростям. Показано, что при распространении возбуждения в цепочке возникает волна, соответствующая солитонному решению.

Astract

The computer model of one-dimensional gas, the interaction of the molecule is described by Lennard-Jones potential. With the help of the created model examined the process of establishment of thermodynamic equilibrium, and studied the distribution of the velocity. It is shown that the propagation of excitation in the chain, a wave corresponding soliton solution.

Исследование физических процессов в реальных газах может проводиться на модели попарного взаимодействия молекул, определяемого потенциалом Леннарда – Джонса:

, (1)

где – постоянная, характеризующая свойства взаимодействующих молекул, r – расстояние между молекулами, – молекулярный радиус. На рис. 1 приведена зависимость потенциала Леннарда – Джонса от r при .

Рис. 1 – График потенциала Леннарда – Джонса при .

Можно показать, что минимум потенциала достигается при . При этом вблизи минимума потенциал можно представить в виде:

. (2)

Сила взаимодействия между молекулами определяется выражением:

. (3)

При возникает отталкивание (), при – притяжение (). При небольших отклонениях от положения равновесия () возникают малые гармонические колебания молекул около положения равновесия, что отвечает состоянию твердого тела при низких температурах близких к абсолютному нулю. При увеличении сила взаимодействия быстро убывает, так при сила взаимодействия и ей можно пренебречь. Для сравнения, сила отталкивания при равна , т.е. почти на 6 порядков больше.

На сегодня не существует единой модели, объединяющей твердое, жидкое и газообразное состояние вещества. Модель, основанная на использовании потенциала Леннарда – Джонса, достаточно хорошо описывает жидкое и газообразное состояние вещества и переходы между ними.

При переходе от неравновесного состояния к равновесному, в рамках рассматриваемой модели, вещество может оказаться в жидком, газообразном состояниях или может установиться динамическое равновесие этих фаз. Это зависит от величины полной энергии системы

. (4)

Полная энергия системы сохраняется. Если полная энергия системы отрицательна, то это соответствует жидкому состоянию, а если она положительна – газообразному.

Уравнение движения для i-ой молекулы:

. (5)

В этом выражении – масса i-ой частицы, – модуль силы взаимодействия i-ой молекулы с j-ой.

Согласно (1) энергия взаимодействия i-ой молекулы с j-ой определяется выражением:

, (6)

Откуда

. (7)

При интегрировании уравнений (5) удобно ввести безразмерные переменные: расстояния будем измерять в единицах , энергию в единицах , массу в атомных единицах массы , время в единицах , где

. (8)

Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия в одномерном случае средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу, связана с абсолютной температурой Т системы соотношением:

, (9)

где – постоянная Больцмана.

Нами рассмотрен процесс установления термодинамического равновесия в одномерном газе. При этом устанавливается определенное значение средней кинетической энергии молекул и температуры Т (с точностью до флюктуаций). Показано, что при произвольном первоначальном распределении молекул по энергиям при отсутствии внешнего воздействия устанавливается равновесное распределение молекул по абсолютной величине скорости близкое к максвеловскому.

Рассмотривается линейная цепочка N молекул, расстояние между центрами соседних молекул составляет kr₀,где постоянная . Крайним молекулам сообщают кинетическую энергию pN, где постоянная . Скорости молекул направлены внутрь цепочки таким образом, чтобы центр масс цепочки оставался неподвижным, при этом

. (10)

Для того, чтобы цепочка не разлеталась необходимо задать циклические условия, т.е. необходимо считать, что цепочка замкнута и за N-ой молекулой следует первая молекула.

В задачах молекулярной динамики для выполнения закона сохранения энергии необходима достаточно высокая точность расчетов при численном интегрировании системы уравнений (5). Для получения необходимой точности расчетов нами использовался алгоритм Верле в скоростной форме [1]:

, (11)

. (12)

Здесь – шаг интегрирования по времени (), – скорость, а – ускорение i-ой молекулы на n-ом шаге, в соответствии с (5) равно:

. (13)

Для решения поставленных заданий была создана программа «Молекулярная динамика» в среде Excel на языке Visual Basic for Applicanion (VBA). Лист запуска этой программы представлен на рис. 2. Путем вычислений, выполненных с помощью этой программы, были получены следующие результаты.

Рис. 2 – Лист запуска программы

Для числа частиц N = 10 при четырех значениях начальной кинетической энергии , сообщаемой крайним молекулам, равных: , , , . Получено распределение молекул по скоростям. На рис. 3 представлена зависимость среднего расстояния между молекулами (красная кривая и средней кинетической энергии , приходящейся на одну молекулу, (синяя кривая) от времени для случая . Несмотря на то, что средняя кинетическая энергия молекул флюктуирует, устанавливается равновесное распределение молекул по скоростям. График распределения молекул по скоростям представлен на рис.4 для четырех указанных выше значений , которые соответствуют следующим значениям температуры Т: 240 К, 420 К, 560 К и 790 К . Единица измерения скорости на графике .

Рис. 3 – График изменения со временем среднего расстояния между молекулами (верхняя кривая) и средней кинетической энергии

(нижняя кривая).

Рис. 4 – График распределения молекул по абсолютной величине скорости для различных температур: Т = 240 К, 400 К, 560 К и 790 К.

Из графика видно, что наиболее вероятная скорость молекул, соответствующая максимуму графика, увеличивается с повышением температуры примерно . Наблюдаемый на графике максимум в области больших скоростей, по-видимому, соответствует солитонному решению, которое впервые было обнаружено в численном эксперименте Ферми–Пасты–Улама в 1955 году при моделировании линейной цепочки молекул (см. монографию [2]).

Для числа частиц N = 100 при трех значений начальной кинетической энергии , сообщаемой крайним молекулам, равных: , , . Получено распределение молекул по скоростям. На рис. 5 представлена зависимость среднего расстояния между молекулами (верхняя кривая) и средней кинетической энергии , приходящейся на одну молекулу, (нижняя кривая) от времени для случая . Устанавливается равновесное распределение, при котором средняя кинетическая энергия молекул не изменяется. График распределения молекул по скоростям представлен на рис.6 для трех указанных выше значений , которые соответствуют следующим значениям температуры Т: 390 К, 650 К, 840 К. Единица измерения скорости на графике .

Рис. 5 – График изменения со временем среднего расстояния между молекулами (верхняя кривая) и средней кинетической энергии

(нижняя кривая).

Рис. 6 – График распределения молекул по абсолютной величине скорости при температурах: Т = 390 К, 650 К, 840 К.

В расчетах принималось, что r₀₁ = r₀ = 210^-10 м, m₁ = m = 12 атомных единиц массы, ₁ =  = 3,210^-21 Дж.

Литература

1. Гульд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике (в 2-х частях). Часть первая. - М., Мир, 1990. – 390 с.

2. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. – М.: Мир, 1985. – 694 с.

Код для цитирования: Скопировать