VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

С целью развития логического мышления учащихся необходимо время от времени создавать проблемные ситуации на уроках. Рассмотрим некоторые примеры

1. Дано уравнение первой степени с двумя неизвестными : (1). Привести это уравнение к виду (2). Существенными признаками этого уравнения являются следующие:

1. Свободный член равен 1 и стоит в правой части уравнения.

2. В левой части в числителях двух дробей записаны и с коэффициентами 1.

3. Между дробями стоит знак «+».

В соответствии с этими признаками преобразуем уравнение . Получим уравнение прямой в «отрезках», где , которые называются отрезками, отсекаемыми прямой d на осях координат. Геометрический смысл полученного уравнения состоит в том, что наша прямая пересекает ось в точке , а ось -в точке .

1. В квадратном трехчлене (3) выделить полный квадрат. Преобразуем .

Этот трехчлен при принимает наименьшее значение . Это значит, что вершина параболы находится в точке (рис.1)

Вообще, выделение полного квадрата часто используется в математике.

1. Найти радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением : (4). Преобразуем уравнение

Тогда центр окружности -, а .

1. Привести уравнение плоскости (5) к виду (6).

По аналогии со случаем 1 получим (7) - уравнение плоскости в отрезках. Ясно, что плоскость пересекает оси координат в точках

Перед более сильными учащимися в качестве домашнего задания можно поставить такую проблему:

1. Пусть в прямоугольной системе координат дана гипербола . Ясно, что симметрична относительно биссектрис и координатных углов . Если их принять за оси новой системы координат , то как запишется уравнение в этой системе?

Пусть в этой системе координат (рис. 2). . В новой системе координат и . Нам необходимо выразить и через и и подставить в уравнение гиперболы. Пусть , тогда в , . В и . Получим систему

Получили уравнение равнобочной гиперболы в новой системе координат.

Перейдем к проблемным ситуациям на уроках геометрии.

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD середины M, N, P и Q соответственно сторон AB, BC, CD и AD соединены. Определить вид четырехугольника MNPQ.

Проведем диагонали AC и BD и сразу определим, что MNPQ-параллелограмм. Теперь ученикам ставится вопрос: при каком ABCD параллелограмм ABCD будет: а) ромбом; б) прямоугольником; в) квадратом?

Такие вопросы возбуждают интерес учащихся, и они активно ищут ответ на поставленный вопрос.

1. Найти формулу площади трапеции.

Ранее учащиеся научились находить площадь прямоугольника, параллелограмма и треугольника. При этом параллелограмм и треугольник преобразовывались в равносоставленные с ними прямоугольники. Аналогичный прием используется при выводе формулы площади трапеции. Здесь возможны различные варианты (рис. 4):

а) , где середина , так как Значит, (рис. 4а)

б) (рис. 4б)

в) , где средняя линия трапеции, и (рис. 4в).

г) , где - средняя линия трапеции (рис. 4г)

д)

- средняя линия

(рис. 4д)

Возможны и другие варианты. Во всех случаях приходим к одной и той же формуле

Ученик, нашедший хотя бы один «новый» вариант, должен быть поощрен.

Если внимательно присмотреться к конкретному теоретическому материалу, то учитель сможет найти еще множество других проблемных ситуаций. А каждая геометрическая задача, по сути, является проблемной ситуацией.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4а

Рисунок 4б

Рисунок 4в

Рисунок 4г

Рисунок 4д

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9. М., Просвещение, 1991.

2. Козлова С.А. и др. Геометрия 7-9. М., Баласс, 2013.

3. Погорелов А.В. Геометрия 7-11. М., Просвещение, 1997.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9. М., Дрофа, 2010.

Код для цитирования: Скопировать