VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Введение

Теория комплексной задачи Коши для систем дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений насчитывает в своём развитии не одно десятилетие. Она берёт своё начало от фундаментальных трудов французского математика О.Л. Коши, поставившего эту задачу в 1842 году. Именно он впервые показал, что разрешимость задачи в некотором классе аналитических функций непосредственно связана с аналитичностью и порядками операторных коэффициентов системы уравнений. Впоследствии, 1875 году, к аналогичному результату независимо от Коши пришла С. Ковалевская, поэтому установленные ими результаты вошли в теорию уравнений с частными производными как достаточные условия аналитической разрешимости Коши-Ковалевской (или просто теорема Коши-Ковалевской).

Тем самым, с 1842 года и по настоящее время исследования по этой тематике продолжаются, устанавливая всё новые и новые факты, относящиеся к проблеме аналитической разрешимости задачи Коши в различных пространствах. Не ставя перед собой целью обозреть в рамках настоящей работы многочисленное наследие результатов, установленных математическим сообществом для задачи Коши на протяжении последних 170 лет, особо отметим работы Ж. Лере, Л. Гординга, Т. Котаке [8], С. Мизохата [10], Ф. Тревеса [13], Ю.А. Дубинского [5], [6], а также монографию [7], где приведена обширная библиография по теме.

При исследовании комплексной задачи Коши для некоторых видов систем дифференциально-операторных уравнений с принадлежащими произвольному локально выпуклому пространству операторными коэффициентами (см. [1], [2]) был получен аналог достаточных условий Коши-Ковалевской аналитической разрешимости таких систем, сформулированный в терминах порядка и типа линейного непрерывного оператора [4]. Так, в работе [1] изучалась задача Коши для системы дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами вида

(1)

где – линейные непрерывные, перестановочные друг с другом операторы, а – скалярные функции одной комплексной переменной, однозначные и аналитические в односвязных областях (каждая в своей).

Доказана

Теорема 1.Задачи Коши (1) имеет единственное решение являющееся аналитической в некоторой области пространства ℂ вектор-функцией комплексных переменных со значениями в пространстве если операторы ℵ¹

Сходный результат был установлен для задачи Коши, поставленной для системы дифференциально-операторных уравнений произвольного конечного порядка ℕ [2]:

(2)

где ℂ,

Доказана

Теорема 2. Задачи Коши (2) имеет единственное решение для любых векторов являющееся векторнозначной функцией комплексных переменных со значениями в пространстве если операторы ℵ

Как следует из теорем 1-2, достаточным условием существования аналитического решения задачи Коши является наличие (удовлетворяющего определённым требованиям) порядка (или же и порядка и типа) в пространстве у всех линейных коммутирующих операторов что является даже более сильным условием, чем непрерывность оператора в пространстве (согласно определению порядка линейного оператора, всякий оператор, имеющий порядок, непрерывен; обратное – неверно [4]).

Последующее изучение задачи Коши (2) показало, что она может быть аналитически разрешима и при более слабых условиях. Именно, обозначая через A – семейство линейных замкнутых, коммутирующих друг с другом операторов (непрерывность в этом случае не является обязательной), действующих в пространстве и полагая по определению [4]

A) (3)

– операторным p-порядком вектора относительно семейства операторов A, а при A)

A) (4)

– операторным -типом вектора относительно семейства операторов A, приходим к следующему условию аналитической разрешимости задачи Коши (2) [3]: задача Коши (2) имеет единственное решение, являющееся целой вектор-функцией комплексных переменных со значениями в пространстве если векторы ℑ

Под ℑℝ, здесь понимается класс векторов для которых операторные -порядки относительно семейства операторов A A) либо A) но тогда их операторные -типы относительно семейства A A)

Тем самым, при указанных условиях задача оказывается аналитически разрешимой и в случае, когда операторные коэффициенты системы не только не имеют порядка, но и даже не являются непрерывными. Однако при этом возникают дополнительные требования к начальным данным задачи.

Итак, говоря об аналитической разрешимости комплексной задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений в произвольном локально выпуклом пространстве, следует различать характер условий, предъявляемых к аналитической разрешимости этой задачи. Если аналитическая разрешимость предполагает принадлежность операторных коэффициентов системы некоторому классу операторов ℵℝ, будем говорить о сильных условиях аналитической разрешимости. Если же для существования аналитического решения достаточно, чтобы начальные данные задачи входили в некоторый класс векторов ℑℝ, относительно семейства операторов A, имеют место слабые условия аналитической разрешимости.

Продемонстрируем различия между сильными и слабыми условиями аналитической разрешимости на примере комплексной задачи Коши для системы дифференциально-операторных уравнений произвольного конечного порядка с переменными коэффициентами. Заметим, что результаты, представленные в настоящей работе, обобщают выводы, полученные ранее для задачи Коши (2) в работах [2], [3].

1. Опорные сведения

В дальнейших исследованиях важную роль играют функциональные ряды, построенные по некоторой системе функций поэтому ниже приведём определение системы функций а также несколько полезных свойств рядов, построенных по функциям этой системы.

Пусть – решение обыкновенного дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

ℂ.

Поскольку – целые функции, также является целой функцией переменных и и представляется степенным по рядом

Система функций является хорошо изученной. В частности, ей посвящены работы М.К. Фаге [11] и А.Ф. Леонтьева [9]. Известно, что функции системы являются целыми, определяются однозначно и образуют базис в пространстве функций, аналитических в круге. Ряды по этой системе функций

(5)

ведут себя (во многом) как степенные ряды: для них справедлив аналог теоремы Абеля, а также аналог формулы Коши-Адамара, то есть, если

(6)

то ряд (5) сходится в круге и расходится вне этого круга.

1. Постановка задачи

Пусть – произвольное счётно-полное локально выпуклое пространство с определяемой мультинормой топологией, а A – семейство линейных, перестановочных друг с другом операторов, действующих в этом пространстве: В пространстве рассмотрим систему дифференциально-операторных уравнений произвольного конечного порядка с переменными коэффициентами

ℕ, (7)

изучаемую относительно вектор-функции зависящей от комплексных переменных: ℂ

Здесь

,

а – целые скалярные функции. В сочетании с начальными условиями

(8)

где система (7) образует комплексную задачу Коши (7)-(8), исследуемую в абстрактных пространствах достаточно общей природы.

Рассмотрим вопрос о существовании аналитического решения этой задачи при различном характере условий, предъявляемых к коэффициентам системы (7) и начальным данным (8).

1. Сильные условия аналитической разрешимости

Пусть все операторы семейства A непрерывны, причём Дополнительно потребуем выполнения условий ℵ Тогда справедлива

Теорема 3 (сильные условия аналитической разрешимости).

Пусть операторы ℵ Тогда задача Коши (7)-(8) имеет единственное решение для любых векторов Оно является голоморфной в окрестности нуля векторнозначной функцией комплексных переменных со значениями в пространстве и определяется формулой

(9)

в которой

(10)

(11)

где

(12)

– символ Кронекера,

причём:

1) если все операторы имеют порядки то вектор-функция (9) является целой функций комплексных переменных;

2) если же среди операторов найдётся хотя бы один оператор имеющий порядок и тип а остальные операторы при этом имеют порядки то вектор-функция (9) является аналитической функций комплексных переменных в открытом поликруге

с полицентром и полирадиусом где а

(13)

Лемма 1.Пусть операторы имеют порядки Тогда кратные ряды (10)-(11) сходятся по топологии пространства абсолютно на ℂ.

Доказательство. Применяя к ряду (10) раз оценку [4]

(14)

видим, что такое, что

(15)

где

Из цепочки неравенств (15) следует, что кратный ряд (10) мажорируется произведением однократных рядов

каждый из которых сходится абсолютно на ℂ в силу формул (6) и Стирлинга

Отсюда следует, что кратный ряд (10) сходится по топологии пространства абсолютно на ℂ.

Точно также, применяя к ряду (11) раз оценку (14), устанавливаем, что такое, что

где причём эта оценка справедлива для всех

Рассуждая далее как и для ряда (10), из абсолютной сходимости мажорирующих рядов

на ℂ, делаем вывод об абсолютной сходимости кратного ряда (11) по топологии пространства на ℂ.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если среди операторов найдётся хотя бы один оператор такой, что а остальные операторы при этом имеют порядки то кратные ряды (10)-(11) сходятся по топологии пространства абсолютно в открытом поликруге с полицентром и полирадиусом где а вычисляется по формуле (13).

Доказательство. Не нарушая общности, будем считать, что существует один оператор (в случае, когда таких операторов несколько, доказательство проводится аналогично).

Обращаясь раз к оценке (14) и один раз к оценке [4]

несложно видеть, что такое, что

где

Полученная оценка показывает, что кратный ряд (10) мажорируется произведением однократных рядов, из которых, как показано в лемме 1, сходится на ℂ. Применяя формулы Стирлинга и (6), и учитывая произвольность приходим к выводу, что ряд

сходится абсолютно в открытом круге где вычисляется по формуле (13). Следовательно, для кратного ряда (10) справедливо утверждение леммы.

Рассуждая аналогично, из оценки

выполняющейся для всех делаем вывод о справедливости утверждения леммы для кратного ряда (11).

Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Полученные в леммах 1-2 сильные условия аналитической разрешимости допускают почленное дифференцирование кратных рядов (10)-(11) по переменным любое число раз. Поскольку [9]

то

Аналогично,

поэтому

то есть вектор-функция (9) является решением системы (7).

Докажем теперь, что вектор-функция (9) удовлетворяет также начальным условиям (8).

Известно, что [9]

ℕ. (16)

Используя (16), (12), (9)-(11), имеем Покажем, что

Действительно, так как [9]

(17)

и

то

Заметим, что

(18)

(19)

В выражении (18) поэтому из (12) вытекает, что в (18) Опираясь на (17), получаем:

Учитывая, что в (19) и принимая во внимание (12), имеем:

поэтому в силу (16)-(17) и соотношений [9] имеем

Приведённые рассуждения доказывают, что функция (9) удовлетворяет начальным условиям (8).

Единственность решения задачи может быть доказана следующим образом. Предполагая, что задача Коши (7)-(8) имеет два различных решения и рассмотрим функцию

(20)

По доказанному ранее эта функция определена в некотором поликруге с центром и очевидно, удовлетворяет в этом поликруге системе (7) и однородным начальным условиям (8)

(21)

где

Тем самым, единственность решения задачи будет доказана, если установим, что вектор-функция (20) тождественно равна нулю. Для этого достаточно заметить, что вектор-функция (20) на области определения является голоморфной (это следует из системы (7) и определения голоморфности, приведённого в [12]), а значит, представляется в некоторой окрестности нуля сходящимся степенным рядом. Следовательно, вектор-функция (20) тождественно равна нулю, если в окрестности нуля все коэффициенты разложения в степенной ряд равны нулю, т.е. если

(22)

Последнее равенство доказывается в несколько этапов. На первом из них, в силу (7), (21), непрерывности операторов и аналитичности в нуле функций можно показать, что

(23)

На втором этапе, в силу (7), (23), непрерывности операторов и аналитичности в нуле функций несложно установить, что

Опираясь на результаты первых двух этапов, аналогично можно показать равенство нулю смешанных производных любого порядка от функции (20) по трём, четырём и т. д. различным переменным в нуле, откуда и вытекает справедливость равенств (22). Тем самым,

Теорема 3 доказана.

1. Слабые условия аналитической разрешимости. Устойчивость решения

Пусть теперь все операторы семейства A замкнуты, причём Потребуем дополнительно, чтобы начальные данные задачи подчинялись условиям ℑ Тогда справедлива

Теорема 4 (слабые условия аналитической разрешимости).

Пусть векторы ℑТогда задача Коши (7)-(8) имеет единственное решение, являющееся целой вектор-функцией комплексных переменных со значениями в пространстве и определяемое равенствами (9)-(12).

Лемма 3. Пусть A)A) Тогда кратные ряды (10)-(11) сходятся по топологии пространства абсолютно на ℂ и определяют целые вектор-функции и

Лемма 4. Пусть A)A)A) A) Тогда кратные ряды (10)-(11) сходятся по топологии пространства абсолютно на ℂ и определяют целые вектор-функции и

Доказательство лемм 3-4 аналогично доказательству соответствующих лемм работы [3] и опирается на оценки

вытекающие из определений операторного p-порядка и p-типа вектора относительно последовательности операторов (см. (3), (4)), формулу Стирлинга, а также аналог формулы Коши-Адамара (6).

Далее приведём краткое

Доказательство теоремы 4. Описанные в леммах 3-4 слабые условия аналитической разрешимости, в силу замкнутости операторов системы (7), допускают почленное дифференцирование кратных рядов (10)-(11) по переменным любое число раз. Следовательно, приведённые при доказательстве теоремы 3 выкладки, показывающие, что вектор-функция (9) удовлетворяет системе (7) и начальным условиям (8), сохраняют свою силу и в условиях теоремы 4.

Единственность решения задачи Коши (7)-(8) в случае слабых условий аналитической разрешимости доказывается тем же методом, что и в теореме 3, с той лишь разницей, что вместо непрерывности операторов здесь используется их замкнутость в пространстве

Теорема 4 доказана.

Замечание 1. Приведённые в теореме 4 условия заметно упрощают уровень требований, предъявляемых к операторам системы (7) для существования аналитического решения задачи Коши (7)-(8), перенося «основную нагрузку» на начальные условия (8). Однако для непрерывной зависимости решения от начальных данных задачи слабые условия аналитической разрешимости достаточными не являются: в этом случае требование существования порядка у всех операторов сохраняет свою силу.

Условия непрерывной зависимости (устойчивости) решения относительно начальных данных описывает

Теорема 5. Пусть операторы ℵТогда решение задачи Коши (7)-(8) непрерывно зависит от начальных данных

Доказательство теоремы 5 аналогично доказательству теоремы устойчивости, приведённой в работе [2], и основывается на асимптотическом равенстве [9]

ℂ,

являющемся основополагающим при доказательстве многих свойств системы функций

Библиографический список

1. Аксёнов Н.А. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами // Вестник Ижевского государственного технического университета, 2009. – № 4 (44). – С. 176-178.

2. Аксёнов Н.А. Задача Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка в локально выпуклых пространствах // Математические заметки, 2011. – Т. 90. – Вып.2. – С. 183–198.

3. Аксёнов Н.А. К вопросу об аналитической разрешимости комплексной задачи Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // Учёные записки Орловского государственного университета. Серия "Естественные, технические и медицинские науки", 2012. – № 6 (50). – С. 18-22.

4. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. Монография. – Орёл: ОГУ, 2009. – 430 с.

5. Дубинский Ю.А. О необходимости условий Ковалевской и их обобщений // ДАН СССР, 1989. – Т. 304. – № 2. – С. 268-271.

6. Дубинский Ю. А. О разрешимости задачи Коши в классах целых функций конечного порядка // ДАН СССР, 1988. – Т. 301. – № 6. – С. 1305-1308.

7. Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной области. – М.: Изд-во МЭИ, 1996. – 180 с.

8. Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т. Задача Коши. – М.: Мир, 1967. – 152 с.

9. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. – М.: Наука, 1981. – 320 c.

10. Мизохата С. О системах Ковалевской // УМН, 1974. – Т. 29. – Вып. 2. – С. 216-224.

11. Фаге М.К. Операторно-аналитические функции одной действительной переменной // Труды Московского математического общества, 1958. – Т. 7. – С. 227-268.

12. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. – М.: Физматгиз, 1962. – 420 с.

13. Тгеves F. Ovsjannikov theorem and hyperdifferential operators // Notas de Matem., 1968. – V. 46. – P. 1-237.

1 Оператор называется оператором класса ℵℝ, если он имеет в пространстве порядок либо но тогда его тип

 

 

 

Код для цитирования: Скопировать