VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

ВВЕДЕНИЕ

Краевые задачи теплопроводности с подвижными границами за последние годы приобретают все большее значение как в теоретических, так и в прикладных разделах физики и математики. Количество работ, посвященных решению подобных задач, за последние годы стало заметно увеличиваться.

Аналитический подход при решении краевых задач теплообмена в системах со свободными границами относится к числу труднейших проблем в современной аналитической теории математической физики. Вследствие зависимости положения характеристического раздела области от времени к этому классу задач неприменимы классические методы дифференциальных уравнений в частных производных, так как оставаясь в рамках этих методов, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы фазового перехода.

Имеется целый ряд аналитических и численных методов решения указанных задач. Но формулы распределения температурных полей, полученные этими методами, носят весьма приближенный характер, или же, как это наиболее типично для задач подобного рода, дают неопределенность решения в начальный момент времени.

В последнее время мощное развитие получила программа COMSOL Multiphysics, интерактивная среда для моделирования и расчетов большинства научных и инженерных задач, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных (ДУЧП, PDE) методом конечных элементов. Развитие теории метода конечных элементов, применение его для решения краевых задач, позволило в значительной мере автоматизировать этап алгоритмизации и создания модели.

Целью работы является моделирование процесса плавления льда в интерактивной среде COMSOL Multiphysics.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучение и учет всех физических характеристик льда и воды, необходимых для моделирования процесса плавления.

2. Изучение теории фазовых переходов, составление основных уравнений, описывающих данный процесс.

3. Составление математической модели процесса фазового перехода.

4. Выбор метода решения.

5. Разработка алгоритма.

6. Выбор программной среды и реализация алгоритма.

7. Проведение численных расчетов и анализ результатов.

Объект исследования – научная или практическая деятельность, в рамках которой ведется исследование. Предмет исследования – это та часть объекта исследования, которая подлежит специальному изучению, преобразованию, это характеристики и свойства объекта исследования, при анализе которых возникают проблемные ситуации. Объектом исследования в данной работе является раздел физики, изучающий фазовые переходы, термодинамика. Предметом исследования – тонкий ледяной стержень, в котором будет происходить фазовый переход.

1. ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

   1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Термодинамическая система – это совокупность макроскопических тел, которые могут взаимодействовать между собой и с другими телами (внешней средой), обмениваться с ними энергией и веществом. Такая система состоит из столь большого числа структурных частиц (атомов, молекул), что ее состояние можно характеризовать макроскопическими параметрами: плотностью, давлением, концентрацией вещества, температурой и т.д. В термодинамике рассматривают закрытые термодинамические системы, не обменивающиеся веществом и энергией с другими системами; открытые системы, обменивающиеся веществом и энергией с другими системами; адиабатные системы, в которых отсутствует теплообмен с другими системами; изолированные термодинамические системы, не обменивающиеся с другими системами ни энергией, ни веществом. Если система не изолирована, то ее состояние может изменяться; изменение состояния термодинамической системы называется термодинамическим процессом. Термодинамическая система может быть гомогенной и гетерогенной [1].

Гомогенной называют такую систему, химический состав и физические свойства которой во всех ее частях одинаковы или изменяются непрерывно (без скачка) от одной точки системы к другой. Примером такой системы может служить столб воздуха, представляющий собой смесь нескольких газов (в основном азота и кислорода), в котором в результате действия силы тяжести непрерывно изменяются от одной точки к другой как состав, так и физические свойства.

Гетерогенной называют систему, состоящую из двух и более различных гомогенных областей. Гомогенные области в гетерогенной системе называют фазами. Каждая фаза отделена от соседней поверхностью раздела, при переходе через которую скачкообразно изменяются химический состав или физические свойства вещества.

Примером такой системы может служить вода с плавающим в ней льдом. Эта система состоит из двух гомогенных областей – воды и льда. Химический состав этих фаз одинаков, но физические свойства резко отличаются друг от друга.

В качестве другого примера можно привести систему, содержащую в стальной запаянной трубке жидкую ртуть, жидкий этиловый спирт и смесь насыщенных паров этилового спирта и ртути. В этой гетерогенной системе химические составы и физические свойства всех фаз различны.

Гомогенная система и каждая фаза гетерогенной системы могут состоять из одного или нескольких чистых веществ.

Гомогенную систему или фазу гетерогенной системы, состоящую из нескольких чистых веществ, называют раствором или смесью.

Все чистые вещества и растворы могут находиться в трех агрегатных состояниях: газообразном, жидком и твердом. Увеличивая температуру газа при фиксированном давлении, можно получить частично, а затем полностью ионизованную плазму, которую часто считают четвертым состоянием вещества. С увеличением давления вещество может перейти в пятое – нейтронное – состояние, которое реализуется в природе в виде нейтронных звезд.

1.  

   1. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

Фазовым переходом называют переход вещества из одной фазы в другую, сосуществующую с первой. Говоря о фазах чистого вещества, обычно имеют ввиду его агрегатные состояния и поэтому говорят о газовой, жидкой и твердой фазах. Однако, строго говоря, понятие фазы несколько уже понятия агрегатного состояния, т.к. некоторые вещества, например, лед, в твердом состоянии имеют несколько фаз. Мы же в дальнейшем будем подразумевать под фазовым переходом переход вещества из одного агрегатного состояния в другое.

Известно, что в зависимости от внешних условий вещество может находиться в различных агрегатных состояниях. Например, при атмосферном давлении вода существует в жидком состоянии при температурах 273-373К, ниже 273К она переходит в твердую фазу – лед, а при нагреве выше 373К – в парообразное состояние. При изменении давления будут изменяться и температуры затвердевания и кипения вещества.

В зависимости от агрегатного состояния будут меняться и физические свойства вещества, в частности плотность, что обусловлено характером межмолекулярного взаимодействия – образованием комплексов из большого или меньшего числа молекул (явление ассоциации). Переход вещества из жидкой фазы в газообразную связан с затратой теплоты фазового перехода как на работу расширения, так и на преодоление сил межмолекулярного взаимодействия. При этом уменьшается и плотность вещества. Плавление или сублимация (переход из твердой фазы в жидкую, а затем в газообразную фазу) происходит с затратой теплоты фазового перехода на разрушение кристаллической решетки твердого тела.

С ростом давления ассоциация в паровой фазе прогрессирует. Но определяющим фактором является не давление, а температура. С ростом последней ассоциация уменьшается. Поэтому с ростом температуры и давления теплота парообразования уменьшается.

Фазовый переход сопровождается обычно резким изменением плотности вещества. При парообразовании и сублимации плотность газовой фазы всегда меньше, чем плотность конденсированной фазы. При плавлении для разных веществ возможны различные случаи: плотность твердой фазы может быть либо больше, либо меньше плотности жидкости.

В соответствии с принятой классификацией точек фазового перехода точку перехода «жидкость-пар» называют точкой кипения (или конденсации), точку перехода «твердое тело-жидкость» - точкой плавления (или затвердевания), а точку перехода «твердое тело-пар» - точкой сублимации.

Каждому значению температуры при данном давлении для данного вещества в жидкой или газовой фазе соответствует вполне определенный состав молекулярных ассоциаций. С увеличением температуры при данном давлении ассоциация уменьшается, но это означает, что каждому значению температуры соответствует ассоциация только одного размера: при любой температуре сосуществует ассоциация различных размеров, но с увеличением температуры среди них становится больше ассоциаций малых размеров и меньше крупных.

Таким образом, с повышением температуры происходит некоторое дробление ассоциаций вещества (в твердой фазе – разрыхление кристаллов). Вблизи точек перехода этот процесс заметно ускоряется и в самих точках изменение молекулярной структуры вещества происходит скачкообразно.

Некоторые вещества могут, находясь в твердом состоянии, образовывать не одну, а несколько кристаллических модификаций (например, аллотропические модификации льда, твердых висмута и углерода). Эти модификации отличаются друг от друга физическими свойствами (кристаллической структурой, удельным объемом, теплоемкостью и т. д.). При этом каждая модификация существует лишь в определенной области параметров состояния, и переход из одной области в другую обладает всеми признаками обычного фазового перехода, хотя в обеих фазах вещество находится в твердом состоянии. Различные фазы в твердом веществе встречаются довольно часто.

Установить зависимость между числом независимых интенсивных переменных (степенями свободы системы), определяющих состояние термодинамической системы, находящейся в равновесии, числом фаз и числом компонентов системы (химически индивидуальных веществ, из которых состоит термодинамическая система) позволяет правило фаз Гиббса. Оно формулируется следующим образом:

(1)

где – число степеней свободы термодинамической системы, – число компонентов системы, – число фаз в системе.

Число степеней свободы термодинамической системы (вариантность) – число независимых физических переменных (параметров системы), которые можно изменять в определенных пределах, не нарушая фазового равновесия в системе [1].

Рассмотрим систему, состоящую из чистого вещества, но содержащую не одну, а две фазы, находящиеся в состоянии равновесия между собой. В этом случае система обладает только одной степенью свободы (т.к. ) и поэтому независимыми переменными, полностью определяющими равновесное состояние каждой фазы системы, могут являться, например, давление и температура. Так, например, зная температуру фазового перехода можно однозначно определить все другие интенсивные термодинамические величины каждой из фаз – давление в точке перехода, плотности вещества в каждой из сосуществующих фаз, удельную энтальпию, энтропию и т.д.

Линию фазового перехода можно изобразить на ()–диаграмме, если нанести на нее состояния, соответствующие давлениям и температурам фазового перехода.

У однокомпонентной трехфазной системы , поэтому число степеней свободы такой системы равно нулю. Это означает, что в однокомпонентной системе три фазы могут находиться в равновесии лишь при вполне определенных температуре и давлении, характерных для данного конкретного вещества.

Рис. 1. Характерная ()–диаграмма вещества с нанесенными на ней кривыми фазовых переходов

На рисунке 1 влево от линии АОВ расположена область твердого состояния вещества, справа от линии КОВ – область газообразного состояния, а между линиями ОА и ОК – область жидкого состояния. Располагая ()–диаграммой конкретного вещества, можно по известным параметрам и определить, в каком состоянии оно находиться. Из диаграммы следует, что линия представляет собой сублимации вещества, линия ОА – кривую плавления (затвердевания), а линия ОК – кривую кипения (конденсации).

Кривую кипения обычно называют кривой (линией) насыщения.

Точка О представляет собой тройную точку, в которой вещество сосуществует в трех агрегатных состояниях. Некоторые вещества в твердом состоянии, как уже отмечалось, могут иметь не одну, а несколько фаз, поэтому у таких веществ может быть несколько тройных точек [2].

1.  

   1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОДЫ И ЛЬДА

В таблице 1 представлены физические свойства воды и льда, необходимые при создании модели.

Таблица 1

Физические свойства воды и льда

Свойство	Вода	Лед
Температура плавления
Температура кипения
Молярная теплоемкость
Теплопроводность
Плотность
Латентная теплота плавления

Теплопроводность вещества, в частности воды и льда, имеет исключительное значение в природе. Благодаря теплопроводности (передаче теплоты) происходит выравнивание температуры в теле или среде. В твердых телах передача теплоты (теплопередача) осуществляется от молекулы к молекуле вследствие их соприкосновения. Для твердых тел она является единственно возможной и называют ее кондукцией, касанием или молекулярной. В жидких средах молекулярная теплопередача играет существенную роль только в том случае, если жидкость находится в покое. Для жидкостей, в том числе и для воды, характерно существование еще двух видов теплопередачи, обусловленных турбулентностью потока и конвекцией. Характеристикой молекулярной теплопередачи является коэффициент теплопроводности λ. Он является физическим параметром вещества и зависит от его структуры, плотности, влажности, температуры и давления.

По теплопроводности материалы подразделяются на твердые тела, газы и жидкости. Коэффициент теплопроводности большинства жидкостей с повышением температуры убывает. Вода в этом отношении является исключением (рисунок 2).

Рис. 2. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры

Температура плавления льда определяется давлением, при котором он находится; она понижается с повышением давления (рисунок 3). Зависимость ее от давления описывается уравнением Клапейрона—Клаузиуса:

, (2)

где – удельная теплота фазового перехода, – изменение удельного объема тела при фазовом переходе. 

При давлении до 107 Па эту зависимость можно заменить линейной:

Рис. 3. Ход температуры во льду во времени при подводе

к нему теплоты. 1-2 – нагревание льда, 2-3 – плавление льда, 3-4 – нагревание воды, – температура плавления льда.

Для наглядности приведем схему изменения агрегатного состояния воды (рисунок 4).

Рис. 4. Схема изменения агрегатного состояния воды

Выводы по 1 главе

В данной главе были даны определения для всех ключевых терминов, необходимых для физической постановки задачи, изучены основные свойства воды и льда, приведены графики зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, температуры от подводимой теплоты, представлена диаграмма температуры-давления с нанесенными на ней кривыми фазовых переходов и схема изменения состояния воды. Изучив представленный в данной главе материал, физическую постановку задачи можно сформулировать следующим образом: необходимо произвести расчет температурного поля ледяного стержня в процессе фазового перехода первого рода под воздействием подводимой горячей воды.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Математическая литература, связанная с фазовыми переходами столь обширна, что составить ее полный обзор не представляется возможным. Отметим некоторые ключевые математические работы. Более детальный исторический обзор и библиографию можно найти в монографиях Л. И. Рубинштейна [3], А. М. Мейрманова [4] , И. И. Данилюка [5], О. А. Олейника [6], Е. В. Радкевич [7], Л. Д. Ландау [8].

Первой работой, посвященной математическому описанию фазовых переходов, по-видимому, является опубликованная в 1831 году статья Ламе и Клапейрона [9], где изучается процесс затвердевания однородной жидкости, занимающей полупространство и находящейся в начальный момент при температуре фазового перехода, под влиянием постоянной температуры на границе. В этой работе впервые было установлено, что толщина твердой фазы (для однофазной постановки) пропорциональна квадратному корню от времени.

В 1889 г. австрийский физик Иозеф Стефан предложил модель для описания таяния полярных льдов. В серии работ он рассмотрел несколько аспектов одномерной однофазной и двухфазной задач. Эти ранние работы и важные особенности, заложенные в его модели, послужили основанием для того, чтобы задача впоследствии была названа его именем.

Задачей Стефана называется задача определения поля температуры и границы фазового перехода в чистом, т. е. не содержащем примесей, веществе. Она включает в себя следующие физические соображения:

1. агрегатное состояние среды изменяется только вследствие теплопроводности и теплоёмкости среды;

2. на среду воздействуют внешние и внутренние источники тепла;

3. передача энергии в каждой фазе рассматриваемого вещества описывается уравнением теплопроводности;

4. поведение границы фазового перехода, называемой свободной границей, описывается условием Стефана, которое выражает собой баланс энергии при переходе среды из одного агрегатного состояния в другое;

5. помимо условия Стефана, на свободной границе ставится условие о том, что температура частиц вещества, составляющих свободную границу, равна температуре фазового перехода, которая считается известной постоянной величиной.

Условие (е) имеет характер аксиомы, поскольку оно не следует из фундаментальных законов термодинамики, но достаточно точно отражает многие реальные процессы.

Классической задачей Стефана называют простейшую одномерную задачу промерзания (оттаивания), кристаллизации (плавления), когда теплофизические характеристики, начальные и граничные условия принимаются постоянными.

Исторически сложилось так, что задача о фазовых переходах в чистом веществе без учета перемещения среды (задача Стефана) описывалась "классическим" решением: существуют жидкая и твердая фазы, а множество фазового перехода (граница раздела "жидкое-твердое") есть гиперповерхность, на которой выполнено условие теплового баланса (условие Стефана). На этом пути Л. И. Рубинштейном [3] были получены теоремы существования классического решения задачи Стефана для одномерного уравнения теплопроводности в малом по времени и им же в целом по времени, если априори предположить, что граница раздела фаз аналитическая. Без этого предположения при достаточно естественных ограничениях на данные задачи описанный выше результат получил в 1965 г. Ли Чанг. Позже то же самое различными способами было доказано в работах Дж. Кэннона, Дж. Дугласа, К. Хилла, Д. Генри, Д. Котлова, М. Примичерио и А. М. Мейрманова. Все указанные теоремы относились к случаю заданной температуры на известных границах области определения решения. Условия существования классического решения задачи Стефана с заданным тепловым потоком на известных границах получены Дж. Кэнноном и М. Примичерио.

В работах Дж. Кэннона и его коллег исследовались также качественные свойства и асимптотическое поведение свободной границы при неограниченном возрастании времени. Вопросы устойчивости и асимптотического поведения решения одномерной задачи Стефана при больших значениях времени изучались Л. И. Рубинштейном [3], А. Фридманом [10] Б. В. Базалием и В. Ю. Шелеповым.

Прогресс в изучении классического решения многомерной задачи Стефана связан с развитием теории вариационных неравенств. М. Г. Дюво свел многомерную однофазную нестационарную задачу Стефана к вариационному неравенству, для которого устанавливалось существование слабого решения. В 1975 г. А. Фридман и Д. Киндерлерер, используя преобразование М. Г. Дюво, доказали, что в однофазной задаче Стефана свободная граница удовлетворяет условию Липшица (ограничение на поведение приращения функции). Результаты Л. Кафарелли о гладкости свободной границы позволили Д. Киндерлереру и Л. Ниренбергу доказать аналитичность свободной границы и тем самым впервые установить существование классического решения однофазной многомерной задачи Стефана.

Для случая многих пространственных переменных, привлекая регуляризацию условия Стефана и переменные Мизеса, А. М. Мейрманов в 1979 г. [4] доказал существование классического решения двухфазной задачи Стефана в малом по времени. Аналогичный результат в 1981 г. другим методом, с использованием теории Нэша-Мозера, получил Е. И. Ханзава [11]. Отметим, что в исследованиях А. М. Мейрманова и Е. И. Ханзавы был допущен большой "зазор" между гладкостью решений и заданных функций, уменьшенный или сведенный к нулю в работах Б. В. Базалия, М. А. Бородина и Г. И. Бижановой.

В 1958 г. С. Л. Каменомостская ввела понятие обобщенного решения для многомерной задачи Стефана. В работе О. А. Олейник [6] были доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения многомерной задачи Стефана.

Поскольку каждое классическое решение является и обобщенным, то вопрос о единственности классического решения задачи Стефана был полностью решен. С этого момента центральным стало изучение структуры обобщенного решения и выяснение условий, при которых обобщенное решение задачи Стефана будет классическим. Естественно было ожидать, что если в начальный момент времени в рассматриваемой области состояние среды двухфазное, то есть присутствуют только жидкая и твердая фазы, разделенные гладкой поверхностью, то обобщенное решение задачи Стефана совпадает с классическим. Для случая однородного уравнения теплопроводности и одной пространственной переменной это было доказано А. Фридманом [10].

В 1981 г. А. М. Мейрманов [4] построил обобщенное решение с одной переходной фазой, отсутствовавшей в начальный момент времени. В этом примере вообще отсутствует граница фазового перехода, а есть целая область промежуточного состояния. Возможность образования новой фазы, заложенная в определении обобщенного решения задачи Стефана, проявила себя в примере А. М. Мейрманова. Решающими факторами в нем были внутренние источники тепла в уравнении теплопроводности и равенство нулю градиента температуры на границе раздела фаз в начальный момент времени.

В работах А. М. Мейрманова [4] и И. А. Калиева [12] была описана структура обобщенного решения одномерной задачи Стефана с произвольным распределением удельной внутренней энергии в начальный момент времени (в частности при наличии конечного или счетного числа связных компонент переходной фазы). Доказано, что при отсутствии внутренних источников или стоков тепла, переходная фаза строго убывает с течением времени. Получены достаточные условия, при которых переходная фаза исчезает за конечный момент времени.

Классическая задача Стефана связана с фазовыми переходами в неподвижных средах. Между тем, во многих процессах фазовых переходов присутствует гидродинамическое течение в жидкой фазе. Интерес к изучению таких явлений мотивируется многочисленными технологическими приложениями.

Теоретическое описание процессов фазового перехода с использованием невыпуклой функции энергии началось со знаменитого уравнения Ван-дер-Ваальса для фазового перехода первого рода между жидкостью и паром. Затем была добавлена зависимость от градиента плотности в свободную энергию, чтобы получить непрерывный профиль при пересечении границы раздела жидкость пар.

Важный шаг для описания фазовых переходов второго рода (фазовые переходы, при которых первые производные термодинамических потенциалов по давлению и температуре изменяются скачкообразно, тогда как их вторые производные изменяются постепенно) сделал Л. Д. Ландау [8], который начал разрабатывать теорию, названную позже его именем. Основное предположение, сделанное в [8], состоит в том, что функция энергии зависит только от параметра порядка и температуры. Чтобы избежать резкого выделения границ между фазами В. Л. Гинзбург [13] добавил зависимость от градиента параметра порядка в функцию энергии. Получаемые при этом дифференциальные уравнения часто называют теорией фазовых переходов Гинзбург – Ландау.

Несмотря на огромное число работ, посвященных теории фазовых переходов и их применению, многие задачи теории исследованы еще далеко не достаточно, поэтому развитие теории фазовых переходов представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Наиболее универсальным методом решения задач типа Стефана являются численные методы, которые начали разрабатываться с 50-х годов 20 века.

В настоящее время известны четыре основных разностных метода: ловли фазового фронта в узел разностной сетки, выпрямления фронтов, сглаживания коэффициентов и схемы сквозного счета. Характерная особенность первых двух методов состоит в том, что в них разностные схемы строятся с явным выделением искомого фронта фазового перехода. Для двух последних методов используются разностные схемы сквозного счета, в которых вычисления искомых величин ведутся во всех узлах сетки по одним и тем же формулам, независимо от того, лежит или не лежит узел на поверхности фазового перехода. Данные методы рассмотрены в диссертации «Математические задачи теории фазовых переходов» доктора физико-математических наук Калиева И.А.

Выводы по 2 главе

Проведен обзор литературы по теме курсовой работы. Показано, как возникали задачи, связанные с фазовым переходом, в частности, задача Стефана, и предложенные для них решения. Кроме того, в данной главе перечислены основные численные методы решения задач типа Стефана. В ходе дипломной работы поиск решения задачи с фазовым переходом будет производиться в пакете Comsol Multiphysics с помощью метода конечных элементов. В итоге дипломной работы планируется сравнение решения, полученного с помощью метода конечных элементов, с решениями, полученными с помощью классических методов, предложенных для решения данной задачи.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим ледяной стержень длиной l=0,01 м (рисунок 5).

Рис. 5. Ледяной стержень

Будем предполагать, что поперечные размеры малы по сравнению с его длиной, исходя из этого, дальнейшие результаты будут представлены в одномерной системе координат на отрезке (рисунок 6).

Рис. 6. Ледяной стержень в одномерной системе координат

Теплопроводность льда достаточно велика, следовательно, температуру можно считать распределенной равномерно в любом поперечном сечении стержня.

На левой границе ледяной стержень теплоизолирован, на правой – находится в контакте с горячей водой. Т.к. стержень рассматривается в одномерной системе координат, тепловой поток для боковой поверхности не учитывается.

Уравнение теплопроводности задается уравнением:

(3)

где – плотность льда, – коэффициент теплоемкости, – коэффициент теплопроводности, – источник тепла и – координата.

Коэффициент теплоемкости рассчитывается как средняя величина по формуле

(4)

где – объемное содержание вещества, – коэффициент теплоемкости материала в конкретный момент времени.

Учитывая латентную теплоту плавления, формула принимает вид

(5)

где – латентная теплота плавления, – нормированный импульс при температуре .

Параметр должен удовлетворять следующему выражению

(6)

тогда учитывается интервал температур жидкой и твердой фазы.

Чтобы получить единственное решение уравнения (1), необходимо задать начальные и граничные условия.

Начальные условия:

(7)

где – начальная температура ледяного стержня, – длина стержня.

Граничные условия (условие тепловой изоляции для одномерного случая):

(8)

где – время, – температура на правом конце стрежня.

Выводы по главе 3

В данной главе были представлены уравнения, описывающие процесс фазового перехода. Основным является уравнение теплопроводности, для которого были заданы начальные и граничные условия. Таким образом математическую постановку задачи можно сформулировать следующим образом: найти решение уравнения (3) с заданными начальными и граничными условиями (7-8).

1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОЛОГИИ СИСТЕМНОГО

АНАЛИЗА И ТЕХНОЛОГИИВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ

Технологический цикл вычислительного эксперимента состоит из двух фаз и шести этапов.

1. Калибровка модели.

1.  

   1. Анализ изучаемых процессов, явлений, систем.

   2. Построение математической модели изучаемых процессов, явлений, систем.

   3. Построение вычислительных алгоритмов.

   4. Программирование вычислительных алгоритмов.

   5. Вариантные расчеты и сравнение с данными физического эксперимента.

1. Прогноз с помощью модели.

1.  

   1. Прогностические исследования математической модели в заданной области параметров.

На первом этапе на основе обзора литературы формулируются постановки задачи: когнитивная, содержательная, концептуальная. В данной работе физическая задача может быть сформулирована следующим образом: необходимо произвести расчет температурного поля ледяного стержня в процессе фазового перехода первого рода под воздействием подводимой горячей воды. Для решения этой задачи необходимым являлось изучение свойств воды и льда, их физических параметров и зависимостей. Следующим шагом является математическая постановка задачи. В данной работе ее можно сформулировать как решение дифференциального уравнения (3) при заданных начальных условиях (7) и граничных условиях (8).

На втором этапе происходит построение математической модели. Отталкиваясь от предположения, что поперечные размеры малы по сравнению с длиной ледяного стержня, построение модели производилось в одномерной системе координат на отрезке .

На третьем этапе к математической модели применяются те или иные математические методы с целью ее алгоритмизации. Для решения дифференциального уравнения в данной работе был выбран численный метод – метод конечных элементов. Алгоритм метода конечных элементов является достаточно сложным для реализации, поэтому для построения модели и решения уравнения была выбрана программа COMSOL Multiphysics, в основе которой уже заложен метод конечных элементов.

На четвертом этапе с помощью программы COMSOL Multiphysics проводится построение модели, задание физических параметров, начальных и граничных условий, генерация конечноэлементной сетки. В итоге получено решение дифференциального уравнения теплопроводности, графики, демонстрирующие процесс распределения температурного поля внутри ледяного стержня.

На пятом этапе проводится представление, обработка, анализ и интерпретация полученных результатов. Производятся тестовые расчеты для нахождения оптимального решателя для конкретной задачи.

На шестом этапе проводится прогнозирование с помощью математической модели. На данный момент прогнозирование с помощью построенной модели не осуществляется.

Выводы по главе 4

Решаемая задача может быть разбита по этапам вычислительного эксперимента. Прогнозирование на основе построенной модели пока не представляется нужным, но при более детальном изучении задачи и совершенствовании модели оно может быть выполнено.

1. ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ

   1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрим некоторое семейство функций, определяемых конечным числом параметров. Как правило, среди таких функций нет точного решения задачи. Однако соответствующим подбором параметров можно попытаться приближенно удовлетворить уравнениям задачи и тем самым построить ее приближенное решение. Такой общий подход характерен для многих приближенных методов. Специфическим в методе конечных элементов является построение семейства функций, определяемых конечным числом параметров [14].

Допустим, требуется построить такое семейство функций u(x) при

a ≤ x ≤ b. Интервал [a;b] разбивается на конечное число частей (элементов), соединяющихся между собой и с концами интервала в узловых точках (узлах) x_i(рисунок 7).

Рис. 7. Разбиение интервала [a;b] на конечное число элементов

В пределах каждого элемента задается функция, например, в виде линейного полинома. Она определяется своими значениями u(x_i) в узлах на концах элемента. Если отыскиваемая функция является непрерывной, то значения ее в каждом узле для соседних элементов совпадают. В результате имеем семейство кусочно-линейных непрерывных функций, которые изображаются в виде ломаных и определяются конечным числом параметров - своими узловыми значениями. На рисунке 4 показана одна из функций такого семейства. Здесь 5 элементов, 6 узлов и 6 узловых параметров u(x_i) = u_i. В случае нескольких переменных схема метода конечных элементов в принципе не меняется. Таким образом, метод конечных элементов заменяет задачу отыскания функции на задачу отыскания конечного числа ее приближенных значений в отдельных точках-узлах. При этом если исходная задача относительно функции состоит из функционального уравнения, например дифференциального уравнения с соответствующими граничными условиями, то задача метода конечных элементов относительно ее значений в узлах представляет собой систему алгебраических уравнений.

С уменьшением максимального размера элементов увеличивается число узлов и неизвестных узловых параметров. Вместе с этим повышается возможность более точно удовлетворить уравнениям задачи и, тем самым, приблизиться к искомому решению.

То есть основная идея метода конечных элементов (МКЭ) состоит в том, что любая непрерывная величина (температура, давление, перемещение) аппроксимируется дискретной моделью, построение которой выполняется на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей.

Метод конечных элементов решения краевых задач предусматривает несколько этапов.

На первом этапе выполняется разбиение области D на некоторое число простых и однородных по структуре частей конечных элементов. Более редко в этой роли выступают четырехугольники; чаще же конечными элементами служат треугольники. Для трехмерных задач используются тетраэдр и параллелепипед (рисунок8, а и б).

Рис. 8. Некоторые трехмерные конечные элементы

Разбиение области треугольниками называется триангуляцией. Если D – многоугольная область, то триангуляция проводится так, чтобы каждые два из получившихся при этом треугольников или не пересекались, или имели общую сторону или общую вершину. При этом не должно быть треугольников, у которых все вершины лежат на границе Г области D, и не должно быть частей многоугольника, отличных от этих треугольных элементов.

Обычно задаются некоторым числом n строго внутренних вершин P_i (i=1,2,…,n), общих для нескольких треугольных элементов из множества , что определяет количество координатных функций в приближенном решении, которое имеет следующий вид:

(9)

где – координатные функции, – коэффициенты линейной комбинации n первых координатных элементов последовательности .

Все эти внутренние вершины P_i образуют сетку узлов МКЭ.

На втором этапе строится система координатных функций , представляющая собой двумерные В-сплайны первой или второй степени. В линейном случае каждую такую функцию можно изобразить в виде пирамиды с высотой, равной 1 и проведенной из узла сетки P_i , основанием которой служит многоугольник, состоящий из треугольных элементов с общей вершиной P_i. За пределами этого многоугольника функция равна нулю. Каждая из боковых граней такой пирамиды определена над соответствующим треугольным элементом (одним из ) и может быть описана уравнением плоскости, проходящей через ее вершины. Таким образом, боковые грани будут описаны функциями двух переменных, которые называются базисными функциями. В качестве базисных функций могут также выступать прямоугольники, четырехугольники, тетраэдры, шестигранники, криволинейные границы.

На третьем этапе осуществляется поиск коэффициентов одним из следующих методов: методом Галеркина или методом коллокации. На основе этих методов формируется система линейных алгебраических уравнений, которая решается с помощью итерационных методов.

В основе метода Галеркина лежит решение СЛАУ следующего вида:

(10)

На основе метода коллокации СЛАУ будет иметь следующий вид:

(11)

При решении одной из систем будут найдены коэффициенты .

Поставленные выше задачи, которые приходится решать в процессе применения МКЭ, обычно рассматриваются в комплексе. Использование специальных приемов разбиения данной области на подобласти с последующим разбиением их на более мелкие конечные элементы позволяет учитывать особенности рассчитываемой модели и готовить для дальнейшей обработки нужные структуры данных. А итерационное решение СЛАУ на последовательностях, получающихся при этом сгущающихся сеток делает процесс решения более эффективным, поскольку решения, соответствующие более редким сеткам, можно принимать за начальные приближения для решения на более густых сетках [14].

1.  

   1. ПРЕИМУЩЕСТВА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает все физические задачи, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко используется, являются следующие:

1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материалов.

2. Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы.

3. Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если в этом есть необходимость.

4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

Выводы по главе 5

Для численного анализа процесса фазового перехода был выбран метод конечных элементов, который в настоящее время является универсальным методом решения краевых задач математической физики (как стационарных, так и нестационарных), позволяет рассчитывать несколько физических феноменов (задач) в рамках одной модели, а также позволяет производить так называемое сопряжение (соединение) искомых переменных из разных физических модулей. Метод конечных элементов лежит в основе таких пакетов как COMSOL, MATLAB, FEMLAB.

1. ВЫБОР ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ

Алгоритм метода конечных элементов является достаточно сложным для реализации, поэтому большой интерес представляет программа COMSOL Multiphysics, в основе которой уже заложен метод конечных элементов.

1.  

   1. СРЕДА COMSOL MULTIPHYSICS

Система COMSOL Multiphysics – первый инженерный инструментарий, позволяющий выполнять моделирование мультифизики на основе уравнений математической физики в интерактивной среде. С момента выпуска первой версии система FEMLAB всё время совершенствовалась: добавлялись новые возможности моделирования разнообразных физических полей в доступной форме.

Программа COMSOL Multiphysics разработана таким образом, чтобы моделирование физических полей и связей между ними выполнялось наиболее просто. Есть возможность решать заданную систему дифференциальных уравнений в частных производных или использовать специализированные физические прикладные режимы. Эти физические режимы состоят из предопределенных шаблонов и интерфейсов пользователя, уже установленных с уравнениями и переменными для специфических областей физики. Далее, объединяя любое число этих прикладных режимов в единое прикладное описание, можно моделировать задачу мультифизики.

Библиотека моделей – очень важная часть пакета. Она содержит законченные модели из различных областей техники. Каждая модель снабжена обширной документацией, включающей техническую основу, технологию моделирования и обсуждение результатов. Поскольку в моделях есть готовая сетка конечных элементов и решение, пользователь сразу же может экспериментировать с различными параметрами постпроцессорной обработки. Есть возможность изменять геометрические и физические параметры каждой модели, чтобы удовлетворить индивидуальные потребности моделирования. Исходная информация в каждой модели Библиотеки может служить отправной точкой для создания собственных моделей пользователя.

COMSOL Multiphysics – независимый программный пакет и работает как независимое программное приложение непосредственно под управлением операционной системы. Это ведет к существенному ускорению выполнения вычислительных алгоритмов программного обеспечения. При этом существует интерфейс связи с системой MATLAB.

COMSOL Multiphysics – мощная интерактивная среда для моделирования и решения научных и технических проблем, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных (PDE). В этой среде можно легко расширять модели, находящиеся в составе пакета, переходя от одного физического поля к мультифизике и разыгрывая различные состояния модели, которые могут иметь отношение к различным отраслям науки и техники. Мощный интерфейс COMSOL Multiphysics не требует глубоких знаний математики или численного анализа. COMSOL Multiphysics позволяет создавать модели, основанные на явно указанных уравнениях. Помимо обеспечения этих многообразных подходов моделирования, программное обеспечение предлагает различные способы их использования: или через GUI-приложение пакета или из командной строки MATLAB.

Основная математическая структура, с которой работает COMSOL Multiphysics – система дифференциальных уравнений в частных производных. Системы PDE в COMSOL Multiphysics можно представлять несколькими способами:

1. Коэффициентная форма, подходящая для линейных или почти линейных моделей;

2. Генеральная форма, подходящая для нелинейных моделей;

3. Ослабленная проекционная форма – для моделей с PDE на границах, рёбрах, или точках либо для моделей, использующих члены со смешанными производными по времени и по пространственным координатам.

Используя эти прикладные режимы, можно исполнять различные типы анализа, включая:

1. Анализ на собственные частоты и моды;

2. Стационарный и нестационарный анализ;

3. Линейный и нелинейный анализ (в том числе и параметрический).

При решении PDE система COMSOL Multiphysics использует метод конечных элементов. Программное обеспечение выполняет конечноэлементный анализ вместе с адаптивным построением сетки, используя целый ряд численных решателей.

Если модель, созданная в COMSOL Multiphysics, включает в себя несколько связанных между собой прикладных режимов, то такая модель называется мультифизической. Система COMSOL Multiphysics сама внутренними средствами строит из этих прикладных режимов систему связанных PDE. В качестве примера можно привести изменение удельного электрического сопротивления при изменении температуры. А температура изменяется вследствие выделения тепла проводником, по которому протекает электрический ток. В этом случае совместное решение тепловой и электромагнитной задачи является связанной мультифизикой.

В пакете, кроме элементарной, предусмотрена ещё и расширенная мультифизика. Она позволяет объединять в одной модели несколько систем PDE, определённых на нескольких разных геометриях, причём размерности пространств в этих геометриях могут быть различными. Связь между геометриями может быть организована в системе COMSOL Multiphysics при помощи так называемых переменных связи. Это представляет первый шаг к моделированию системного уровня.

1.  

   1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА COMSOL MULTIPHISICS

Среда COMSOL Multiphysics включает в себя пять основных частей:

1. Графический интерфейс пользователя (GUI)

В этой среде модели создаются и исследуются двумя способами:

1. Используя одну из нескольких предопределенных физических моделей, где работа идет со знакомыми научными законами и зависимостями.

2. В одном из предопределенных PDE режимов, где работа идет прямо с основополагающими дифференциальными уравнениями в частных производных модели.

Также можно выполнять мультифизическое моделирование, комбинируя любой из этих физических режимов и PDE режимов.

Физические режимы, предназначенные, чтобы выполняться в графическом интерфейсе пакета, охватывают общие прикладные области типа теплопроводности, электромагнетизма, гидроаэродинамики и строительной механики. Каждый режим, в свою очередь, реализует конкретную модель PDE, для которой определяются обычно используемые параметры, переменные и их значения. Из-за предопределенной природы этих физических режимов, можно устанавливать модель без потребности явного задания PDE.

Графический пользовательский интерфейс программы COMSOL Multiphysics представляет каждый параметр с соответствующей единицей измерений; пользователи могут выбрать одну из девяти известных систем единиц, так что согласованные обозначения единиц появляются во всех диалоговых окнах рядом с полями ввода данных и на соответствующих графиках. Примеры поддерживаемых единиц измерения: SI, MPa, CGS, Английские единицы и т.д.

GUI COMSOL Multiphysics содержит набор геометрических инструментальных средств (CAD) для одномерного, двумерного и трёхмерного моделирования. В этом интерфейсе имеется средство автоматической генерации конечноэлементной сетки для любой геометрии.

В пакете COMSOL Multiphysics имеется простое, быстрое и удобное средство визуального отображения любой физической величины или параметра. Наиболее распространённые способы визуализации – двумерные поверхностные графики, сечения, изоповерхности, контурные графики.

1. Библиотека Моделей

Этот набор предопределенных моделей, к которым можно обращаться через диалоговое окно Model Navigator, является важным по нескольким причинам. Это средство предоставляет быстрый способ изучить, как использовать возможности пакета: загружая и запуская модели из библиотеки, можно быстро увидеть результаты их работы. Можно взаимодействовать с моделью, изменяя ее геометрию, ключевые параметры, типы значений переменных, входящих в уравнения. Модели из Библиотеки можно использовать как базовые, сохраняя их модификации под разными именами.

1. m-файлы моделей

Имеется возможность экспортировать (сохранять) любую модель, созданную в GUI-приложении COMSOL Multiphysics, в виде m-файла (т.е. в виде сценария или функции MATLAB). Представление модели в этой форме удобно для документирования работы или для её продолжения вне GUI-приложения COMSOL Multiphysics с помощью функций командной строки.

1. Функции командной строки

Функции COMSOL Multiphysics командной строки позволяют создавать модели и работать с ними прямо из командного окна MATLAB. Здесь можно работать непосредственно с основной структурой данных пакета (структурный тип fem). Такое объединение функций COMSOL Multiphitics и MATLAB даёт возможность заниматься существенно-нестандартным моделированием.

1. Программный интерфейс приложений (API)

Эта библиотека функций и методов MATLAB позволяет создавать компоненты GUI и таким образом настраивать графический интерфейс COMSOL Multiphysics для конкретных приложений. Строя заказной интерфейс, оптимизированный для конкретной задачи, можно создавать законченные приложения, которые ограждают случайных пользователей от ненужной сложности, но всё же позволяют им быстро получить результаты сложных исследований. Можно также использовать API для формирования параметризованных моделей в GUI-приложениях [15].

Выводы к главе 6

COMSOL Multiphysics – мощная интерактивная среда для моделирования и решения научных и технических проблем, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных (PDE). С помощью нее можно решить поставленную задачу, а результаты представить в виде графиков и проанализировать их.

1. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Блок-схема алгоритма расчета температурного поля в стержне приведена на рисунке 9.

Рис. 9. Блок-схема алгоритма расчета температурного поля подложки

В блоке 2 формируются размеры области. Ледяной стержень рассматривается как одномерный объект с длиной .

В блоке 3 вводятся теплофизические параметры:

• Температура плавления льда: ;

• Температура кипения воды: ;

• Молярная теплоемкость воды: ;

• Молярная теплоемкость льда: ;

• Теплопроводность воды: ;

• Теплопроводность льда: ;

• Плотность воды: ;

• Плотность льда: ;

• Латентная теплота плавления льда: ;

• Температура подводимой горячей воды: ;

• Начальная температура ледяного стержня: ;

В блоке 4 вводятся начальные условия: начальная температура

В блоке 5 вводятся граничные условия: на левой границе стержня выполняется условие теплоизоляции, на правом участке температура на границе равна температуре подводимой горячей воды.

В блоке 6 вызывается процедура метода конечных элементов, в которой производится формирование конечноэлементной сетки, расчет тепловыделения в узлах, расчет температурного поля.

В блоке 7 формируются результаты расчетов.

В блоке 8 результаты расчетов визуализируются в виде графиков.

Выводы по главе 7

Разработан алгоритм для решения поставленной задачи, реализация которого будет производиться в пакете COMSOL Multiphysics версии 4.3

1. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

Реализация алгоритма расчета температурного поля производится для следующих исходных данных:

• Начальная температура ледяного стержня: ;

• Температура подводимой горячей воды: ;

1. Установка физического раздела и размерности модели.

В окне ModelBuilderвыбираем 1D модель. Затем устанавливаем физический раздел, к которому относится моделируемый процесс: ModelWizard>HeatTransfer>HeatTransferinPorous.

1. Задание необходимых физических параметров

Необходимо ввести следующие параметры: температура фазового перехода, переходная зона, латентная теплота, начальная температура стержня, температура горячей воды, плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность льда и воды. В окне Parameters(ModelBuilder>GlobalDefinitions>Parameters) можно не только задавать им имена, конкретные значения и единицы измерения, но и давать краткое описание каждой из них (рисунке10).

Рис. 10. Задание параметров в окне Parameters

1. Формирование рабочей области и задание геометрии.

Для задания геометрии в 1D пространстве нарисуем отрезок (рисунок 11). В окне Model Builder выбираем Model1>Geometry1>Form Union>Build Selected.

Рис. 11. Геометрия модели в 1D пространстве

1. Задание начальных условий.

В окне Model Builder>Heat Transfer in Porous Media>Initial Values зададим начальное условие: .

1. Задание граничных условий.

В окне Model Builder>Heat Transfer in Porous Media>Boundary Condition зададим граничное условие для границы 2 (правая граница): .

1. Генерация одномерной сетки.

Разобьем геометрию модели на 120 конечных элементов в окне Model Builder(Model1>Mesh>Distribution>Number of Elements=120).

1. Выбор решателя.

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных и использования максимального числа ядер процессора выберем один из параллельных решателей PARDISO, который оптимизирует использование памяти (ModelBuilder> ParametricSweep>StudySettings).

1. Визуализация результатов

Для получения графиков в окне Model Builder выберем раздел Results>Temperature>Line Graph Settings. В открывшемся окне выбираем цвета для графиков и название для рисунка.

Рисунок 12 демонстрирует распределение температуры за разные промежутки времени. При система находится в твердом состоянии (температура стержня однородна и равна ), содержание воды со временем возрастает. Кривые 1-7 имеют ломаный характер ввиду того, что за короткий интервал времени ( время на интервале (0;180) c) при большой разнице температуры горячей воды и льда температура в стержне начинает резко возрастать, происходит фазовый переход в точке излома, левее этой точки кривая представляет собой прямую линию, т.е. стержень находится в твердом состоянии. После истечения времени больше 180 с (кривые 8-20) кривые имеют плавный характер ввиду того, что фазовый переход уже произошел во всем стержне и система стремится прийти в равновесное состояние, т.е. температура на левом участке стремится к температуре на правом участке. Ко времени 1200 с (кривая 20) стержень полностью находится в жидком состоянии, температура стремится к .

Рис. 12. Изменение температуры в стержне за разные интервалы времени: 1:0 c, 2:15 c, 3:30 c, 4:45 c, 5:60 c, 6:120 с, 7:180 с, 8:240 с,..20:1200с

Выводы к главе 8

В результате работы была создана модель процесса фазового перехода в ледяном стержне. Визуализация процесса позволяет ознакомиться с температурным распределением внутри стержня за разные промежутки времени (рисунок 9). Результаты могут быть использованы в будущем при тестировании и создании более сложной модели.

1. ПРОВЕДЕНИЕ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ

Для проверки адекватности модели и оценки правильности разработанной модели выполним тестовые расчеты с использованием программного пакета COMSOL Multiphysics версии 4.3. Проведем исследование времени получения решения в зависимости от использования различных решателей.

Выбор решающего устройства и его параметров очень важен, так как, в основном, от него зависит достоверность вычислений. Неправильная настройка может привести к грубым ошибкам решения, которые очень трудно выявить. Так же очень важно правильно оптимизировать решение, так как, к примеру, даже не очень сложная трехмерная модель элемента кассетной конструкции рассчитывается десятки минут на компьютере с 1 Гб оперативной памяти, а некоторые нелинейные нестационарные модели могут рассчитываться многие часы даже на очень мощном компьютере.

Большая часть времени расчета занята решением систем линейных уравнений, за их решение отвечает Linear system solver. По умолчанию стоит Direсt (UMFPACK). Найдем решение с помощью решателя Direсt (UMFPACK).

Этот решатель отнимает много ресурсов компьютера и для моделей, требующих длительного расчета, можно подобрать более подходящий.

Решатель Direct (SPOOLES) требует меньше памяти, но работает нестабильно. Найдем решения, используя данный решатель.

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных и использования максимального числа ядер процессора выберем один из параллельных решателей Direct (PARDISO), который оптимизирует использовании памяти.

Полученные результаты относительно затрат времени и оперативной памяти на решение задачи сведены в таблицу 2. Сравнение сделано при одинаковом числе степеней свободы (7391) на компьютере Intel(R)Pentium(R) Dual CPU T2390 с установленной памятью (ОЗУ) – 1.00 ГБ и 32-разрядной операционной системой.

Таблица 2

Сравнение затрат времени и оперативной памяти на решение задачи для разных решателей

Решатель	Время решения, с	Память ОС под процесс, Кб
UMFPACK	119	105.672
SPOOLES	101	123.523
PARDISO	98	124.116

Исходя из данных таблицы, следует сделать вывод, что решатель, стоящий по умолчанию, затрачивает больше времени в сравнении с SPOOLES и PARDISSO. С другой стороны, UMFPACK потребляет гораздо меньше памяти на процесс в отличие от других рассмотренных решателей. Решатель PARDISO, в свою очередь, позволяет получить решение гораздо быстрее, в сравнении с решателем UMFPACK, экономя тем самым время пользователя при решении задачи, но при этом памяти выделяется практически больше, что крайне неудобно для недостаточно мощных компьютеров.

Математические модели процессов тепло- и массопереноса в средах с фазовыми переходами, представляют собой нелинейные системы дифференциальных уравнений. Даже при постоянных коэффициентах уравнений вследствие наличия в ней условия типа Стефана на границе фазового перехода модель является нелинейной и основным методом ее решения служат численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение аналитического метода. Таким путем получают так называемые автомодельные решения, которые характеризуются подобием пространственных распределений искомых величин в различные моменты времени. Такие решения строят для одномерных задач в полупространстве с постоянными граничными и начальными условиями. Т. к. в данной работе граничные условия не являются постоянными, уравнение теплопроводности не может быть решено аналитически.

Выводы к главе 9

На основании полученных данных можно сделать вывод, что решатель PARDISO наиболее эффективен в сравнении с остальными решателями, т.к. по времени он решает задачу быстрее остальных, при этом памяти выделяется значительно меньше, чем для SPOOLES при решении поставленной задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении работы получены основные результаты:

1. На основании обзора литературы разработана математическая модель фазового перехода, позволяющая анализировать температурное распределение внутри ледяного стержня.

2. Для решения поставленной задачи использован метод конечных элементов, который реализован в большинстве математических и программных пакетах.

3. Разработанный алгоритм построенной модели был реализован в программном пакете COMSOL Multiphysics версии 4.3, который, в свою очередь, позволил составить геометрическую модель, описать законы температурного распределения, реализовать метод конечных элементов и получить визуальное решение поставленной задачи.

4. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных и использования максимального числа ядер процессора выбран один из параллельных решателей PARDISO, который оптимизирует использование памяти.

5. Тестовые расчеты и графики показали адекватность полученных результатов, соответствующие известным литературным данным.

Рекомендации по использованию и модификации модели: но основе полученных данных модель можно модифицировать с целью получения более детального результата. Для этого необходимо изменить параметры сетки, а именно увеличить число узлов разбиения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прохоров А.М. Физический энциклопедический словарь. – М.: СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, 1983. – 844 с.

2. Мушегян Л.Е., Юрковский В.Б. Термодинамика и тепломассообмен: Учебное пособие. СПб.: ПИМаш, 2005. – 132с.

3. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967. С. 5-566.

4. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. – 785 с.

5. Данилюк И. И. О задаче Стефана. Новосибирск: Наука, 1985. – С. 133-185.

6. Олейник. О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. – 2-е изд., испр и доп. М.: Бином, 1990. – 260 с.

7. Радкевич Е. В. Об асимптотических решениях системы фазового поля. М.: Бином, 1993. – С. 487-500.

8. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов. СПб.: Питер, 1990. – С. 19-37.

9. Lamé G., Clapeiron B. P. Mémoire sur la solidification par refroidissement d'un globe solide Ann. de Chem. et de Phys, 1831. – P. 250-256.

10. Fridman A. One dimensional Stefan problem with nonmonotone free boundary // Trans. Amer. Math. Soc. V. 133., 1968. – P. 89-114.

11. Hanzawa E. I. Classical solution of the Stefan problem. N.-Y.: McGraw-Hill Book Co, – P. 297-335.

12. Калиев И. А. Математическое моделирование фазовых превращений в упругих средах, 1996. – С. 64-72.

13. Гинзбург В. Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и макроскопической теории сегнетоэлектриков Т. 2. N 9, 1960. – С. 2031-2043.

14. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.:Мир, 1979. – 392 с.

15. COMSOL Multiphysics User’s Guide

16. Материалы сайта http://www.comsol.com/

Код для цитирования: Скопировать