VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В настоящее время все больше людей задумываются о вопросах энергосбережения. И в этом нет ничего удивительного – зачем переплачивать за отопление, когда на этом можно экономить? Существует несколько способов сокращения расходов тепловой энергии а, следовательно - ее экономии. Один из них оборудование систем отопления жилых домов термостатами. Термостаты - это приборы, которые включают и выключают нагреватель в зависимости от величины разности между заданной оптимальной температурой Т0 и действительной температурой в помещении в данный момент времени Т, то есть они позволяют автоматически регулировать температуру воздуха в помещении, поддерживать ее изменение в определенном интервале. При этом происходит значительное снижение затрат тепловой энергии при сохранении комфортной температуры во внутреннем помещении обогреваемого здания.

Объект настоящего исследования – процесс отопления некоторого помещения, при условии, что система отопления оборудована термостатом. Предмет исследования – изучение работы термостата в процессе обогрева помещения. Занимаясь изучением объекта, мы пришли к противоречию: с одной стороны желательно, чтобы температура в помещении была комфортной для проживания, с другой стороны необходимо экономить тепловую энергию, чтобы платить за обогрев меньше. Для экономии можно использовать термостат, но тогда необходимо заниматься исследованием его работы.

Актуальность данной работы заключается в том, что в настоящее время экономичный обогрев помещений становится все более необходимым в связи с ростом цен и ограничением лимитов на энергоносители.

Цель работы: исследование режима работы термостата в процессе обогрева заданного помещения. Цель определяет задачи исследования:

1. Составить математическую модель обогревательного процесса в рассматриваемом помещении;

2. Найти закон изменения температуры в этом помещении в зависимости от времени;

3. Провести анализ работы термостата, вычислить время одного цикла его работы;

4. Проиллюстрировать полученные результаты графиками, полученными с применением ЭВМ;

5. Сделать выводы по проведенному исследованию.

В качестве математической модели в данной работе используется дифференциальное уравнение первого порядка, которое описывает процесс изменения температуры при обогреве заданного помещения 3. Из теплотехники известна закономерность изменения температуры в обогреваемом помещении:

dTdt = k(Qвх- Qвых),

где: k – коэффициент пропорциональности, зависящий от многих факторов, которые должны быть учтены, например, от размеров помещения, работы системы отопления и температуры окружающей среды. Он получается экспериментальным путем для каждой конкретной задачи. В данном исследовании рассмотрены следующие условия: вне дома температура равна 0⁰, а начальная температура в помещении равна 100, k=250 3;

• Qвх – количество тепла, поступившего от нагревателя, мы использовали данные 3, Qвх = 30000 Дж/ч.;

• Qвых– потери тепла из помещения в окружающую среду, в нашем исследование они изменяются по закону Qвых = 500* T (Дж/ч ) 3 ;

• Пусть T0 - заданная комфортная температура в помещении. Обычно на практике комфортной для жилых помещений считается Т0 = 220. Работа термостата заключается в том, чтобы поддерживать в помещении температуру определенного диапазона, например, как в нашем исследовании Т= 220 ± 10. График работы термостата приведен на рисунке 1. Из графика видно, что если температура в помещении нагреется до T=23, то (T0-T)=-10 и термостат выключает нагреватель, если температура понизится до Т=210, то (T0-T)=+10 и термостат снова включает систему отопления, входная мощность нагрева составляет Qвх=30000 Дж/ч.

• Рис. 1. График работы термостата

• Математическая модель задачи - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и начальными условиями, то есть задача Коши:

  (Qвх- Qвых) = 250*dTdt, T(0)= 10.

  (1)

• Метод решения уравнения (1) заключается в разделении переменных и последующем интегрировании полученного равенства.

• Так как отопительная система снабжена термостатом, то с учетом его работы было рассмотрено три частных случая уравнения (1). Эти частные случаи отличаются входными числовыми данными и начальными условиями. Решения этих уравнений также отличаются, поэтому в процессе обогрева помещения было решено три частных задачи или рассмотрены три этапа решения одной задачи.

• Задача 1. Получение закона изменения температуры в помещении T(t) при включенном обогревателе Qвх = 30000 Дж/ч и начальной температуре T(0)= 10, определение времени, за которое температура внутри помещения нагреется от 100 до 23.

• Решение. Решая задачу Коши: 250*dT(30000-500*Т) = dt, Т(0) = 10⁰, получили:

• 250*dT(30000-500*Т) = dt , → 250*dT(30000-500*Т) = dt+С, →

• - 12ln(30000-500*Т) = t +C, → ln(30000-500*Т) = -2*t + C1.→

• Общее решение уравнения: Т(t) = 30000-C e-2t 500 . Произвольную постоянную С нашли из начальных условий, получили С =25000, Т(t) = 60⁰ – 50⁰* е-2t - закон изменения температуры в помещении на первом этапе. Чтобы найти время, в течение которого температура в помещение поднимется от 10⁰ до 23⁰ , подставили в последнюю формулу вместо T(t) условие Т = 23⁰, получили

• t = ln50-ln372 = 0,12 (час) = 7 мин. Итак, термостат выключил систему обогрева и подачи тепла в помещение нет.

• Задача 2. Обогреватель отключен, подачи тепла в помещение нет, идут потери тепла, поэтому температура понижается, но понижение возможно только до 210, потом термостат включает отопление. Получить закон снижения температуры в помещении от 230 до 210, при условиях Qвх =0, а формула потери тепла: Qвых = 500*Т. Потребовалось определить время, за которое температура в помещении снизилась до 21⁰ и термостат снова включил отопительную систему для обогрева.

• Решение: Решение задачи Коши: - 500*Т = 250*dTdt, Т(0) = 23⁰

• dTT = -2 dt ,→ dTT= -2 dt+ C, → ln (T) = -2 t + C, →T(t) = e-2t*C – это закон изменения температуры внутри помещения на втором этапе, а именно закон потери тепла после отключения обогревателя. Используя начальное условие, получим С = 23⁰, тогда Т(t) = 23⁰*e-2t. Очевидно, что значения T(t) убывают с увеличением t, температура в помещении падает. Время, за которое температура в помещении понизится до 21⁰, получим из равенства

• 21⁰ = 23⁰*e-2t, t = ln23-ln212 = 0,05 (час) = 2,7мин. Итак, до включения отопительной системы термостатом на втором этапе потребовалось 2,7 мин. После этого подача тепла снова включилась. Температура в помещении вновь повышается.

• Задача 3. Получить закон изменения температуры в помещении, если обогреватель включен и температура повышается Т(0) = 210. Определить время, за которое температура в помещении вновь повысится до 23⁰ , то есть до момента повторного включения отопления.

• Решение: Приводим решение задачи Коши: (30000- 500*Т) = 250*dTdt , Т(0) = 21⁰.

• Закон повышения температуры был получен при решении задачи 1:

• Т(t) = 30000-C e-2 t 500 . С помощью начальных условий была найдена произвольная постоянная С = 19500, и Т(t) = 30000-C e-2t 500=600-390 е-2t - закон изменения температуры в помещение на третьем этапе исследования работы термостата. Очевидно, что с увеличением времени t значения температуры Т(t) увеличиваются, то есть температура в помещении растет. Для нахождения времени t до включения обогревателя термостатом, использовались условия Т = 23⁰, получено t=ln39-ln372= 0.03 час=2 мин.

• Таким образом, мы изучили работу термостата на трех этапах процесса отопления помещения. Если циклом считать промежуток времени между двумя отключениями отопительной системы, то время одного цикла работы термостата равно: T = ln (1,154)/2 =2,7+2≈ 5 мин.

• За время цикла обогреватель включен 2 минуты, а выключен 2,7 минут, то есть около3 минут. При этом в помещении поддерживается комфортная температура. Мы считаем, что при этих условиях идет значительная экономия тепловой энергии, приблизительно 60%.

• Приведем иллюстрацию всех трех этапов исследования графиками, полученными с помощью электронных таблиц.

• Первый этап. В таблице 1 и на рисунке 2 приведен расчет времени, необходимого для первоначального нагрева помещения.

• Таблица 1.

• Рис. 3

• Рисунок 2.

• Вывод. Первоначальный нагрев произошел за 0,12*60=7,2 мин.

• Второй этап. В таблице 2 и на рисунке 3 приведен расчет времени, за которое температура в помещении понизилась от ²³⁰ до 21.

• Таблица 2.

• Рисунок 3.

• Вывод. Понижение температуры произошло за 3 минуты.

• Третий этап. В таблице 3 и на рисунке 4 приведен расчет времени, которое потребовалось для нагрева помещения от Т= 21⁰ до T = 23⁰.

• Таблица 3.

• Рис.4

• Рисунок 4.

• Нагрев помещения произошел за 2 минуты.

• Выводы.

1. Проведено исследование работы термостата в процессе обогрева жилого помещения.

2. В качестве математической модели использовано дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и начальными условиями, которое описывает процесс изменения температуры при обогреве заданного помещения.

3. По расчётам экономия тепловой энергии может составить более 30%.

4. Полученные результаты могут использоваться преподавателями на занятиях по математике при изучении темы «Дифференциальные уравнения» и демонстрации их прикладного характера.

• Список литературы.

1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях.

• М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987.-160с.

1. Боярчук А.К., Голвач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т.5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Дифференциальные уравнения 1 порядка. М.: КомКнига, 2006. -240с.

2. Шуп Т.Е. Решение инженерных задач с помощью ЭВМ. М.: Мир,1982. С.99-1.

Код для цитирования: Скопировать