VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В экономической практике во многих задачах принятия решений важным элементом является неопределенность, не связанная с сознательным целенаправленным противодействием противника и заключается в недостаточной информированности лица, принимающего решение, об объективных условиях, в которых будет приниматься решение. Неопределенность такого рода может порождаться различными причинами: нестабильность экономической ситуации, покупательный спрос на товар, рыночная конъюнктура, политика правительства, надежность партнера и т.д. Во всех задачах такого рода выбор решения зависит от объективной действительности, называемой в математической модели «природой» . Таким образом, в игре с природой осознанно действует только один игрок, а именно, лицо, принимающее решение – игрок А. Вторым игроком является природа, обозначим ее через П. При этом игрок П не является противником игрока А, так как не действует осознанно против этого игрока.. В теории игр с природой в зависимости от имеющейся информации различают две ситуации. Одна из них характеризуется тем, что либо известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из своих возможных состояний, либо эти вероятности не известны, но имеются сведения об их относительных значениях, либо вероятности состояний природы устанавливается в результате опроса экспертов и усреднения их показаний. В этой ситуации говорят о «принятии решения в условиях риска». В другой ситуации вероятности возможных состояний природы неизвестны и нет никакой возможности получить о них какую-либо информацию. В этом случае говорят о «принятии решения в условиях неопределенности». Давайте остановимся на первой ситуации и рассмотрим ее подробнее. И так, принятие решений в условиях риска.

Рассмотрим игру с природой, в которой игрок А обладает m возможными стратегиями А₁,…,А_m, а природа П может находиться в одном из n своих состояний П₁,…,Пn. Предполагается обычно, что игрок А в состоянии оценить результаты выбора им каждой из своих стратегий А_i, i=1,…,m, при каждом состоянии природы П_j,j=1,…,n, количественно выражающиеся действительными числами а_ij.

Эти числа, называемые выигрышами игрока А, можно записать в виде матрицы (таблица 1)

Таблица 1. Платежная матрица.

Пj Ai	П1	П2	…	Пn
А1	a11	a12	…	a1n
А2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Аm	am1	am1	…	amn

А=размера m x n, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, столбцы – состояниям природы П.

Задача игрока А состоит в выборе оптимальной стратегии, обеспечивающей ему максимально возможный выигрыш. При возможности, матрицу можно упростить, уменьшив число строк и столбцов на основании принципа доминирования стратегий игрока А.

Существует множество различных критериев, с которыми можно столкнуться при принятии решения игр в условиях риска, однако, давайте рассмотрим основные критерии, а именно, остановимся на четырех критериях: критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков, а так же критерии Лапласа относительно выигрышей и относительно рисков.

Критерий Байеса относительно выигрышей. Допустим, что игроку А известно не только состояния П₁,…, Пnв которых может находиться природа П, но и соответствующие вероятности q₁,…, qn, с которыми природа П реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска.

Показателем эффективности стратегии по критерию Байеса относительно выигрышейназывается математическое ожидание выигрыша i-строки с учетом вероятностей всех возможных состояний природы. Если обозначить среднее значение через ai, то получится формулаa=q1ai1+q2ai2+…+qnain=j=1nqjaij , i=1,…, m. (1)

Таким образом, ai, представляет собой взешенное среднее выигрышей i-ой строки, взятых с весами q₁,q₂,…, qn. Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей считается стратегия A_i0 с максимальным показателем эффективности (1), т.е. с максимальным средним выигрышемai=max1≤i≤mai (2) Таким образом, выбранное решение по этому критерию является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Распространим понятие показателя эффективности по критерию Байеса относительно выигрышей на смешанные стратегии игрока А. Пусть Р=(р₁,…,р_m) - некоторая смешанная стратегия игрока А, при которой чистая стратегия используется им с вероятностью р_i, i=1,…, m. Тогда выигрыш игрока А при смешанной стратегии Р=(р₁,…,р_m) и при состоянии природы П_j будет равен HP, Пj=i=1mpiaij , j=1,…, n (3)

Показателем эффективности смешанной стратегии Р=(р₁,…,р_m) по критерию Байеса относительно выигрышей будет являться среднее значение выигрышей (3) с учетом вероятностей q₁,q₂,…, qn состояний природы. Обозначим этот показатель через HP. Используя (1), будем иметь: HP=j=1ngjHP, Пj=j=1nqji=1mpiaij=i=1mpij=1nqjaij=i=1mpiai . 4

Таким образом, как видно из равенства (4), показатель эффективности смешанной стратегии Р=(р₁,…,р_m) по критерию Байеса относительно выигрышей представляет собой взвешенное среднее показателей эффективности чистых стратегий А_i, i=1,..., m, по тому же критерию с весами p_i, i=1,..., m. Если, в частности, стратегия Р=(р₁,…,р_m) является чистой стратегией А_k, k=1,..., m, то p_i=0 i и k не равны, p_k=1, и ее показатель эффективности как смешанной стратегии H(Ak), определяемый формулой (4), превращается в ее показатель эффективности как чистой стратегии a_k, вычисляемый по формуле (1).

Критерий Байеса относительно рисков. Рассмотрим ту же игру с природой матрицей (таблица 1), в которой известны вероятности состояний природы q₁ , ..., qn. При принятии решений в условиях риска можно пользоваться не только средними выигрышами, но и средними рисками. Составим матрицу рисков для матрицы A (таблица 1), используя формулу рисков (4) Таблица 2. Матрица рисков.

Пj Ai	П1	П2	…	Пn
А1	r11	r12	…	r1n
А2	r21	r22	…	r2n
…	…	…	…	…
Аm	rm1	rm1	…	rmn

Показателем неэффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно рисков называется среднее значение, или математическое ожидание риска i-й строки матрицы (таблица 2), вероятности которых, очевидно, совпадают с вероятностями состояний природы. Обозначим средний риск при стратегии А_i через ṝ_i, тогда ṝ_i = q₁ r_i1 + q₂ r_i2 + … + qn r_in = , i=1, …, m. (5)является взвешенной средней рисков i-й строки матрицы (таблица 2) с весами p_i, i=1, ..., n. Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является стратегия А_i0, показатель неэффективности (5) которой минимален, т.е. минимален средний риск

ri0=min1≤i≤mri (6)Определим понятие риска при использовании игроком А смешанной стратегии P=(p₁,…, p_m) и при состоянии природы П_j, j=l, ..., n, как разностьr(P,Пj)=maxU∈SAH(U,Пj)-HP,Пj, j=1,…, n , (7)между максимальным выигрышем H (U, П_j) при всех смешанных стратегиях U = (u₁ , ..., un) ϵ S_A и состоянии природы П_j и выигрышем H (P, П_j) при смешанной стратегии P= (p₁ , ..., p_m) и при состоянии природы П_j.В качестве показателя неэффективности смешанной стратегии P= (p₁ , ..., p_m) по критерию Байеса относительно рисков рассмотрим взвешенную среднюю рисков с весовыми коэффициентами, равными вероятностям q₁ , ..., qn состояний природы: =. (8)Оптимальной среди всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий по критерию Байеса относительно рисков будем считать стратегию P⁰, показатель неэффективности которой, вычисляемый по формуле (8), минимален: minP∈SArP=rP0

В предыдущих двух критериях Байеса известные вероятности q₁ , ..., qnсостояний природы могли быть получены из статистических данных, отражающих многократное решение подобных задач, или в результате наблюдений за поведением природы. Однако, довольно часто складывается такая ситуация, когда мы лишены возможности определить вероятности состояний природы указанными способами. Желая все же принять решение в условиях риска, мы вынуждены оценить вероятности состояний природы субъективно. Существуют различные методы численной субъективной оценки степени правдоподобности состояний природы. Один из них состоит в том, что мы не можем отдать предпочтение ни одному из состояний природы, и потому считаем их равновероятными, т.е. q₁ = .. .=qn = . Этот принцип называется «принципом недостаточного основания» Лапласа. На нем основан критерий Лапласа относительно выигрышей.Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Лапласа относительно выигрышей называется среднее арифметическое выигрышей i-й строки: ā_i= , i=1, …, m. (9) Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей считается стратегия А_i0 показатель эффективности, которой, вычисляемый по формуле (9), максимален, т.е. ai=max1≤i≤mai.Очевидно, что критерий Лапласа относительно выигрышей есть частный случай критерия Байеса относительно выигрышей при q₁ = .. .=qn = .Поэтому все утверждения на счет критерия Байеса относительно выигрышей, остаются в силе и для критерия Лапласа относительно выигрышей.Подставляя (9) в (4), получим показатель эффективности смешанной стратегии P= (p₁ , ..., p_m) по критерию Лапласа относительно выигрышей = . (10) Стратегия P⁰= (p₁ , ..., p_m) будет оптимальной среди всех смешанных стратегий множества S_A по критерию Лапласа относительно выигрышей, если она максимизирует показатель эффективности (10).

Критерий Байеса относительно рисков при равновероятных состояниях природы, q₁ = .. .=qn = , превращается в критерий Лапласа относительно рисков. Тогда величина , получающаяся из (5) при q_j = , j=1,…, n,или более простая величина представляет собой показатель неэффективности стратегии А_i по критерию Лапласа относительно рисков. Следовательно, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков является стратегия А_i0, показатель неэффективности которой минимален. Подставляя в (8) значения q_j = , j=1, …,n, получим показатель неэффективности смешанной стратегии Р по критерию Лапласа относительно рисков, вместо которого можно рассматривать более простую величину =. Стратегия Р, для которой показатель принимает минимальное значение, является оптимальной среди всех стратегий множества S_A. Чистая стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков, оптимальна по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

Для более лучшего понимания рассмотрим пример на нахождение оптимальной стратегии по критерию Лапласа относительно выигрышей.

Возможно строительство 4 типов электростанций: А₁ - тепловые, А₂ – атомные, А₃ – гидроэлектростанции_, А₄ – шлюзовые_. Эффективность каждого из типов электростанций определяется сочетанием факторов, зависящих от различных случайных явлений: погодные условия, режима рек, сейсмической активности и т. д. Пусть число возможных сочетаний факторов равно 4( П₁, П₂, П₃, П₄). Экономическая эффективность каждого типа электростанции в зависимости от состояния природы задается платежной матрицей:

Таблица 3. Платежная матрица.

Пj Ai	П1	П2	П3	П4
А1	7	3	9	2
А2	2	2	7	11
А3	4	6	1	8
А4	5	10	0	3

Где А₁-строительство вероятности состояний природы нам не известны. Будем считать, что все 4 возможные состояния природы равновероятны. Найдем оптимальную стратегию по критерию Лапласа относительно выигрышей. Для этого пока добавим столбец показателей эффективности стратегий, вычисляемых по формуле (9) без множителя 1/n в правой части (т. е. a1=a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=7+3+9+2=21), получим:

Таблица 4.

Пj Ai	П1	П2	П3	П4	ai
А1	7	3	9	2	21
А2	2	2	7	11	22
А3	4	6	1	8	19
А4	5	10	0	3	18

Из последнего столбца видно, что наибольшим показателем эффективности обладает стратегия А₂, для которой а₂=22. Значит, по критерию Лапласа относительно выигрышей оптимальной стратегией является стратегия А₃, т. е. оптимальным является строительство атомных электростанций.

Особым классом задач принятия решений являются задачи с учетом факторов риска. Факторы риска, понимаемого как вероятность потерь, влияют на процесс принятия решений. Аварии на промышленных производствах, человеческие жертвы, связанные с использованием различных технологий, определяют исключительную важность задач анализа риска.

Основными направлениями исследований в области анализа риска являются:

измерение риска;

повышение безопасности крупномасштабных технологических систем;

анализ аварий.

Суждения людей о вероятностях опасных событий и потенциальном ущербе основаны на личном восприятии риска и существенно отличаются от объективных данных.

При установке стандартов используются три основных подхода: экспертные суждения, аналогия с известными технологиями, многокритериальный анализ. Крупные аварии характеризуются, как правило, совпадением ряда маловероятных событий.

Список использованной литературы:

1. Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. Пособие. – М.: Дело, 2001. – 464 с.

2. Розен. В. В. Теория игр и экономическое моделирование. Саратов, 1996

3. Интернет источник: http://www.aup.ru/books/m157/3_3_2.htm - административно-управленческий портал.

 

Код для цитирования: Скопировать