VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Именно математика дает точным естественным

наукам определенную меру уверенности в выводах,

достичь которой без математики они не могут.

Альберт Эйнштейн

Геодезия – одна из древнейших наук («geodesy» греч. в переводе на русский язык означает «землеразделение»). Геодезия - область отношений, возникающих в процессе научной, технической и производственной деятельности по определению фигуры, размеров и внешнего гравитационного поля Земли, координат и высот точек земной поверхности и их изменений во времени, проводимой в целях составления карт и планов, а также для обеспечения решения различных инженерных задач на земной поверхности. А с другой стороны - это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией, математическим анализом, классической теории потенциала, математической статистикой, и вычислительной математикой. Изначально в геодезии все берется из математики. Геодезия и геометрия долго взаимно дополняли и развивали друг друга. Историческую связь в первоначальных эпохах их развития между геодезией и геометрией показывает слово «геометрия», которое в переводе с греческого означает «землеизмерение». Поэтому геодезию иногда называют практической геометрией и землемерием. Развитию и совершенствованию методов геодезических работ способствовали научные достижения в области математики, физики, инструментальной техники. Открытие Ньютоном закона всемирного тяготения привело к выводу, что Земля, хоть и имеет шарообразный вид, но сплюснута вдоль оси вращения и приближается к фигуре, называемой эллипсоидом вращения, или сфероидом. Топографические карты необходимы для государственного планирования и размещения производственных сил, на проектирование инженерных сооружений, при разведке и эксплуатации природных богатств, градостроительстве, организации сельскохозяйственного производства, при выполнении мелиоративных работ, землеустройстве, лесоустройстве и т.д. Геодезические измерения обеспечивают соблюдения геометрических форм и элементов проекта сооружения как в отношении его расположения на местности, так и в отношении внешней и внутренней конфигурации. Даже после окончания строительства производятся специальные геодезические измерения, имеющие целью проверку устойчивости сооружения и выявления возможных деформаций во времени под действием различных сил и причин. Основной метод измерений, который используется в геодезии, называется триангуляционным. Этот термин произошёл от латинского слова «триангумом», что означает «треугольник». В основе этого метода лежат знания о треугольнике, которые мы с вами уже изучили, и сегодня будем закреплять и применять. В геометрии рассматриваются две типичные геодезические задачи: определение высоты объекта и определение расстояния до недоступной точки.

Основные различия и соответствия между математикой и геодезией.

Математика

Геодезия

В математике принята левая система прямоугольных координат с нумерацией четвертей против хода часовой стрелки.

В геодезии принята правая система прямоугольных координат с нумерацией четвертей по ходу часовой стрелки.

Полярная система координат. Здесь r называется длиной радиус-вектора, а φ –полярным углом. Если совместить полюс с началом декартовой системы координат, а полярную ось с положительным направлением оси абсцисс, то каждая точка плоскости М имеет две различные координаты: в декартовой системе координат Оху – М(х; у) и в полярной системе координат – М(r; φ). Тогда зависимость между этими координатами точки М осуществляется по формуле х=rcosφу=rsinφ . Отсюда можно вывести и обратную зависимость:

r2=х2+у2tanφ=ух.

Положение точки m относительно полюса О и полярной оси ОХ определяется двумя величинами: углом β и расстоянием D.

Определение неприступных расстояний.

Фалес, древнегреческий ученый, стоя на побережье, определил на каком расстоянии остановился корабль.

1. На побережье через точку А проходит прямая l, которая перпендикулярна прямой линии АВ. АВ⊥l.

2. Измеряя отрезок АС=а откладываем его.

3. Построим середину отрезка АС точку D. На прямой l от точки С проведем перпендикулярную прямую и она пересекается с продолжением прямой DВ в точке Е. Тогда Х=АВ=СЕ=d.

В

C в=а2D в l

X=d

E

Для определения длины такой линии на одном из ее концов, в месте, удобном для линейных и угловых измерений, выбирают две вспомогательные линии в₁, в₂, называемые базисами. В каждом из двух полученных треугольников измеряют базисы и по два прилежащих к ним угла β1β5β11 и β5

. Неприступное расстояние S вычисляют дважды по теореме синусов

S=в1sinβ1sinβ6, S=в2sinβ11sinβ6

.

Углы β при точке 6 вычисляют как дополнение до 180̊ суммы измеренных углов в каждом треугольнике.

Если расхождение между двумя вычисленными по формулам значениями S не более 11000(или 12000, 13000), то за окончательное значение принимают среднее из этих величин. При выборе базисов следует соблюдать требования:

углы лежащие в треугольниках против базисов, должны быть не менее 20̊;

углы в треугольниках при базисах должны быть не менее 40̊.

Чтобы изобразить объемный предмет на плоском чертеже, применяют метод проекций. К простейшим проекциям относятся центральная и ортогональная проекции.

При центральной проекции проектирование выполняют линиями, исходящими из одной точки, которая называется центром проекции. Пусть требуется получить центральную проекцию четырехугольника ABCD на плоскость проекции P; центр проекции – точка S.

Проведем линии проектирования до пересечения с плоскостью проекции, получим точки a, b, c, d, являющиеся проекциями точек A, B, C, D. Плоскость проекции и объект могут располагаться по разные стороны от центра проекции; так при фотографировании центром проекции является оптический центр объектива, а плоскостью проекции – фотопластинка или фотопленка.

При ортогональной проекции линии проектирования перпендикулярны плоскости проекции. Проведем через точки A, B, C, D линии, перпендикулярные плоскости проекции P; в пересечении их с плоскостью P получим ортогональные проекции a, b, c, d соответствующих точек.

Чтобы изобразить на бумаге участок земной поверхности, нужно выполнить две операции: сначала спроектировать все точки участка на поверхность относимости (на поверхность эллипсоида вращения, или на поверхность сферы) и затем изобразить поверхность относимости на плоскости. Если участок местности небольшой, то соответствующий ему участок сферы или поверхности эллипсоида можно заменить плоскостью и считать, что проектирование выполняется сразу на плоскость.

При проектровании отдельных точек и целых участков земной поверхности на поверхность относимости применяется горизонтальная проекция, в которой проектирование выполняют отвесными линиями.

Пусть точки A, B, C находятся на поверхности Земли. Спроектируем их на поверхность относимости и получим их горизонтальные проекции – точки a, b, c. Линия ab называется горизонтальной проекцией или горизонтальным проложением линии местности AB и обозначается буквой S. Угол между линией AB и ее горизонтальной проекцией AB’ называется углом наклона линии и обозначается буквой ν.

Расстояния Aa, Bb, Cc от точек местности до их горизонтальных проекций называются высотами или альтитудами точек и обозначаются буквой H (H_A, HB, H_C); отметка точки – это численное значение ее высоты. Разность отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h: h_AB = HB – H_A.

В геодезии используют 2 основные задачи. Вычисление координат пунктов плановых геодезических сетей связано с решением прямой и обратной геодезических задач.

При решении прямой геодезической задачи известны координаты начальной точки, горизонтальное проложение и дирекционный угол направления. Требуется определить координаты конечной точки, т. е.

Дано:

Х_А, У_А

_D

_α

_{______________}

Х_В, У_В =?

1. Дано:

Х_А, У_А

_ΧВ, У_В

_{_____________}

_αAB=? D=?

Работы выполняемые при помощи провешивания прямых и измерения длин.

Применение приемов провешивания прямых и измерения расстояний на местности даст возможность выполнения ряда работ на местности, обходясь без измерения углов. Сюда относятся некоторые случаи измерения недоступных расстояний построением равных или подобных треугольников, построением углов в 60̊, 30̊, 45̊, 90̊, деления угла пополам и съемки плана участка.

1. Определение расстояния между двумя доступными точками, если расстояние между ними не может быть измерено непосредственно.

Положим, что точки А и В отделены на местности препятствием (здание, болото, лес и т.д.), не позволяющим промерить расстояние АВ непосредственно, но каждая из точек доступна. В стороне от линии АВ выбираем точку С так, чтобы из точки С были видны точки А и В и могли быть измерены расстояния АС и ВС. При помощи провешивания продолжают прямые АС и ВС на расстояния СЕ=АС и СД=ВС. Тогда в силу равенства треугольников неизвестное расстояние АВ=ДЕ и может быть измерено непосредственно. Используя свойство средней линии треугольника, можно отложить КС=12АС;CL=12BC и тогда АВ=2KL. В старших классах можно применить этот способ, используя подобие треугольников, откладывая CN=1nAC и СМ=1nBC;тогда AB=n∙MN.

1. Определение расстояния до недоступной точки.

Положим, что точки А и В находятся на разных берегах реки и точка А недоступна. Продолжаем прямую АВ провешиванием на произвольное расстояние ВС. Затем провешиваем прямые BF и CE, пересекающиеся в точке D, и откладываем расстояния DF=BD и DE=CD. Точки A и D определяют одну прямую, точки E и F – другую прямую. Находим их пересечение в точке H. Тогда AB=HF и может быть измерено непосредственно. Действительно, ∆BCD=∆DEF, ∠C=∠E, ∆ADC= ∆DEH, AC=EH, AB=HF.

1. Деление угла пополам.

Пусть на местности задан угол ВАС положением своей вершины А и направлением сторон АВ и АС. Откладываем на одной стороне произвольные расстояния AD и AE и на другой стороне равные им расстояния AF=AD и AH=AE. Точки D и H и точки F и E определяют две прямые. Находим их пересечение в точке K. Тогда прямая AK является биссектрисой угла BAC. Действительно, из равенства треугольников AEF и ADH вытекает, что ∠AEF=∠ADH, ∠ADH=∠AFE и ∠EDK=∠KFH. Отсюда ∆DEK=∆FHK, DK=KF, ∆ADK=∆AFK и ∠DAK=∠KAF.

Деление угла пополам может быть выполнено и проще, если применить операцию сгибания мерного шнура и нахождения его середины. Откладываем по сторонам угла два равных отрезка AD и AE, отмечаем мерным шнуром DE (не измеряя длины DE в числовой мере) и сгибанием шнура находим середину DE – точку F. AF является биссектрисой в силу равенства треугольников ADF и AEF.

Если вершина угла A, который требуется разделить пополам, недоступна, но видна, поступают таким образом. На сторонах угла выбирают две произвольные доступные точки (B и C) и считают их вместе с точкой A вершинами треугольника. Одним из предыдущих способов делят пополам два угла с доступными вершинами и находят точку пересечения биссектрис. Эта точка с третьей вершиной треугольника определяет биссектрису недоступного угла.

1. Построение перпендикуляров.

Задача провести перпендикуляр, проходящий через точку, лежащую на данной прямой, решается еще более простым способом. Пусть требуется восставить перпендикуляр к прямой АВ через точку С. Откладывают на прямой АВ вправо и влево равные расстояния DC=CE и устанавливают в точках D и E вехи. Веревку с петлями на концах набрасывают на вехи в точках D и E и середину веревки оттягивают в точку F. В полученном равнобедренном треугольнике медиана FC будет являться высотой.

В случае, если перпендикуляр надо восставить в конце отрезка, не продолжая его, можно применить такой способ. В конце B отрезка AB и в точке Aустанавливают две вехи. Накидывая на эти вехи петли шнура, оттягивают его за середину в точку C и устанавливают в ней веху. Затем продолжают отрезок AC на величину CD=AC. Угол ABD будет прямым, так как треугольники ABC и BCD – равнобедренные. Обозначим углы при основании равнобедренного треугольника ABC через α и углы при основании равнобедренного треугольника BCD через β. Тогда из треугольника ABD имеем: 2α+2β=180̊, т. е. α+β=90̊.

Вторая задача – провести перпендикуляр к прямой через точку, не лежащую на этой прямой, решается несколько сложнее. Берут веревку несколько больше величины опускаемого перпендикуляра. Одна петля надевается на веху, установленную в точке F вне прямой, через которую должен быть проведен перпендикуляр. Вторая петля надевается на вторую веху, и в натянутом положении вторая веха устанавливается на прямой AB, например, в точке D, что проверяется наблюдателем, стоящим за одним из концов отрезка AB. Точно так же устанавливается вторая веха в точке E. Сгибанием веревки по длине, раной DE, пополам находится середина отрезка. Прямая FC⊥AB.

Применив прием восстановления перпендикуляра и понятие симметрии, можно предложить другой способ, интересный с точки зрения приложения геометрических знаний учащихся.

Пусть из точки M надо опустить перпендикуляр на прямую AB. Из произвольной точки C заданной прямой восстановляем перпендикуляр CD и продолжаем по другую сторону прямой на расстояние CE=CD. Находим точку F пересечения прямых AB и MD. Отрезок FE продолжаем и от точки F откладываем FN=FM. Точка N будет симметрична точке M относительно AB, и прямая MN будет перпендикулярна AB. Действительно, ∆CDF=∆CEF, и отсюда ∠DFC=∠EFC. Тогда ∆MKF=∆NKF и, следовательно, углы при точке K равны.

1. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной линией.

Это построение может быть выполнено, используя свойства меридиан и средней линии треугольника. Пусть через точку M требуется провести прямую, параллельную AB. Откладываем AC=CD и AM=ME. В треугольнике ADE находим пересечение двух медиан EC и MD в точке F. Третья медиана определяется точками A и F и ее пересечение с третьей стороной в точке H даст середину этой стороны. MH является средней линией треугольника и параллельна AB.

AC=385м, BC=312м, С=52̊. По теореме косинусов AB2=3852+3122-2∙385∙312∙cos52∘.

АВ=312,3м.

Построение треугольников АСD и BCD по стороне и двум прилежащим углам.

Из треугольника ACD находим:

AC=CDsinADCsin(ADC+ACD).

Из треугольника CBD аналогичным образом получаем сторону ВС:

BC=CDsinADCsin(BDC+BCD).

На основе всего изложенного можно сделать следующий вывод: вся геодезия основана на математике.

Список литературы

1. Закон Республики Казахстан от 3 июля 2002 года № 332-II. О геодезии и картографии.

2. С.П. Глинский, Г.И. Гречанинова, В.М. Данилевич, В.А. Гвоздева, А.И. Кощеев, Б.Н. Морозов. Геодезия. / М.: «Картгеоцентр» - «Геодезиздат», 1995.

3. http://www.batkivshchyna.net/geodezia_t3r4part1.html, Геодезия Курс лекций

4. http://geodesy-bases.ru/

5. http://festival.1september.ru/

6. З.С. Хаимов. Основы высшей геодезии. / М.: «Недра», 1984.

7. К. Нурсултанов, Г. Накышбекова. Жүлдегерлік жүз есеп./ Алматы: «Таймас», 2009.

8. Стороженко А. Ф., Некрасов О. К. «Инженерная геодезия» - Москва «Недра», 1993.

9. Захаров А. И. «Геодезические приборы» - Москва «Недра», 1989.

10. Знаменский М.А. Измерительные работы на местности./ Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, Москва – 1960.

Код для цитирования: Скопировать