Известно, что автоматический процесс описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка:
у”+р(х)у’+q(x)y=f(x) (1)
Частные решения этого дифференциального уравнения: у1=1, у2=х, у3=х2.
Необходимо найти общее решение этого дифференциального уравнения.
При подстановке: у1=1, у2=х, у3=х2 уравнение (1) обращается в тождество. Получаем систему:
Исходное дифференциальное уравнение с найденными величинами запишется:
у”+ у’+f(x) =f(x),
у”+у’ =0,
y”+py’=0.
Понизим порядок этого дифференциального уравнения, введя замену у’=V, где V=V(x).
Получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
V’+V=0.
Его решением является функция: V=C1(x-1)2 или у’=С1(х-1)2.
Окончательно получаем:
y=D1(x-1)3+D2.
Список используемых источников
1. Сборник задач по дифференциальным уравнениям./ Филиппов А.Ф. – Москва. «Интеграл-Пресс».