VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Большинство экономических задач состоит в нахождении наибольшего и наименьшего значения. Например, предприниматель при производстве продукции имеет цель получить наибольшую прибыль от производства продукции, наименьшие затраты на ее производство, наименьшие транспортные расходы.

Для решения задачи экономико-математическим методом ее условие необходимо записать математически. Для этого:1)вводим переменные, 2) цель задачи записываем в виде функции, которая называется целевой, 3) ограничения на переменные образуют систему ограничений и имеют вид уравнений или неравенств.

Математическая запись целевой функции и системы ограничений называется математической моделью задачи.

Значения переменных, удовлетворяющие системе ограничений, называются решением задачи. Неотрицательное решение- допустимым решением. Решение, при котором целевая функция достигает наибольшего или наименьшего значения, называется оптимальным решением. Существует несколько методов решения. Одним из методов является графическое решение.

Графическим методом решаются задачи с двумя переменными.

Для этого: 1) составляем математическую модель задачи,2) строим область допустимых решений системы ограничений, 3) по теореме об экстремуме целевой функции оптимальное решение совпадает с одной из угловых точек области допустимых решений, находим координаты всех угловых точек, 4) вычисляем значения целевой функции в угловых точках , если задача решается на максимум выбираем наибольшее из полученных значений, если на минимум наименьшее, 5) координаты соответствующей точки дают оптимальное решение В таблице даны нормы содержания питательных веществ для подростков

Рассмотрим графическое решение на примере составления рациона питания для подростков ( задачу о диете )

Составить рацион питания для подростка, если известны содержание питательных веществ в каждом из используемых продуктов, цена единицы продукта каждого вида и норма питательного вещества каждого вида. Составить рацион таким образом, чтобы расходы были минимальным.

В таблице даны нормы содержания питательных веществ для подростков

	Белки	углеводы	Витамин С	Витамин А	Витамин В1	Витамин В2	кальций	Цена за100 г
Мясо курица	30 23			0,01		0,3 0,2	- -	20 14
Сыр молоко	30 5	- -	- -	0,2 0,05	- -	0,4 0,19	0,4 0,2	15 5
Гречка рис		64 72	- -	- -	0,51 -			5 3
Капуста морковь		5 8	50 5	- 9	- -	- 0,3	- 20	2,6 1,5

В таблице даны нормы содержания питательных веществ для подростков

Пусть - количество мяса (на 100гр) ,входящее в рацион - количество курицы

Целевая функция – стоимость продуктов

– минимум

Система ограничений

Строим область допустимых решений

Целевая функция достигает наименьшего значения в точке пересечения второй и третей прямых. Координаты точки находим из системы уравнений

_{Следовательно в рацион питания включаем 225 г мяса и 40 г курицы}

Пусть ; - соответственно количество сыра и молока, входящее в рацион, - капусты и -моркови, гречки и риса.

Получаем математические модели

Система ограничений

Аналогично первой задаче, простроив область допустимых решений системы ограничений, находим, что первая целевая функция принимает наименьшее значение в точке пересечения

первой и третей прямых. Оптимальное решение второй функции – точка пересечения первой и третей прямых. Координаты точки пересечения – решение системы уравнений

.

Функция достигает минимума в точке пересечения граничных прямых. Координаты точки пересечения прямых найдем из системы уравнений:

В рацион питания включаем Итак в рацион питания включаем:

225 г мяса, 40 г курицы, 30 сыра и 340 г молока; 20 г капусты и 190 г моркови и 250 г гречки и 30 г риса

Литература

1.Уфимцева Л.И. Математическое моделирование в курсе элементарной математики в экономических классах Материалы международной научно-методической конференции Санкт-Петербург 2001

2.Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / под редакцией С.И.Макарова- 2-е изд. Перераб. и доп./ –М: Кнорус,2009 -240 с

Код для цитирования: Скопировать