На практике часто возникает необходимость провести анализ данных, представляющих собой нелинейную зависимость двух переменных. Нужно определить вид их функциональной связи и построить регрессионную модель, выравнивающую опытные данные. Для этого используют метод линеаризации модели. Данный метод основан на нахождении замены переменных, которая преобразует нелинейные уравнения в линейные, что в конечном итоге позволяет применять теорию линейной регрессии для построения нелинейной модели. Применение линеаризации модели позволяет лучше разобраться в качественных и количественных особенностях нелинейной системы. Так, например, можно определить вид зависимости коэффициента теплоотдачи (Y), от горизонтальной стенки к кипящей воде от разности температур стенки и кипящей воды(X):
X |
6,10 |
7,50 |
8,88 |
11,10 |
12,20 |
Y |
3185 |
5390 |
6860 |
10045 |
12740 |
Значительное число нелинейных зависимостей, встречающихся в химической практике, может быть описано следующими уравнениями: y=a·bx (1); y=a·xb (2); (3).
Первое и второе уравнения легко привести к линейному виду, прологарифмировав их:
lny=lna+x·lnb=>Y=A+Bx, где Y=lny, A=lna, B=lnb;
lny=lna+b·lnx=>Y=A+bX,где Y=lny, A=lna, X=lnx.
Для приведения третьего уравнения к линейному виду нужно выполнить преобразование:
y=x/(a+bx) => x/y=a+bx => Y=a+bx ,где Y=x/y.
Вычислив для каждого уравнения (1)-(3) парные коэффициенты корреляции (0,986574) (0,995185) и (-0,93835) соответственно, приходим к выводу что модель (2) наилучшим образом характеризует рассмотренную зависимость, так как величина коэффициента корреляции для нее наивысшая. Проводим замену переменных Y=lny, A=lna, X=lnx. Теперь уравнение имеет вид: Y=A+bX. Вычислив параметры регрессии, приходим к модели вида: y=106,627·x1,9067. Подставляя значения xi в полученное уравнение регрессии, найдем значения коэффициента теплоотдачи, выравнивающие опытные данные:
X |
6,1 |
7,5 |
8,88 |
11,1 |
12,2 |
Y |
3185 |
5390 |
6860 |
10045 |
12740 |
Yвыравн. |
3351,782 |
4970,141 |
6858,515 |
10495,68 |
12567,72 |
Построенная по вычисленным данным диаграмма представлена на рисунке 1.
Рис.1 Диаграмма рассеяния и выравнивающая опытные данные линия регрессии
Полученная регрессионная модель хорошо отражает функциональную зависимость коэффициента теплоотдачи от стенок сосуда к кипящей воде.
Использованная литература:
Антипина С. Г. Основы хемометрики. Часть 1. Прикладная статистика для химиков-технологов: учебное пособие / С.Г.Антипина, В.Ф. Каблов; ВПИ(филиал) ВолГТУ. – Волгоград: ИУНЛ ВолГТУ, 2013. – 140 с.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F