ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ - Студенческий научный форум

VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Нуримханова Е.С. 1, Адильгазы А.А. 1
1Государственный университет имени Шакарима города Семей
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического приема дает короткое решение. При решении используются следующие утверждения:

10 Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Является медианой и биссектрисой.

20 Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при основании.

30 Биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам.

Пример 1. Найти sin 18°

Это можно решить следующим образом.

sin 36°= cos 54°= cos (18° + 36°)

2 sin18° cos18° = cos18° cos36° – sin18° sin36°;

2 sin18° cos18°= cos18°(1 – 2sin218°) – 2sin218°cos18°

2 sin18° = 1 – 4sin218°, решаем квадратное уравнение и учтем, что sin18° > 0, получим

sin18° = .

Эту задачу можно решить геометрически:

Строим равнобедренный треугольник АВС с АВ=ВС и АВС=36°, тогда ВАС - ВСА = 72°

Проведем AD биссектрису ВАС. Получим равнобедренные AВD и AСD. Обозначим AD=ВD=АС= а и АВ=b, тогда СD= а– b. Далее используем подобие треугольников или свойство биссектрисы угла и решим квадратное уравнение получим

Так как sin18° = cos72°. Рассмотрим AСD СD = 2АС·cos72° (свойство20) cos= =

sin18° = cos

При решении многих тригонометрических задач удобно применять прямоугольный треугольник. Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, решаются геометрически быстрее и проще.

Пример 2 . Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = .

Пусть arcsin x = , arcsin 2x = , тогда + = .

x = sin, 2x = sin. Заметим, что x > 0.

Построим АОМ = , АОВ = , МОВ = + = . АМОМ.

Пусть ОА = 1, тогда, из треугольника АОМ, АМ = 1 · sin= sin= 2x.

Проведём АКОВ. Из треугольника АОК АК = 1 · sin= sin= x.

Проведём КС ОМ. СКА = КОМ = – как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Проведём АD КС. Из АDК KD = AK · cos 60° = x · = .

DC = AM = 2x. Значит, КС = KD + DC = + 2x = .

Из АОК по теореме Пифагора:

ОК = = .

Из ОКС: ОК · sin 60° = KC

Ответ: .

Примеры решения тригонометрических уравнений.

Литература

  1. А Г Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 класса. Москва, “Мнемозина”, 2010.

  2. А.Ф. Бермант, Л.А. Люстерник. Тригонометрия. Москва, 1957.

  3. Савин А. Тригонометрия. Квант, №4, 1996.

Просмотров работы: 1414