VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Лабораторная работа № 1

Задача распределения неоднородных ресурсов. Составление оптимального плана выпуска продукции

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи нахождения оптимального плана выпуска продукции и решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде математического пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Пусть некоторое предприятие обладает ресурсами S₁,S₂,…,Snв количествах соответственно b₁,b₂,…,bnединиц. Используя данные ресурсы предприятие может изготовить изделия И₁,И₂,…,И_m , при этом известны величины a_ij, – количество i-го ресурса, идущего на изготовление одного изделия j-го вида (i = 1,2,…,n, j = 1,2,…,m). Кроме того, известны величины c_j –прибыль, получаемая предприятием от реализации одного изделия j-го вида.

Требуется составить план выпуска изделий, при котором достигается максимальная суммарная прибыль (прибыль от реализации всех изделий).

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Вид ресурса	Запас ресурса	Расход ресурса на изготовления одного изделия
		И1	И2	…	Иm
S1 S2 …	b1 b2 …	а11 а21 … an1	a12 a22 … an2	… … … …	a1m a2m … anm
Прибыль от реализации одного изделия		c1	c2	…	сm

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи распределения неоднородных ресурсов. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Введем следующие обозначения: пусть х₁,x₂,…,x_m – количество изделий И₁,И₂,…,И_m, которые может производить предприятие. Поэтому количество рассматриваемых переменных – m штук.

2. Запишем целевую функцию, зависящую от х₁,x₂,…,x_mи что с ней необходимо сделать (максимизировать или минимизировать).

В данной задаче целевая функция − суммарная прибыль, получаемая предприятием от реализации всех произведенных изделий, может быть записана в виде:

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничения по запасам сырья. Зная количество сырья каждого вида, идущее на изготовление одной единицы изделия, и запасы сырья можно составить следующую систему ограничений:

Полученная система устанавливает, что количество сырья, расходуемое на изготовление всех изделий, не может превысить имеющихся на предприятии запасов сырья.

3.2.Условие неотрицательности переменных. Исходя из физического смысла, на переменные налагаются дополнительные условия, требующие неотрицательности их значений:

(3)

При этом равенство нулю соответствующей переменной означает, что данное изделие не выпускается.

3.3 Условие целочисленности переменных. На переменные можно накладывать дополнительное условие целочисленности, которое “запрещает” выпуск не целых изделий:

(4)

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель задачи распределения неоднородных ресурсов.

Пример выполнения

Постановка задачи. Пусть предприятие располагает запасами сырья трех видов – цемент, щебень и арматура в количествах b₁=18, b₂=120 и b₃=42 условных единиц соответственно. Из этого сырья может быть изготовлено два вида изделий – плиты перекрытия и фундаментные блоки. Известны так же значения а_ij – количество единиц i-го вида сырья, идущего на изготовление единицы j-го изделия и с_j – доход, получаемый от реализации одной единицы изделия каждого вида (i=1,2,3; j=1,2). Все указанные величины представлены в табл. 1.

Таблица 1. Данные к задаче об использовании сырья

Вид сырья	Запас сырья (усл. единиц)	Расход сырья на единицу продукции (усл. единиц)
		Плита перекрытия	Фундаментный блок
Цемент	b1 = 18	a11 = 3	a12 =1
Щебень	b2 = 120	a21 = 25	a22 = 3
Арматура	b3 = 42	a31 = 0	a32 = 3
Прибыль от продажи единицы изделия (усл.ден. единиц)		с1= 3	с2 = 2

Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором суммарная прибыль предприятия от реализации всей продукции была бы максимальной.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи распределения неоднородных ресурсов. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Введем следующие обозначения: х₁ – количество плит перекрытия, х₂ – количество фундаментных блоков, которые может выпускать предприятие.

2. Запишем целевую функцию.

Суммарная прибыль, получаемая предприятием от реализации х₁ единиц плит перекрытия и х₂ единиц фундаментных блоков, может быть записана в виде

F(х₁,х₂ ) = 3 * x₁ + 2 * x₂ max. (1´)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничения по запасам сырья. Зная количество сырья каждого вида, идущее на изготовление одной единицы изделия, и запасы сырья можно составить следующую систему ограничений:

 

(2´)

 

Полученная система устанавливает, что количество каждого сырья, расходуемое на изготовление изделий, не может превысить имеющихся на предприятии запасов сырья.

3.2.Условие неотрицательности переменных. Исходя из физического смысла, на переменные налагаются дополнительные условия, требующие неотрицательности их значений:

х₁  0, х₂  0 (3´)

(х₁ и х₂ будут равны нулю, если соответствующий вид изделия не выпускается).

3.3 Условие целочисленности переменных. На переменные х₁ и х₂ можно накладывать дополнительное условие целочисленности, которое “запрещает” выпуск не целых изделий:

х₁ и х₂ – целые (4´)

Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´-4´) образуют математическую модель задачи распределения неоднородных ресурсов.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем Оптимальный план, создайте таблицу, подобную таблице математической постановки задачи. Таблица отличается от таблицы 1 наличием столбца «Расход сырья». В него будут занесены левые части ограничений по запасам сырья (см. пункт 3.1) и в результате решения рассматриваемой задачи будут найдены фактические расходы сырья каждого вида. Добавьте столбец «Остаток сырья» для занесения в ячейки столбца соответствующих формул.

3. Создайте вторую таблицу, указав в ней выпускаемые изделия и переменные математической модели. В ячейках Е10:F10 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных х₁ и х₂.

4. В ячейку F12 введите формулу целевой функции, которая для решаемой задачи имеет вид = E6*E10+F6*F10. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке F12 нулевое значение, т.к. пока равны нулю значения переменные х₁ и х₂.

5. Введите формулу =E3*E10+F3*F10для ограничения по цементу в ячейку С3. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке С3 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁ и х₂. Скопируйте эту формулу, автозаполнением, в ячейки С4 и С5, предварительно заменив относительную ссылку на ячейки Е10 и F10 на абсолютную при помощи клавиши F4. При этом формула примет вид =E3*$E$10+F3*$F$10, а в ячейках С4 и С5 снова получим нулевые значения. В ячейку D3 занесите формулу вычисления остатков сырья первого вида =B3−C3 и скопируйте ее автозаполнением в ячейки D4 и D5.

6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне надстройки Поиск решения необходимо выполнить три основные установки:

6.1. Заполните поле «Установить целевую ячейку». В зависимости от решаемой задачи, можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или же установить в ней конкретное числовое значение. Для рассматриваемой задачи выполните ссылку на ячейку F12, где записана формула целевой функции.

6.2. Установите радиокнопку «Равной максимальному значению».

6.2. Выполните ссылки на изменяемые ячейки Е10 и F10, в которые помещены нулевые начальные значения искомых переменных х₁ и х₂. Изменяемые ячейки – это те ячейки, значения в которых будут подбираться так, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для Поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К ним предъявляются два основных требования: они не должны содержать формул и изменение их значений должно приводить к изменению результата в целевой ячейке, т.е. целевая ячейка должна быть зависима от изменяемых.

6.3. Введите ограничения по запасам сырья и естественные условия неотрицательности переменных х₁ и х₂, для этого:

а) щелкните по кнопке «Добавить» диалогового окна и в появившемся окне «Добавление ограничения» выполните следующие установки:

Задание таких ограничений означает, что расход сырья каждого вида на выполнение производственной программы не должен превышать его запаса на предприятии. Щелчок по кнопке ОК приводит к закрытию диалогового окна «Изменение ограничения», при этом само условие заносится в раздел «Ограничения:» диалогового окна надстройки Поиск решения.

б) ещё раз щелкните по кнопке «Добавить» диалогового окна Поиск решения и в появившемся окне «Добавление ограничения» выполните следующие установки:

Задание таких условий обеспечивает неотрицательность переменных. Щелкните по кнопке ОК – все ограничения занесены, и диалоговое окно надстройки Поиск решения примет вид:

7. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если решение найдено, то появится диалоговое окно:

щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное решение, имеющее для нашей задачи следующий вид:

Если для переменных х₁ и х₂ добавить условие целочисленности, «запрещающее» выпуск не целых изделий:

то искомое решение примет вид:

Если задать дополнительное условие об обязательной поставке изделия Плиты перекрытий в количестве не менее 3 штук:

то искомое решение примет вид:

8. Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана выпуска продукции, в соответствии с Вашим вариантом, которые представлены ниже.

10. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.

Решение задачи с помощью пакета MathCad. не позволяет задавать целочисленность переменных, а в остальном решение осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, кто выполнил и проверил.

2. Задайте запасы сырья b1, b2 и b3 и рецептуру выпускаемых изделий aij в условных единицах.

3. Задайте прибыль c1 и с2, получаемую предприятием от реализации единицы изделия каждого вида, и определите целевую функцию F(x1,x2) – суммарную прибыль предприятия.

4. Присвойте переменным х₁ и х₂ начальные нулевые значения.

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений (2´- 3´).

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Maximize.

7. Вычислите значение максимальной прибыли.

8. Найдите фактический расход и остаток каждого вида сырья после выполнения оптимального плана выпуска продукции.

9. Сделайте выводы по выполненной работе.

10. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана выпуска продукции, в соответствии с Вашим вариантом, которые представлены ниже.

11. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.

MathCad-документ решения задачи распределения неоднородных ресурсов с учетом целочисленности переменных х₁ и х₂ , представлен ниже.

MathCad-документ решения задачи распределения неоднородных ресурсов, с учетом целочисленности переменных х₁ и х₂ и с учётом обязательной поставки, представлен ниже.

Исходные данные для самостоятельного решения

Для изготовления m видов изделий И₁, И₂, ..., И_mнеобходимы ресурсы n видов: трудовые, материальные, финансовые и др. (S₁, S₂, …,Sn) Известно необходимое количество отдельного i-го ресурса для изготовления каждого j-го изделия. Назовем эту величину нормой расхода с_ij. Пусть определено количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, − b_iусл.ед. Известна прибыль p_jв рублях, получаемая предприятием от реализации каждой единицы j-го вида изделия. Требуется определить, какие изделия и в каком количестве должно изготавливать предприятие, чтобы обеспечить получение максимальной суммарной прибыли.

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	…	Иm
S1	b1	c11	c12	…	c1m
S2	b2	c21	c22	…	c2m
…	…	…	…	…	…
		cn1	cn2	…	cnm
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		p1	p2	…	pm

Требуется:

1. выполнить математическую постановку задачи линейного программирования (ЗЛП);

2. решить ЗЛП в среде электронных таблиц Excel и Mathcad.

Вариант №1.

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4	И5
S1	350	2,2	1,4	3,3	1,8	2,7
S2	300	2,2	0,9	2,1	3.5	1.5
S3	170	1,9	2,4	2,9	1.2	2,2
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		26	31	22	21	25

Вариант №2.

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4
S1	450	3,6	1,4	3,3	0,5
S2	350	2,2	0,8	2,1	3.5
S3	170	1,9	0,4	2,9	1.2
S4	200	2,2	0,9	3,1	2,1
S5	230	5,7	4,6	2,7	3,6
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		22	27	39	21

Вариант №3.

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4	И5
S1	450	3,6	1,4	3,3	2,5	2,7
S2	300	3,2	2,8	2,1	3.5	2.5
S3	470	2,9	1,4	2,9	1.2	2,2
S4	250	2,2	1,9	1,1	3,1	0,5
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		47	27	29	21	25

Вариант №4

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4
S1	450	3,6	1,4	3,3	0,5
S2	300	2,2	5,8	2,1	3.5
S3	370	4,9	0,4	2,9	3,2
S4	200	2,2	0,9	5,1	2,1
S5	430	5,7	4,6	2,7	3,6
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		22	21	19	21

Вариант №5

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4	И5
S1	350	2,6	4,4	3,3	0,5	3,7
S2	300	2,2	0,8	2,1	3.5	1.5
S3	570	3,9	0,4	2,9	1.2	2,2
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		32	21	29	21	15

Вариант №6

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4	И5
S1	250	3,6	6,4	3,3	4,5	2,7
S2	300	3,2	2,8	2,1	3.5	1.5
S3	470	1,9	4,4	2,9	1.2	2,2
S4	200	2,2	3,9	4,1	2,1	0,5
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		32	26	29	27	15

Вариант №7

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4	И5
S1	450	2,6	5,4	3,3	5,5	2,7
S2	300	2,2	0,8	2,1	3.5	5,5
S3	470	3,9	0,4	2,9	1.2	2,2
S4	300	2,2	0,9	1,1	2,1	0,5
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		32	21	39	27	15

Вариант №8

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4	И5
S1	250	3,6	1,4	3,3	3,5	2,7
S2	300	2,2	0,8	2,1	3.5	1.5
S3	470	3,9	0,4	2,9	3,2	2,2
S4	200	2,8	0,9	1,1	2,1	4,5
S5	330	5,7	4,6	2,7	3,6	3,1
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		32	21	49	29	15

Вариант №9

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4
S1	450	3,6	1,4	3,3	3,5
S2	300	2,2	2,8	2,1	3.5
S3	570	4,9	2,4	2,9	4,2
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		32	27	39	21

Вариант №10

Вид ресурса	Количество ресурса	Норма расхода на единицу каждого вида изделия
		И1	И2	И3	И4
S1	350	5,6	3,4	3,3	2,5
S2	400	2,2	5,8	2,1	3.5
S3	570	4,9	0,4	2,9	6,2
S4	200	2,2	0,9	1,1	2,1
S5	330	5,7	4,6	2,7	3,6
Прибыль от реализации единицы изделия (руб.)		26	21	39	28

Лабораторная работа № 2

Сбалансированная транспортная задача.Распределение однородных ресурсов.

Цель: овладеть навыками составления математической модели сбалансированной транспортной задачи и ее решение в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Пусть имеется n пунктов производства (хранения) А₁,А₂,…,Аn, некоторого однородного ресурса, запасы которого составляют a₁,a₂,…,an условных единиц соответственно. Кроме этого, имеется m пунктов потребления В₁,В₂,…,В_m данного ресурса с потребностями b₁,b₂,…,b_m условных единиц. Кроме этого, известна матрица перевозок С, элементы которой c_ij – затраты на перемещение единицы ресурса из A_i –пункта хранения в B_j − пункт потребления.

Требуется вывезти все ресурсы из пунктов храненияA_i, удовлетворить потребности во всех пунктах B_j, все перевозки выполнить с минимальными суммарными затратами.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Bj Ai	B1	B2	…	Bm	Запасы ai
А1 А2 … Аn	c11 c21 … cn1	c12 c22 … cn2	… … … …	c1m c2m … cnm	a1 a2 … an
Потребности bj	b1	b2	…	b3

Различают закрытую (сбалансированную) и открытую (несбалансированную) транспортную задачу. При этом, если

_,

_{то задача называется сбалансированной, в противном случае – несбалансированной.}

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель закрытой транспортной задачи. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим через x_ij количество ресурса, перемещаемого из A_i пункта хранения в B_j пункт потребления. Таким образом, элементы x_ijобразуют матрицу перевозок X n_хm.

2. Запишем целевую функцию − суммарные затраты на перевозку ресурсов, которую необходимо минимизировать

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ресурсы из всех пунктов отправления должны быть вывезены. Это ограничение можно записать в виде:

Т.е. сумма элементов каждой строки матрицы перевозок Х равна запасу ресурса в данном пункте хранения.

3.2. Необходимо удовлетворить запросы каждого потребителя в данном ресурсе. Это ограничение можно записать в виде:

3.3. Введем граничные условия, которые определяют предельно допустимые значения искомых переменных. Для нашей задачи их можно представить в виде:

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель сбалансированной транспортной задачи.

Пример выполнения

Постановка задачи. Имеется четыре песчаных карьеров, из которых песок доставляется на четыре стройки. Известны запасы сырья на каждом объекте и потребности строек в этом песке. Кроме того, известны затраты в рублях, связанные с перевозкой одного кубического метра песка с каждого карьера на каждую стройку. Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1. Данные к сбалансированной транспортной задаче.

Стройка Карьер	Стройка 1	Стройка 2	Стройка 3	Стройка 4	Запасы песка ai
Карьер 1	70	38	24	92	14
Карьер 2	58	18	56	72	20
Карьер 3	19	10	100	30	26
Карьер 4	3	36	121	8	41
Потребности в песке bj	30	22	15	34

Требуется составить план перевозки песка так, чтобы вывести весь песок из карьеров, обеспечить всех потребителей данным видом ресурса и при этом все перевозки необходимо выполнить с минимальными затратами.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Проверим задачу на сбалансированность:

Математическая модель сбалансированной транспортной задачи. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим через x_ij количество песка (м³), перемещаемого из i-го карьера на j-ю стройку. Таким образом, элементы x_ijобразуют матрицу перевозок X _4х4.

2. Запишем целевую функцию.

F(X)=70*x₁₁+38*x₁₂+24*x₁₃+92*x₁₄+58*x₂₁+18*x₂₂+56*x₂₃+72*x₂₄+19*x₃₁+

+10*x₃₂+100*x₃₃+30*x₃₄+3*x₄₁+36*x₄₂+121*x₄₃+8*x₄₄ → min (1´)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Песок из всех карьеров должен быть вывезен. Это ограничение можно записать в виде:

(2´)

3.2. Необходимо удовлетворить потребности каждой стройки в песке. Это ограничение можно записать так:

(3´)

3.3. Введем граничные условия, которые определяют предельно допустимые значения искомых переменных. Для нашей задачи их можно представить в виде:

x₁₁≥0, x₁₂≥0, x₁₃≥0, x₁₄≥0, x₂₁≥0, x₂₂≥0, x₂₃≥0, x₂₄≥0,

x₃₁≥0, x₃₂≥0, x₃₃≥0, x₃₄≥0, x₄₁≥0, x₄₂≥0, x₄₃≥0, x₄₄≥0. (4´)

Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´- 4´) образуют математическую модель сбалансированной транспортной задачи.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем Сбалансированная ТЗ, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

3. Запишите матрицу затрат на перевозки С_4х4.

4. Составьте матрицу перевозок Х_4х4 с пока нулевыми значениями x_ij.

5. Дополните матрицу перевозок двумя столбцами справа и двумя строками снизу, куда записать:

• запасы песка а_i и количество вывезенного ресурса из каждого карьера, используя встроенную функцию MS Excel – СУММ();

• потребности в песке b_j и количество доставленного песка на каждую стройку, используя встроенную функцию MS Excel – СУММ().

6. Проверить задачу на сбалансированность и записать целевую функцию F(X), используя встроенную функцию MS Excel – СУММПРОИЗВ().

7. Вызвать диалоговое окно надстройки Поиск решения и выполнить необходимые установки.

8. Сохранить и проанализировать полученное решение. Сделать выводы.

10. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана перевозки ресурса, в соответствии с Вашим вариантом, которые представлены ниже.

11. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.

Решение задачи с помощью пакета MathCadосуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, кто выполнил и проверил.

2. Определите начальные значения переменных и вектор-столбцы переменных Х и затрат на перевозку С.

3. Определите целевую функцию F(X).

4. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений и граничных условий.

5. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize и значение целевой функции.

6. Сделайте выводы по выполненной работе.

7. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана перевозок.

8. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.

Исходные данные для самостоятельного решения

Имеется n пунктов отправления (или пунктов производства, хранения) некоторого однородного ресурса A₁,A₂, ..., Аn и m пунктов назначения (или пунктов потребления) ресурса В₁, B₂,..., В_m. Количество ресурсов в i-ом пункте отправления составляет а_i(i = 1,2, ..., n), а потребность каждого j-го пункта потребления этого вида ресурсов − b_j (j = 1,2, ..., m). Известны затраты с_ij на перевозку одной единицы ресурса из каждого i-го пункта отправления в каждый j-ый пункт назначения.

Определить, какое количество ресурсов x_ij необходимо поставить (перевезти) из каждого i-го пункта отправления в каждый j-й пункт назначения, чтобы все перевозки выполнить с минимальными затратами.

Требуется:

1. выполнить математическую постановку сбалансированной транспортной задачи как задачи линейного программирования (ЗЛП);

2. решить сформулированную ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и математического пакета MathСad.

Вариант 1

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Запас ai
А1	7	3	2	9	300
А2	5	5	5	7	200
А3	2	3	3	4	250
А4	3	3	2	8	400
Потребность bj	300	300	250	300

Вариант 2

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Запас ai
А1	20	35	25	40	300
А2	15	30	15	20	500
А3	20	35	25	45	450
Потребность bj	400	200	250	400

Вариант 3

Bj Ai	В1	В2	В3	Запас ai
А1	10	15	20	350
А2	15	15	10	100
А3	20	10	15	250
А4	10	10	25	400
Потребность bj	500	500	100

Вариант 4

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Запас ai
А1	20	35	20	40	350
А2	50	30	50	20	500
А3	20	30	35	45	450
Потребность bj	400	400	200	300

Вариант 5

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Запас ai
А1	7	3	2	9	300
А2	5	5	5	7	200
А3	2	3	3	4	250
А4	3	3	2	8	400
Потребность bj	300	200	150	500

Вариант 6

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Запас ai
А1	20	35	20	30	350
А2	40	40	20	20	700
А3	20	30	45	45	450
Потребность bj	600	300	100	300

Вариант 7

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Запас ai
А1	10	15	20	20	350
А2	15	15	10	20	200
А3	20	10	15	25	250
А4	10	10	25	25	400
Потребность bj	500	500	100	100

Вариант 8

Bj Ai	В1	В2	В3	Запас ai
А1	10	15	20	350
А2	15	15	10	100
А3	20	10	15	250
А4	10	10	25	400
А5	20	10	25	400
Потребность bj	500	500	500

Вариант 9

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Запас ai
А1	20	35	25	40	300
А2	25	10	15	20	500
А3	20	25	15	45	450
Потребность bj	400	200	400	250

Вариант 10

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	В5	Запас ai
А1	7	3	2	9	5	500
А2	5	5	5	7	7	200
А3	2	3	3	4	3	250
А4	3	3	2	8	8	400
Потребность bj	300	200	300	350	200

Лабораторная работа № 3

Несбалансированная транспортная задача

Цель: овладеть навыками составления математической модели несбалансированной транспортной задачи и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т. е. выполняется условие, называется закрытой; в противном случае − открытой. Для открытой транспортной задачи возможны два случая:

а) суммарные запасы превышают суммарные потребности;

б) суммарные потребности превышают суммарные запасы.

Линейная целевая функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений, при этом открытая задача решается приведением к закрытой модели.

В случае а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель В_m+1 потребность которого составит

.

В случае б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Аn₊₁, запасы которого составляют

Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равным нулю, так как груз в обоих случаях не перемещается.

После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычным способом, представленным выше в лабораторной работе №2. При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодных поставщиков. То же самое получаем и в отношении фиктивного поставщика.

Прежде чем решать какую-нибудь транспортную задачу, необходимо сначала проверить, к какой модели она принадлежит, и только после этого составлять математическую модель для ее решения.

Таким образом, задача выполняется аналогично лабораторной работе № 2, с учётом условий описанных выше.

Примеры выполнения задания в среде ЭТ MSExcelприведёны ниже.

Пример а). Рассмотрим задачу предыдущей лабораторной работы о доставке песка на стройки, увеличив запасы сырья первого карьера а₁ на 30 м³. Таким образом, суммарные запасы песка на 30 м³ превосходят суммарные потребности в нем, которые составляют 101 м³.

Введем в рассмотрении фиктивную стройку 5, с потребностью в песке b₅=30 м³.

Диалоговое окно Поиск решения в этом случае имеет вид:

Полученное оптимальное решение представлено ниже.

Пример б). Рассмотрим предыдущую задачу, увеличив потребность первой стройки b₁ на 30 м³. Таким образом, суммарные потребности в песке на 30 м³ превосходят суммарные запасы, которые составляют 101 м³.

Введем в рассмотрение фиктивный карьер 5, с запасом песка а₅=30 м³.

Диалоговое окно Поиск решения в этом случае имеет вид:

Полученное оптимальное решение имеет вид.

Исходные данные для самостоятельного решения

Исходные данные для самостоятельного решения брать из лабораторной работы № 2 согласно своему варианту. Сформулировать две несбалансированные задачи, увеличив, сначала, запасы сырья первого пункта а₁ на 300 условных единиц, а затем, вернув первоначальное значение а₁, увеличив потребность первого пункта потребления b₁ на 300 условных единиц.

Требуется: 1) выполнить математическую постановку двух несбалансированных транспортных задач;

2) решить обе открытые транспортные задачи в среде электронных таблиц MS Excel и математического пакета MathCad.

Лабораторная работа № 4

Задача о смесях. Составление смеси бензина с заданными показателями качества.

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи о смесях и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д.

Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план решение следующей задачи: требуетсяполучить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Компоненты, входящие в состав материалов	Виды исходных материалов						Необходимое количество компонентов в смеси
	1	2	…	j	…	m
1	a11	a12	…	a1j	…	a1m	b1
2	a21	a22	…	a2j	…	a2m	b2
…	…	…	…	…	…	…	…
i	ai1	ai2	…	aij	…	aim	bi
…	…	…	…	…	…	…	…
	an1	an2	…	anj	…	anm
Цена единицы материала	c1	c2	…	cj	…	cm

Коэффициенты a_ij показывают удельный вес i-го компонента в единице j-го материала.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о смесях. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим через x_j количество материала j-го вида, входящего в смесь.

2. Запишем целевую функцию, удельную стоимость полученной смеси, которая имеет вид:

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничения по минимально необходимому содержанию i-й компоненты в готовой смеси:

где b_i − минимально необходимое содержание i-й компоненты в готовой смеси.

3.2. Кроме того, на переменные x_j накладываются условия неотрицательности:

x_j ≥ 0, j= 1,…m, (3)

где равенство нулю означает, что данный компонент не входит в смесь.

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-3) образуют математическую модель задачи о смесях.

Пример выполнения

Постановка задачи. Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем − не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице 1:

Таблица 1. Данные к задаче о смеси бензина

Характеристики бензина	Компоненты автомобильного бензина
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	68	72	80	90
Содержание серы, %	0,35	0,35	0,30	0,20
Запасы ресурса, т	700	600	500	300
Себестоимость, ден.ед./т	40	45	60	90

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о смесях. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Введем следующие обозначения: пусть х_j − количество в смеси компонента с номером j (j = 1,2,3,4).

2. Запишем целевую функцию.

В качестве целевой функции выступает себестоимость полученной смеси, которую необходимо минимизировать:

F(X) = 1/1000*(40*x₁ + 45*x₂ + 60*x₃ + 90*x₄ ) → min. (1´)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. По количеству получаемого бензина:

x₁ + x₂ + x₃ + х₄ = 1000 . (2´)

3.2. По октановому числу:

(68*х1+72*х2+80*х3+90*х4)/1000≥76 . (3´)

3.3. По содержанию серы:

(0,35*х1+0,35*х2+0,3*х3+0,2*х4)/1000≤0,03 . (4´)

3.4. Условие неотрицательности рассматриваемых переменных:

х1, х2, х3, х4 ≥ 0 . (5´)

Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´- 5´) образуют математическую модель задачи о смеси бензина.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем 1000 тонн, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

3. Создайте вторую таблицу, указав в ней Количество компонентов в смеси с пока нулевыми значениями

4. В ячейку С13 введите формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке С12 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁, х_2, х₃ и х₄.

5. Далее наберите таблицы ограничений и остатков ресурса.

6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне надстройки Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

7. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если решение найдено, то появится диалоговое окно.

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное оптимальное решение, имеющее следующий вид:

8. Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Решение задачи с помощью математического пакета MathCadосуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным xj начальные (нулевые) значения.

4. Определите целевую функцию F(x1,х2,х3,х4).

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений рассматриваемой задачи.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize.

7. Вычислите значение минимальной себестоимости.

8. Найдите остаток каждого компонента после выполнения заданного плана выпуска бензина.

9. Сделайте выводы по выполненной работе.

10. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Исходные данные для самостоятельного решения

Требуется:

1. выполнить математическую постановку задачи составления смеси бензина как задачи линейного программирования (ЗЛП);

2. решить ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и математического пакета MathCad.

Вариант №1

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина				Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	67	75	82	94	≥ 76
Содержание свинца, г/л	0,0122	0,011	0,009	0,008	≤ 0,013
Содержание серы, %	0,07	0,06	0,05	0,045	≤0,06
Ресурсы, тонн	200	300	400	400	Необходимое кол-во бензина 800 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10,5	11	12	14

Вариант №2

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина				Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	67	75	82	94	≥ 76
Содержание свинца, г/л	0,013	0,012	0,011	0,009	≤ 0,011
Содержание серы, %	0,08	0,06	0,05	0,04	≤0,05
Ресурсы, тонн	300	200	100	300	Необходимое кол-во бензина 700 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10	11,5	12	14,5

Вариант №3

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина				Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	65	75	8	95	≥ 76
Содержание свинца, г/л	0,011	0,010	0,009	0,009	≤ 0,011
Содержание серы, %	0,07	0,06	0,04	0,03	≤0,05
Ресурсы, тонн	700	200	800	300	Необходимое кол-во бензина 1200 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	9	11	12,8	14,5

Вариант №4

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина			Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3
Октановое число	67	75	82	≥ 76
Содержание свинца, г/л	0,013	0,012	0,011	≤ 0,0125
Содержание серы, %	0,08	0,06	0,05	≤0,06
Ресурсы, тонн	300	200	400	Необходимое кол-во бензина 800 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10,5	11,5	13

Вариант №5

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина				Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	90	95	80	97	≥ 82
Содержание свинца, г/л	0,014	0,012	0,015	0,007	≤ 0,011
Содержание серы, %	0,06	0,05	0,065	0,03	≤0,04
Ресурсы, тонн	300	200	400	500	Необходимое кол-во бензина 1000 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10	11,5	12	14,5

Вариант №6

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина				Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	66	75	82	94	≥ 76
Содержание свинца, г/л	0,014	0,012	0,010	0,009	≤ 0,013
Содержание серы, %	0,08	0,065	0,05	0,04	≤0,06
Ресурсы, тонн	300	200	200	700	Необходимое кол-во бензина 900 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10,9	11	12,5	14,5

Вариант №7

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина			Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3
Октановое число	80	90	98	≥ 92
Содержание свинца, г/л	0,014	0,012	0,009	≤ 0,013
Содержание серы, %	0,06	0,055	0,042	≤0,05
Ресурсы, тонн	300	400	500	Необходимое кол-во бензина 1000 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10,3	11,5	14,9

Вариант №8

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина				Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	70	75	80	95	≥ 76
Содержание свинца, г/л	0,012	0,0125	0,011	0,009	≤ 0,012
Содержание серы, %	0,08	0,06	0,05	0,035	≤0,06
Ресурсы, тонн	300	200	100	300	Необходимое кол-во бензина 1000 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10,5	11,5	15,2	18,5

Вариант №9

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина				Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	66	75	80	95	≥ 76
Содержание свинца, г/л	0,014	0,0125	0,011	0,009	≤ 0,013
Содержание серы, %	0,08	0,06	0,05	0,04	≤0,06
Ресурсы, тонн	300	900	800	500	Необходимое кол-во бензина 1500 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10,3	12	15,2	20

Вариант №10

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина			Кол-во получаемого бензина и его показатели качества
	№1	№2	№3
Октановое число	67	85	96	≥ 92
Содержание свинца, г/л	0,013	0,012	0,011	≤ 0,012
Содержание серы, %	0,07	0,05	0,04	≤0,05
Ресурсы, тонн	300	500	900	Необходимое кол-во бензина 1100 тонн
Себестоимость, тыс.руб./тонна	10,9	11,5	20

Лабораторная работа № 5

Задача о диете. Составление оптимального рациона кормления.

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи о диете и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Диета – это специально подобранный по количеству, химическому составу, энергетической ценности (калорийности) и способу кулинарной обработки рацион, а также режим питания. В основу диетического питания положены современные, научно обоснованные физиологические нормы питания. В соответствии с ними питание здорового и больного человека в первую очередь призвано удовлетворить его физиологические потребности в пищевых веществах и энергии. Основные питательные вещества (белки, жиры, углеводы), а также иные незаменимые компоненты (витамины, макро- и микроэлементы) должны поступать в организм в оптимальном количестве в соответствии с потребностями конкретного человека. Физиологически обоснованные потребности зависят от большого числа факторов: возраста, пола, средней телесной массы, интенсивности физического труда, состояния здоровья и т.д., причем все эти факторы необходимо учитывать при составлении диеты. Многообразие продуктов питания еще более усложняет задачу, делая ее практически неразрешимой без применения математических методов, современных программных средств и ЭВМ.

Пусть имеются m видов продуктов Р₁,Р₂,...,Р_m, содержащих питательные вещества и незаменимые компоненты В₁,В₂,…,Вn. В 100 граммах продукта Р_j содержится известное a_ij количество питательного вещества или незаменимого компонента В_i. Кроме того известны: b_i – ежесуточная минимальная потребность организма в веществах В_i (i=1,2,…,n), s_j и е_j – стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм продукта Р_j (j=1,2,…,m).

Требуется рассчитать суточную диету, т.е. количество каждого продукта Р_j, чтобы, с одной стороны, обеспечить минимально необходимое количество питательных веществ и незаменимых компонент, а с другой − минимизировать стоимость разработанной диеты. При этом необходимо подсчитать энергетическую ценность полученной диеты.

Задачу можно сформулировать иначе. Разработать диету с заданной калорийностью К_{заданное} и подсчитать ее стоимость.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Питательные вещества	Min потребность	Содержание питательных веществ в 100 граммах продукта
		Р1	Р2	. . .	Pm
B1	b1	a11	a12	. . .	a1m
B2	b2	a21	a22	. . .	a2m
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		an1	an2	. . .	anm
Стоимость 100 г продукта		s1	s2	. . .	sm
Энергетическая ценность 100 г продукта		e1	e2	. . .	em

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о диете. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − неизвестное пока количество (грамм) продуктаP_j, входящего в диету (j = 1,...,m).

2. Запишем целевую функцию. Так как задача имеет две формулировки, то и целевых функций будет две:

Fs(х₁,х₂,…,x_j,…,х_m) = 1/100*(s₁∙x₁ + s₂∙x₂ + …+ s_j∙x_j + … + s_m∙x_m) =

Fe(х₁,х₂,…,x_j,…,х_m) =1/100*( e₁∙ x₁ + e₂ ∙ x₂ + …+ e_j∙x_j + … + e_m∙x_m) = ₍₁₎

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

Общее количество потребленных питательных веществ и незаменимых компонент в диете должно быть не меньше ежесуточных физиологически обоснованных потребностей b_i, т. е. можно записать следующую систему неравенств:

(2)

В систему ограничений добавлены условия, которые не позволяют переменным х_j принимать значения меньше некоторых заданных количеств продукта Р_j.

Таким образом, целевая функция (1) и система ограничений (2) образуют математическую модель задачи о диете.

Пример выполнения

Постановка задачи. Пусть имеются 8 видов продуктов содержащих 9 питательных веществ и незаменимых компонент. В 100 граммах продукта содержится известное a_ij количество питательного вещества или незаменимого компонента В_i. Кроме того, известны: b_i – ежесуточная минимальная потребность организма в веществах В_i (i=1,2,…,9), s_j и е_j – стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм продукта Р_j (j=1,2,…,8).

Все указанные величины представлены в табл. 1.

Таблица 1. Данные к задаче о диете

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,6	0,5	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	95	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	330	34,2	0,8	2,8	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,1	0	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,6	10	7	1,6	13	11	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	239	335	491	170	45	34

Требуется рассчитать суточную диету так, чтобы обеспечить необходимое количество питательных веществ и незаменимых компонент при минимальных затратах на продукты.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о диете. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − неизвестное пока количество (грамм) продуктаP_j, входящего в диету (j = 1,...,8).

1. Запишем целевую функцию.

Fs(X) = 1/100*(s₁∙x₁ + s₂∙x₂ + s₃∙x₃ + s₄∙x₄ + s₅∙x₅ + s₆∙x₆ + s₇∙x₇ + s₈∙x_{8 ) (1)}

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. По минимальным потребностям организма. Это ограничение можно записать в виде:

 

(2)

 

3.2. Условие неотрицательности.

x_j ≥ 0, (3)

где равенство нулю означает, что продукт B_j в диету не включен.

3.3. Кроме того, заданы ограничения на max и min количество данного продукта.

x_j^min ≤ x_j ≤ x_j^max(4)

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель задачи о диете.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем Минимальная стоимость, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

3. Создайте вторую таблицу, указав в ней продукты диеты и переменные математической модели. В ячейках D17:K17 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных х₁,х₂,…, х₈.

4. В ячейку D19 введите формулу целевой функции. Завершите ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке D19 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁,х₂,…, х₈.

5. В ячейку C21 записать функцию для вычисления энергетической ценности диеты. Ниже создать таблицу − Ограничения на max и min количество каждого продукта.

6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

7. Щелкните по кнопке Выполнить. Если решение найдено, то появится диалоговое окно:

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное решение, имеющее следующий вид:

8. Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Решение задачи с помощью пакета MathCadосуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным начальные нулевые значения.

4. Определите целевую функцию – суммарную прибыль предприятия.

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize.

7. Вычислите минимальное значение и энергетическую ценность.

8. Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Исходные данные для самостоятельного решения

Пусть имеются n видов продуктов Р₁,Р₂,...,Рn, содержащих питательные вещества и незаменимые компоненты В₁,В₂,…,В_m. В 100 граммах продукта Р_j содержится известное a_ij количество питательного вещества или незаменимого компонента В_i. Кроме того, известны: b_i – ежесуточная минимальная потребность организма в веществах В_i (i=1,2,…,m), s_j и е_j – стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм продукта Р_j (j=1,2,…,n).

Требуется:

1.выполнить математическую постановку задачи линейного программирования (ЗЛП);

2.решить ЗЛП в среде электронных таблиц Excel и Mathcad.

Вариант № 1:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,6	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	95	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	330	34,2	0,8	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,1	0,3	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,7	11	8	1,8	15	12	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	245	335	485	170	43	34

Вариант № 2:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	94	6,6	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	100	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	320	34,2	0,8	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00015	0	0,54	0,1	0,3	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,006	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0015	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0014	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,017	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,6	10	6	1,8	15	15	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	225	335	485	160	43	34

Вариант № 3:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,6	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	95	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	330	34,2	0,8	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,1	0,3	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,08	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,2	0,3	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0,1	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,7	25	8	1,8	16	12	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	800	245	330	485	170	43	34

Вариант № 4:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	96	6,6	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	95	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	300	34,2	0,8	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,1	0,3	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,006	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,02	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		2,5	16	8	2	21	12	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	245	335	485	172	54	34

Вариант № 5:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,6	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	80	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	250	34,2	0,8	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00019	0	0,54	0,1	0,3	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		6	37	6,9	1	15	12	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	245	337	335	200	43	34

Вариант № 6:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,7	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	95	1,2	85	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	330	34,2	0,8	3	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,1	0,4	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,9	11	9	1,8	15	12	4	5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	245	335	405	100	43	34

Вариант № 7:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,6	1	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	55	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	330	34,2	0,9	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,2	0,3	0,1	0	0,1	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,07	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,06	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,4	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		2,9	21	10	3,8	12	17	8	3,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	245	335	485	170	43	34

Вариант № 8:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	80	6,6	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	85	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	230	34,2	0,8	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00027	0	0,54	0,1	0,3	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0069	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0033	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0027	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,038	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,1	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,7	11	8	1,8	15	12	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		281	750	257	335	485	170	43	34

Вариант № 9:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,6	0,6	14	12,6	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	95	1,2	82,5	18	3,3	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	331	34,2	0,8	2,9	62,1	0	0	9,8	7,2
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,1	0,3	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,06	0,01	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,43	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,2	0,1	0,13	0,02	0,07
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,19	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,7	27	35	1,8	26	12	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	245	335	224	170	43	65

Вариант № 10:

Питательные вещества, г	Мин. суточная потребность, г	Содержание питательных веществ в 100 г продукта
		Хлеб ржаной	Масло	Творог жирный	Крупа гречневая	Мясо свинное	Колбаса вареная	Яблоки	Морковь
Белки, г	90	6,6	0,7	14	13	14,3	12,1	0,4	1,3
Жиры, г	95	1,2	82,6	18	3,4	33,3	13,5	0,4	0,1
Углеводы, г	330	34,2	0,9	2,9	62,2	0	0	10	7,5
Ретинол (вит А)	0,00017	0	0,54	0,1	0,4	0	0	0	0
Каротин (вит А)	0,0059	0	0,38	0,06	0,02	0	0	0,03	9
В1, мг	0,0013	0,18	0	0,05	0,44	0,4	0,06	0,03	0,06
В2, мг	0,0017	0,08	0,1	0,3	0,3	0,1	0,13	0,02	0,08
РР, мг	0,018	0,67	0,05	0,3	4,2	2,2	0	0,3	1
С,мг	0,08	0	0	0,3	0,2	0	0	165	5
Стоимость 100 г продукта (руб.)		1,7	11	8	1,8	15	12	3	2,5
Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.)		181	748	245	335	485	170	43	34

Лабораторная работа № 6

Формирование оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Под инвестиционным портфелем понимается совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу и выступающий как целостный объект управления. Основная проблема при формировании портфеля заключается в распределении инвестором, имеющейся суммы денег по различным альтернативным вложениям так, чтобы наилучшим образом достичь поставленной цели.

Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал К в следующем инвестиционном периоде ценные бумаги N видов.

Требуется определить соответствующие доли вложений приразличной политике формирования инвестиционного портфеля.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Таблица 1

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	K	20%	45%	35%

Таблица 2

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	cj(t)	cj(t)	cj(t)	cj(t)		cj(t)	cj(t)
2	…	…	…	…		…	…
3	…	…	…	…		…	…
4	…	…	…	…		…	…
5	cj(t)	cj(t)	cj(t)	cj(t)		cj(t)	cj(t)

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − величина капитала, вкладываемая в ценные бумаги j- вида, где j=(1,2,…,N).

2. Запишем целевую функцию – средний или ожидаемый доход E(х) портфеля ценных бумаг.

(1)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Сумма всех инвестиций равна К:

3.2. Неотрицательность переменных:

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-3) образуют математическую модель формирования оптимального пакета ценных бумаг.

Существуют различные модели решения задачи:

• Модель 1. Максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций. Математическая модель имеет вид:

• Модель 2. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.

Различные виды ценных бумаг можно отнести к различным группам инвестиционного риска. Например: 1-я группа − низкий риск; 2-я группа − средний риск; 3-я группа − высокий риск.

К группе 1 могут быть отнесены обычные облигации, текущие банковские счета, банковские депозитные сертификаты и др. Такие «безопасные» с точки зрения риска инвестиции дают, однако, небольшой доход. К группе 2 могут быть отнесены обычные акции. Доход от таких ценных бумаг выше, но он подвержен значительным колебаниям, что увеличивает риск. К группе 3 могут быть отнесены различные «спекулятивные акции». Курс таких ценных бумаг имеет тенденцию к сильным колебаниям, что увеличивает риск, но ожидаемый доход от них может быть достаточно высок.

Политика фирмы состоит в том, что фирма выделяет из общей суммы наличного капитала определенные доли средств на вложения в бумаги различных групп.

Так, правления многих инвестиционных фирм считают необходимым вкладывать определенную часть капитала в бумаги с низким риском. С другой стороны, большинство инвестиционных фирм ограничивают размеры вложений в обычные и тем более «спекулятивные» акции, так как доход от них подвержен значительным колебаниям. Такие ограничения записываются следующим образом:

где J₁, J₂, J₃− соответственно множества индексов бумаг 1-й, 2-й и 3-й групп;

b₁, b₂, b₃− соответственно максимальные доли вложений в бумаги 1-й, 2-й и 3-й групп.

Целевая функция, как и в модели 1, имеет вид

Данные модели являются моделями ЛП. Оптимальное решение x^*= {x^*_j }, j =1,2,…,N, E^*=E(x^*) может быть найдено с помощью ЭТ Excel.

Исходные данные для составления моделей и расчетов помещены в табл. 1 и 2. Всего рассматривается 6 видов ценных бумаг, т.е. N=6. Предполагается, что к 1-й группе инвестиционного риска относятся бумаги 1-го и 2-го видов, т.е. J₁={1,2}, ко 2-й группе − бумаги 3-го и 4-го видов, т.е. J₂={3,4}, к 3-й группе − бумаги 5-го и 6-го видов, т.е. J₃={5,6}.

Следует иметь в виду, что данные о доходности ценных бумаг, приведенные в табл. 2, − гипотетические, т.е. не соответствуют реальным ценным бумагам, хотя и отражают характер «поведения бумаг» соответствующего типа. Величины b_i, i=1,2,3 указаны в процентах от наличного капитала K.

Пример выполнения

Постановка задачи. Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал К в следующем инвестиционном периоде ценные бумаги N видов.

Требуется определить соответствующие доли вложений приразличной политике формирования инвестиционного портфеля.

Таблица 1

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	20%	45%	35%

Таблица 2

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,05	0,13	0,1	0,4		1,0	0,5
2	0,08	0,09	-0,2	0,8		-2,0	2,5
3	0,07	0,15	0,0	-0,1		0,0	-1,5
4	0,14	0,11	0,9	0,3		3,0	1,5
5	0,10	0,10	0,3	0,9		-1,0	2,5

Требуется определить соответствующие доли вложений приразличной политике формирования инвестиционного портфеля.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − величина капитала, вкладываемая в ценные бумаги j- вида, где j=(1,2,…,N).

2. Запишем целевую функцию – средний или ожидаемый доход E(х) портфеля ценных бумаг.

(1)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Сумма всех инвестиций равна К:

. (2)

3.2. Неотрицательность переменных:

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-3) образуют математическую модель формирования оптимального пакета ценных бумаг.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем Модель 1, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

3. Создайте вторую таблицу, указав в ней переменные математической модели. В ячейках C13:H13 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных х₁,х₂,…, х₆.

4. В ячейку F18 введите формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке F18 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁,х₂,…, х₆.

5. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

6. Щелкните по кнопке Выполнить. Если решение найдено, то появится диалоговое окно:

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное решение, имеющее следующий вид:

7. Сделайте выводы по выполненной работе.

8. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Excel-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Осторожная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

Диалоговое окно Поиск решения имеет вид.

Оптимальное решение имеет вид.

Excel-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Консервативная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.» представлен ниже.

Excel-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 3. Спекулятивная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.» представлен ниже.

Решение задачи с помощью пакета MathCad осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, цель выполнения работы, кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным начальные нулевые значения.

4. Определите целевую функцию.

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Maximize.

7. Вычислите значение ожидаемого дохода.

8. Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Консервативная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Консервативная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 3. Спекулятивная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

Исходные данные для самостоятельной работы

Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал К в следующем инвестиционном периоде ценные бумаги N видов. Требуется определить соответствующие доли вложений при различной политике формирования инвестиционного портфеля.

Требуется:

1.Выполнить математическую постановку задачи линейного программирования (ЗЛП);

2.Решить ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и математического MathCad.

Вариант № 1

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	25%	40%	35%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,2	0,5		1,1	0,6
2	0,07	0,1	-0,3	0,9		-2,2	2,6
3	0,08	0,16	0,1	-0,2		0,1	-1,8
4	0,15	0,12	0,1	0,4		4,0	1,3
5	0,11	0,11	0,4	0,1		-2,0	3,5

Вариант № 2

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	15%	40%	45%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,07	0,15	0,3	0,5		1,1	0,6
2	0,08	0,3	-0,4	1		-2,2	2,6
3	0,09	0,26	0,2	-0,3		0,1	-1,8
4	0,17	0,23	0,2	0,4		4,0	1,3
5	0,12	0,12	0,3	0,2		-2,0	3,5

Вариант № 3

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	10%	50%	40%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,07	0,15	0,2	0,5		1,2	0,7
2	0,08	0,2	-0,3	0,9		-2,3	2,6
3	0,09	0,17	0,1	-0,2		0,2	-1,9
4	0,16	0,13	0,1	0,4		4,1	1,3
5	0,12	0,12	0,4	0,1		-2,1	3,5

Вариант № 4

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	20%	45%	35%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,3	0,6		1,1	0,7
2	0,07	0,1	-0,4	0,4		-2,2	2,6
3	0,08	0,16	0,2	-0,3		0,1	-1,9
4	0,15	0,12	0,5	0,5		3,9	1,3
5	0,11	0,11	0,7	0,2		-2,1	3,6

Вариант № 5

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	25%	30%	45%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,2	0,5		1,1	0,6
2	0,07	0,1	-0,3	0,9		-2,2	2,6
3	0,08	0,16	0,1	-0,2		0,1	-1,8
4	0,15	0,12	0,1	0,4		4,0	1,3
5	0,11	0,11	0,4	0,1		-2,0	3,5

Вариант № 6

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	25%	40%	35%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,2	0,6		1,1	0,6
2	0,1	0,4	-0,4	0,1		-2,2	2,6
3	0,2	0,16	0,2	-0,3		0,1	-1,8
4	0,15	0,13	0,2	0,4		4,0	1,5
5	0,15	0,12	0,5	0,1		-2,0	4

Вариант № 7

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	10%	55%	35%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,2	0,5		1,1	0,6
2	0,07	0,1	-0,3	0,9		-2,2	2,6
3	0,08	0,16	0,1	-0,2		0,1	-1,8
4	0,15	0,12	0,1	0,4		4,0	1,3
5	0,11	0,11	0,4	0,1		-2,0	3,5

Вариант № 8

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	30%	35%	35%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,2	0,6		1,1	0,6
2	0,07	-0,1	0,3	0,9		-2,2	2,6
3	0,08	0,16	0,1	-0,2		0,1	1,8
4	0,15	0,12	0,1	-0,4		4,0	1,3
5	0,11	0,11	0,4	0,1		-2,0	-3,5

Вариант № 9

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	20%	30%	50%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,2	0,5		1,1	0,6
2	0,07	0,1	-0,3	0,9		-2,2	2,6
3	0,08	0,16	0,1	-0,2		0,1	-1,8
4	0,15	0,12	0,1	0,4		4,0	1,3
5	0,11	0,11	0,4	0,1		-2,0	3,5

Вариант № 10

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	20%	25%	55%

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	0,06	0,14	0,2	0,6		1,1	0,6
2	0,07	0,1	-0,4	0,9		-2,2	2,7
3	0,07	0,17	0,1	-0,3		0,1	-1,8
4	0,16	0,13	0,3	0,5		4,2	1,4
5	0,10	0,12	0,2	0,2		-2,0	3,5

Лабораторная работа № 7

Использование мощностей оборудования

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи использования мощностей оборудования и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Предприятие имеет n моделей машин М₁,М₂,…, Мn различных мощностей. На этих машинах предприятие выпускает m видов продукции П₁, П₂,…, П_m. Известны производительность каждой i-ой машины по выпуску j- го вида продукции b_ij и стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машиной на выпуск одного изделия j- го вида продукции − c_ij.

Задан план по времени и номенклатуре: T − время работы каждой машины, при этом, продукции j- го вида должно быть выпущено не менее N_j единиц.

Требуется составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Машины	Производительность i-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	…	Пm
М1	b11	b12	b13	…	bim
М2	…	…	…	…	…
…	…	….	…	…	…
Мn	bn1	bn2	bn3	…	bnm
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	N1	N2	N3	…	Nm

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	…	Пm
М1	c11	c12	c13	…	c1m
М2	c21	c22	c23	…	c2m
…	…	…	…	…	…
Мn	cn1	cn2	cn3	…	cnm

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи использования мощностей оборудования. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим х_ij − время работы i- ой машины (i=1,2,..,n) по выпуску j- го вида продукции (j=1,2,…,m), обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин Т и заданному количеству продукции j-го вида N_j.

2. Запишем целевую функцию F(X) − затраты на производство, которую необходимо минимизировать.

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничение по времени работы каждой машины.

По условию задачи машины работают заданное время T, поэтому данное ограничение можно представить в следующем виде

3.2. Ограничение по заданному количеству продукции имеет вид

3.3. Условие неотрицательности переменных.

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель задачи использования мощностей оборудования.

Пример выполнения

Постановка задачи. Предприятие имеет n моделей машин М₁, М₂, …, Мn различных мощностей. На этих машинах предприятие выпускает m видов продукции П₁, П₂,…, П_m. Известны производительность каждой i-ой машины по выпуску j- го вида продукции b_ij и стоимость единицы времени, затрачиваемого i-й машиной на выпуск одного изделия j- го вида продукции − c_ij. Задан план по времени и номенклатуре: T − время работы каждой машины, при этом, продукции j- го вида должно быть выпущено не менее N_j единиц.

Требуется составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство. Числовые данные приведены в следующих таблицах.

Таблица 1.Данные для задачи использования мощностей

Машины	Производительность i-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,28	0,46	0,12	0,51
М2	0,32	0,38	0,16	0,43
М3	0,25	0,42	0,09	0,46
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	350	300	60	100

Таблица 2.Данные для задачи использования мощностей

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,21	0,22	0,41	0,32
М2	0,18	0,19	0,35	0,29
М3	0,37	0,25	0,48	0,51

Все машины работают заданное время Т=1000 временных единиц.

Математическая модель задачи использования мощностей оборудования. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество:

Обозначим х_ij − время работы i- ой машины (i=1,2,3) по выпуску j- го вида продукции (j=1,2,3,4), обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин и заданному количеству продукции .

2. Определим целевую функцию F(X) − затраты на производство, которую необходимо минимизировать.

3. Запишем ограничения нашей задачи:

3.1. Ограничение по времени работы каждой машины.

По условию задачи машины работают заданное время , поэтому данное ограничение можно представить в следующем виде

3.2. Ограничение по заданному количеству продукции имеет вид

3.3. Условие не отрицательности переменных.

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель задачи использования мощностей оборудования.

В данной постановке задачи предполагается, что количество выпускаемой продукции должно быть, по крайней мере, не менее . В некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре; очевидно в этом случае в ограничениях по количеству продукции необходимо использовать знак равенства.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем Задача, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

3. Создайте ещё одну таблицу, указав в ней переменные математической модели. В ячейках В21:Е23 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных.

4. В ячейку Е25 введите формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке Е25 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные.

5. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

6. Щелкните по кнопке Выполнить. Если решение найдено, то появится диалоговое окно:

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное оптимальное решение, имеющее следующий вид:

7. Сделайте выводы по выполненной работе.

8. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Решение задачи с помощью математического пакета MathCad осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, цель выполнения работы, кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным начальные нулевые значения.

4. Определите целевую функцию.

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize.

7. Вычислите значение целевой функции.

8. Сформируйте матрицу загрузки оборудования Х.

9. Сделайте выводы по выполненной работе.

10. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Исходные данные для самостоятельного решения

Требуется:

1. Выполнить математическую постановку задачи загрузки оборудования как задачи линейного программирования (ЗЛП);

2. Решить ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и математического пакета Mathcad.

Вариант №1

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,22	0,55	0,42	0,78
М2	0,32	0,38	0,17	0,43
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	550	100	260	100

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,25	0,32	0,47	0,42
М2	0,58	0,10	0,38	0,29

Все машины работают заданное время Т=1000 временных единиц.

Вариант №2

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,78	0,44	0,12
М2	0,42	0,48	0,36
М3	0,25	0,42	0,29
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	500	250	260

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,24	0,26	0,40
М2	0,28	0,49	0,15
М3	0,31	0,27	0,38

Все машины работают заданное время Т=1300 временных единиц.

Вариант №3

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,48	0,45	0,12
М2	0,47	0,78	0,35
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	800	750	160

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,25	0,27	0,47
М2	0,14	0,47	0,15

Все машины работают заданное время Т=1500 временных единиц.

Вариант №4

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,58	025	0,20	0,55
М2	0,42	0,31	0,16	0,43
М3	0,25	0,42	0,19	0,45
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	1350	1300	160	1100

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,22	0,23	0,44	0,32
М2	0,11	0,19	0,35	0,19
М3	0,32	0,22	0,28	0,51

Все машины работают заданное время Т=2900 временных единиц.

Вариант №5

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,48	0,25	0,20	0,56
М2	0,41	0,34	0,16	0,43
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	350	300	460	500

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,22	0,27	0,44	0,38
М2	0,17	0,19	0,38	0,19

Все машины работают заданное время Т=1900 временных единиц.

Вариант №6

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,32	0,15	0,27
М2	0,42	0,35	0,16
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	450	350	250

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,20	0,37	0,44
М2	0,18	0,25	0,29

Все машины работают заданное время Т=1350 временных единиц.

Вариант №7

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,38	0,35	0,27	0,56
М2	0,44	0,34	0,20	0,43
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	550	400	260	500

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,12	0,24	0,44	0,34
М2	0,25	0,19	0,23	0,19

Все машины работают заданное время Т=1800 временных единиц.

Вариант №8

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,22	0,17	0,24
М2	0,45	0,34	0,18
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	350	450	550

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,14	0,37	0,34
М2	0,41	0,27	0,19

Все машины работают заданное время Т=1450 временных единиц.

Вариант №9

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,25	0,45	0,40	0,78
М2	0,32	0,37	0,17	0,43
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	350	300	250	400

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3	П4
М1	0,35	0,33	0,47	0,42
М2	0,54	0,17	0,34	0,25

Все машины работают заданное время Т=1200 временных единиц.

Вариант №10

Машины	Производительностьi-ой машины при производстве j-го вида продукции. Матрица В с элементами bij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,48	0,40	0,22
М2	0,46	0,48	0,37
М3	0,24	0,41	0,29
Минимальный объем выпуска j-го вида продукции, Nj.	540	550	460

Машины	Стоимость единицы времени, затрачиваемого i-ой машины на выпуск j-го вида продукции. Матрица С с элементами сij.
	Виды продукции:
	П1	П2	П3
М1	0,34	0,16	0,44
М2	0,24	0,19	0,15
М3	0,37	0,47	0,28

Все машины работают заданное время Т=1350 временных единиц.

Лабораторная работа № 8

Задача закрепления земельных участков за сельскохозяйственными культурами

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи закрепления земельных участков за с/х культурами и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Имеется n земельных участков площадью S₁,S₂,…,Sn . На этих участках может быть выращено m сельскохозяйственныx культур. Известны величины u_ij – урожайность (ц/га) на i-ом участке j-той с/х культуры и c_ij – себестоимость (т.руб./га) возделывания на i-ом участке j-той с/х культуры. Кроме этого, известны величины р_j – план поставки j-той с/х культуры (центнеров).

Требуется найти оптимальное распределение m с/х культур по n земельным участкам таким образом, чтобы при условии исполнения заданных объемов поставки общие затраты на выращивание были бы минимальны.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Себестоимость возделывания (тыс.руб/га) с/х культур и ресурсы

	Культура 1	Культура 2	…	Культура m	S участка
Участок 1	c11	c12	…	c1m	S1
Участок 2	c21	c22	…	c2m	S2
…	…	…	…	…	…
Участок n	cn1	cn2	…	cnm
План поставки	p1	p2	…	pm

Урожайность с/х культур

	Культура 1	Культура 2	…	Культура m
Участок 1	u11	u12	…	u1m
Участок 2	u21	u22	…	u2m
…	…	…	…	…
Участок n	un1	un2	…	unm

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи закрепления земельных участков за сельскохозяйственными культурами. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_ij– площадь земли (га) на i-ом участке, отведенных под j-ю с/х культуру (i=1,2,…,n, j=1,2,…,m).

2. Запишем целевую функцию − суммарную себестоимость возделывания с/х культур, которую необходимо минимизировать:

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничение заданных объёмов поставки.

с/х культура № 1: u₁₁*x₁₁+u₂₁*x₂₁+…+un₁*xn₁ ≥ p₁

c/х культура № 2: u₁₂*x₁₂+u₂₂*x₂₂+…+un₂*xn₂ ≥ p₂ (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c/х культура № m: u_1m*x_1m+u_2m*x_2m+…+u_nm*x_nm ≥ p_m

3.2. Ограничения по площади каждого участка:

Участок 1: x₁₁+x₁₂+x₁₃+…+x_1m ≤ S₁

Участок 2: x₂₁+x₂₂+x₂₃+…+x_2m ≤ S₂ (3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Участок n: xn₁+xn₂+xn₃+…+x_nm ≤ Sn

3.3. Неотрицательность переменных:

x_ij≥ 0 . (4)

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель задачи закрепления земельных участков за сельскохозяйственными культурами.

Пример выполнения

Постановка задачи. Имеется три участка земли площадью 30, 50 и 20 га соответственно. На этих участках могут быть выращены четыре сельскохозяйственные культуры. Известны величины u_ij – урожайность (ц/га) на i-ом участке j-той с/х культуры и c_ij – себестоимость (т.руб./га) возделывания на i-ом участке j-той с/х культуры. Кроме этого, известны величины р_j – план поставки j-той с/х культуры (центнеров).

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Площадь (га)
Участок 1	2	2,5	3	3	30
Участок 2	2,5	3	3,2	0,5	50
Участок 3	1,8	2	2,5	1,1	20
План (ц)	500	200	400	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4
Участок 1	12	16	16	25
Участок 2	10	12	20	15
Участок 3	15	16	24	23

Требуется найти оптимальное распределение 4-х с/х культур по 3-м земельным участкам, чтобы при условии исполнения заданных объемов поставки общие затраты на производство были бы минимальны.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи закрепления земельных участков за сельскохозяйственными культурами. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_ij– площадь земли (га) на i-ом участке, отведенных под j-ю с/х культуру (i=1,2,…,3, j=1,2,…,4).

2. Запишем целевую функцию − суммарную себестоимость возделывания с/х культур, которую необходимо минимизировать:

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничение заданных объёмов поставки.

с/х культура № 1: 12*x₁₁+10*x₂₁+15*x₃₁ ≥ 500

c/х культура № 2: 16*x₁₂+12₂*x₂₂+16*x₃₂ ≥ 200 (2)

c/х культура № 5: 25*x₅₁+15*x₅₂+23*x₅₃ ≥ 250

3.2. Ограничения по площади каждого участка:

Участок 1: x₁₁+x₁₂+x₁₃ + x₁₄ ≤ 30

Участок 2: x₂₁+x₂₂+x₂₃+ x₂₄ ≤ 50 (3)

Участок 3: x₃₁+x₃₂+x₃₃+ x₃₄ ≤ 20

3.3. Неотрицательность переменных:

x_ij≥ 0 (4)

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель задачи закрепления земельных участков за сельскохозяйственными культурами.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем Оптимальный план, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

3. Создайте следующую таблицу, указав в ней переменные математической модели. В ячейках Е10:F10 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных х₁ и х₂.

4. В ячейку F20 введите формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке F20 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные.

5. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

6. Щелкните по кнопке Выполнить. Если решение найдено, то появится диалоговое окно:

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное решение, имеющее следующий вид:

7. Сделайте выводы по выполненной работе.

8. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Решение задачи с помощью пакета MathCad осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, цель выполнения работы, кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным начальные нулевые значения.

4. Определите целевую функцию.

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize.

7. Вычислите значение целевой функции.

8. Сформируйте матрицу распределения земельных участков Х.

9. Сделайте выводы по выполненной работе.

10. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Исходные данные для самостоятельного решения

Вариант 1.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5	Площадь (га)
Участок 1	2	1,8	3	2,5	4,1	200
Участок 2	2,2	2	3,2	2,6	4,2	300
Участок 3	2	2,3	2,8	2,8	4,5	400
План (ц)	540	600	300	200	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5
Участок 1	20	23	13	11	15
Участок 2	22	25	15	12	12
Участок 3	21	26	14,6	13	13

Вариант 2.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Площадь (га)
Участок 1	2,5	1,8	3,1	2,5	200
Участок 2	2,2	2,5	3,2	2,6	300
Участок 3	2	2,3	2,8	2,8	400
Участок 4	2,8	2,4	2,7	2,6	450
План (ц)	540	600	300	200

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 5
Участок 1	24	23	12	15
Участок 2	22	24	15	12
Участок 3	21	26	14,6	13
Участок 4	22,2	24	12	14

Вариант 3.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5	Площадь (га)
Участок 1	2,2	1,8	3,3	2,5	4,5	300
Участок 2	2,2	2,3	3,2	2,6	4,2	300
Участок 3	2	2,3	2,8	2,8	4,5	400
План (ц)	440	500	300	250	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5
Участок 1	21	24	13	11	15,5
Участок 2	22	25	16	12	12
Участок 3	21	26	14,6	13,5	13

Вариант 4.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5	Площадь (га)
Участок 1	2	1,8	3	2,5	4,1	250
Участок 2	2,2	2	3,2	2,6	4,2	300
Участок 3	2	2,3	2,8	2,8	4,5	400
Участок 4	2,8	2,4	2,7	2,6	4,0	320
План (ц)	540	600	300	200	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5
Участок 1	21	23,5	15,6	11	15
Участок 2	22	24	15	12	12
Участок 3	21	26	14,6	13	13
Участок 4	22,2	24	12	14	14,5

Вариант 5.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5	Площадь (га)
Участок 1	2,3	1,9	3,3	2,5	4,0	250
Участок 2	2,2	2	3,2	2,6	4,2	300
Участок 3	2	2,3	2,8	2,8	4,5	400
Участок 4	2,8	2,4	2,7	2,6	4,0	320
Участок 5	2,2	2	3,2	2,6	4,2	350
План (ц)	540	600	300	200	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5
Участок 1	21,3	23,5	15,6	11,3	15,6
Участок 2	22	24	15	12	12
Участок 3	21	26	14,6	13	13
Участок 4	22,2	24	12	14	14,5
Участок 5	21,5	26	14,6	13,6	13

Вариант 6.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Площадь (га)
Участок 1	2,6	1,8	3,3	2,5	290
Участок 2	2,2	2,3	3,2	2,6	350
Участок 3	2	2,3	2,8	2,8	400
Участок 4	2,8	2,4	2,7	2,6	320
План (ц)	540	600	300	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4
Участок 1	21,3	23,5	15,6	11,9
Участок 2	22	24,6	15	12
Участок 3	21	26	14,6	13
Участок 4	22,2	24	12	14,8

Вариант 7.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5	Площадь (га)
Участок 1	2,8	1,8	3,3	2,5	4,0	350
Участок 2	2,2	2	3,2	2,6	4,2	300
Участок 3	2,6	2,3	2,6	2,8	4,5	400
Участок 4	2,8	2,4	2,7	2,6	4,0	320
Участок 5	2,2	2	3,2	2,6	4,2	450
План (ц)	540	600	300	300	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5
Участок 1	21,3	23,5	15,6	11,3	14,6
Участок 2	22,5	24	15	12	12
Участок 3	21	26,3	14,6	13,6	13
Участок 4	22,2	24	12	14	14,5
Участок 5	21,5	26	14,6	13,6	13

Вариант 8.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Площадь (га)
Участок 1	2,8	2,8	3,1	2,5	500
Участок 2	2,2	2,3	3,2	2,6	350
Участок 3	2,3	2,5	2,8	2,8	400
План (ц)	600	650	300	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4
Участок 1	21,3	23,0	15,6	11,9
Участок 2	22,2	24,6	15,3	12,3
Участок 3	21,6	26,6	14,6	13,0

Вариант 9.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5	Площадь (га)
Участок 1	2,5	1,9	3,3	2,5	4,0	300
Участок 2	2,2	2,3	3,2	2,6	4,2	300
Участок 3	2	2,3	2,8	2,8	4,5	400
Участок 4	2,8	2,4	2,7	2,6	4,0	320
План (ц)	540	500	300	200	150

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Культура 5
Участок 1	21,3	23,5	15,6	11,3	15,6
Участок 2	22	24	15	12	12
Участок 3	21,3	26,6	14,6	13,9	13,2
Участок 4	22,2	24	12	14	14,5

Вариант 10.

Себестоимость (т.руб./га) возделывания, площади и план поставки.

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4	Площадь (га)
Участок 1	2,2	1,8	3,3	2,5	290
Участок 2	2,2	2,3	3,2	2,6	350
Участок 3	2,5	2,3	2,8	2,8	400
Участок 4	2,8	2,4	2,7	2,6	320
Участок 5	2	2,3	2,8	2,8	200
План (ц)	540	600	400	250

Урожайность с/х культур (ц/га)

	Культура 1	Культура 2	Культура 3	Культура 4
Участок 1	21,3	23,5	15,6	11,9
Участок 2	22	24,6	15	12
Участок 3	21	26	14,6	13
Участок 4	22,2	24	12,6	14,8
Участок 5	21,3	23,5	15,6	11,9