VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В процессе проведения контроля и диагностики, исследователь получает различные сигналы, несущие информацию об объекте контроля. Главной задачей, является извлечение информации из сигнала, т.е. анализ сигнала и его преобразование в наиболее информационный вид. Существуют корреляционный и спектральный анализ сигналов.

Вейвлет-преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье. Вейвлеты – это обобщенное название семейств математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Вейвлет-преобразование рассматривает анализируемые сигналы в виде колебаний, локализованных по времени и частоте, т.е. обеспечивает частотно-временное представление сигналов.

Вейвлеты имеют вид коротких волновых пакетов с нулевым средним значением, локализованных по оси аргументов (независимых переменных), инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования (сжатия/растяжения). По локализации во временном и частотном представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени.

Теория вейвлетов не является фундаментальной физической теорией, но она дает удобный и эффективный инструмент для решения многих практических задач. Основная область применения вейвлет-преобразований – анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространстве, когда результаты анализа должны содержать не только частотную характеристику сигнала (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения о локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала.

Быстрое развитие математического, программного аппарата вейвлет анализа и отсутствие в открытых литературных источниках информации о применении вейвлет анализа в контроле и диагностике определило предпосылки для исследования и написания работы.

Целью работы является изучение и применение вейвлет анализа в неразрушающем контроле и диагностике для нахождения информативных характеристик и диагностических параметров, позволяющих проводить обработку и диагностику сигналов, полученных от исследуемых объектов.

История спектрального анализа сигналов. Восходит к И. Бернулли, Эйлеру и, особенно, Фурье, который впервые построил стройную теорию разложения функций в тригонометрические ряды. Однако это разложение, названное именем Фурье, долгое время применялось как математический прием и не связывалось с какими-либо физическими представлениями. Например, сам Герц, отец первой электромагнитной резонансной системы (диполя), отрицательно относился к спектральным разложениям. Спектральные представления долгое время применялись и развивались лишь сравнительно узким кругом физиков–теоретиков. Однако, начиная с 20-х годов, в связи с бурным развитием радиотехники и акустики, спектральные разложения приобрели физический смысл и практическое применение. На спектральном (частотном) языке стали объясняться между собой не только ученые, но и инженеры–разработчики радиоаппаратуры, техники, ремонтники – самый широкий круг специалистов.

Впоследствии было установлено, что функции можно разложить не только по синусам и косинусам, но и по другим ортогональным базисным системам, например, полиномам Лежандра и Чебышева, функциям Лагерра и Эрмита. Однако практическое применение они получили только в последние два десятилетия благодаря развитию вычислительной техники и методов синтеза цифровых линейных систем обработки данных. Тем не менее, непосредственно для целей спектрального анализа подобные ортогональные функции не нашли широкого применения из-за трудностей интерпретации получаемых результатов. По тем же причинам не получили развития, одно время очень популярные, для построения цифровых устройств спектрального анализа функции типа "прямоугольной волны" Хаара, Радемахера, Уолша, Крестенсена. Теоретические исследования ортогональных базисных систем общего вида привели к созданию в 70-х годах теории обобщенного спектрального анализа, которая позволила не только по-новому оценить значение классического спектрального анализа Фурье и пределы его практического применения, но и создала методы и критерии синтеза базисных систем наиболее приспособленных для решения конкретной практической задачи.

Иллюстрацией этому является активно развивающаяся с начала 80-х годов теория базисных функций типа вейвлет. Термин вейвлет появился в середине 80-х годов прошлого века в работах у А. Гроссмана и Ж. Морле по анализу и цифровой обработке сейсмических и акустических сигналов. Само слово «wavelet», является буквальным переводом на английский язык с французского слова «ondelette», означающего небольшие волны, следующие друг за другом, рябь; встречается, однако, и другой перевод − «маленькая волна», или «всплеск». Благодаря прозрачности физической интерпретации результатов анализа, очень сходной с "частотным" подходом в Фурье-анализе, ортогональный базис вейвлетов сразу стал популярным и эффективным средством анализа нестационарных сигналов и изображений в акустике, сейсмике, медицине, а так же в контроле и диагностике.

Вейвлет-анализ является разновидностью спектрального анализа, в котором роль простых колебаний играют функции особого рода, называемые вейвлетами.

Первое упоминание о подобных функциях (которые вейвлетами еще не назывались) появилось в тезисах Хаара. Вейвлет Хаара – это короткое (на интервале [0,1]) прямоугольное колебание[1]. Однако он интересен больше теоретически, так как не является непрерывно дифференцируемой функцией и потому имеет длинные хвосты в частотной области.

В тридцатые годы физик Пауль Леви, исследуя броуновское движение, обнаружил, что базис Хаара лучше, чем базис Фурье, для изучения некоторых деталей броуновского движения, тем самым впервые подтвердив эффективность вейвлетов. Эта работа дала начало развитию вейвлетов в течение последующих десяти лет целым рядом авторов: Меер, Добеши, Баттле, Лимар и другими, математическая формализация, данная работами Маллат и Меер, привела к созданию теоретических основ вейвлет-анализа, названного мультиразрешающим анализом (или кратномасштабным анализом – при дословном переводе).

От Фурье-анализа к вейвлетам

Преобразование Фурье. В первой половине XIX века французский математик Дж. Фурье показал, что любая периодическая функция может быть выражена в виде бесконечной суммы периодических комплексных экспоненциальных функций. Через много лет эти идеи были применены для непериодических функций, а затем и для сигналов дискретного времени (периодических и непериодических). После такого обобщения потенциальная область применения преобразования Фурье стала значительно большей. В 1965 году был разработан алгоритм быстрого вычисления преобразования Фурье, что сделало преобразование еще более популярным.

Преобразование Фурье декомпозирует сигнал на комплексные экспоненциальные функции различных частот. Процесс декомпозиции задается двумя равенствами

, (1)

. (2)

где t – время, с;

f – частота, Гц;

х – сигнал во временной области;

Х – сигнал в частотной области.

Эти равенства позволяют различить две области представления сигнала. Равенство (1) называется преобразованием Фурье х(t), а равенство (2) называется обратным преобразованием Фурье Х(f), в результате чего получается х(t).

Рассматривая внимательнее равенство (1) можно увидеть, что сигнал х(t), умножается на экспоненту, имеющую некоторую частоту f, и затем интегрируется по всему времени.

Экспоненциальный член в (1) может быть также представлен как

(3)

Вышеприведенное выражение имеет вещественную часть (косинус частоты f) и мнимую (синус частоты f). Так что на самом деле мы умножаем исходный сигнал на комплексное выражение, состоящее из синусов и косинусов частоты f. Затем мы интегрируем это произведение. Другими словами, мы складываем все точки произведения. Если результат интегрирования имеет большое значение, то частота f существенно присутствует в сигнале x(t). Если значение интеграла мало, то и амплитуда частоты f в сигнале мала. Если интеграл равен нулю, то частота f отсутствует в сигнале.

Интегрирование в выражении (1) осуществляется по времени. Однако, левая часть выражения (1) есть функция частоты. Поэтому, интеграл в (1) вычисляется для каждого значения f. Интеграл берется от минус бесконечности до плюс бесконечности, то есть по всей временной оси. Поэтому, время существования той или иной частоты неважно: ее вклад будет все равно одинаковым. Именно поэтому преобразование Фурье не подходит для анализа сигналов с изменяющейся частотой, т.е. для нестационарных сигналов. Перед применением преобразование Фурье важно знать, стационарный сигнал или нет для оценки релевантности результатов.

Преобразование Фурье дает частотную информацию, содержащуюся в сигнале, то есть говорит нам о том, каково содержание каждой частоты в сигнале. Однако в какой момент времени возникла та или иная частота, когда она закончилась - на эти вопросы ответ получить не удастся. Впрочем, эта информация и не требуется, если сигнал – стационарный.

Стационарными называются сигналы, частотное наполнение которых не меняется во времени. Поэтому при частотном анализе таких сигналов и не требуется временная информация - все частоты присутствуют в сигнале на протяжении всего времени.

Недостатки преобразования Фурье. Исходя из требований анализа произвольной функции, представления её совокупностью коэффициентов разложения по частотам и точного восстановления после преобразований, можно отметить определённые недостатки Фурье-разложения сигналов при их исследовании, которые и привели к появлению вначале оконного преобразования Фурье и стимулировали в дальнейшем появление и развитие вейвлет-преобразования.

Основными недостатками можно назвать следующие:

- недостаточная информативность при анализе нестационарных сигналов и практически полное отсутствие возможностей анализа их особенностей (сингулярностей), так как в частотной области происходит «размазывание» особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) по всему частотному диапазону спектра. Появляются «паразитные» высокочастотные составляющие, явно отсутствующие в исходном сигнале при наличии в нём скачков и разрывов;

- гармонические базисные функции разложения не способны в принципе отображать перепады сигналов с бесконечной крутизной типа прямоугольных импульсов, так как для этого требуется бесконечно большое число членов ряда. При конечном числе членов ряда Фурье в окрестностях скачков, разрывов и т.п. в восстановленном сигнале возникают значительные осцилляции − явление Гиббса;

- преобразование Фурье отображает общие сведения о частотах исследуемого сигнала в целом и не дает представления о локальных свойствах сигнала при быстрых временных изменениях его спектрального состава. Так, преобразование Фурье не отличает стационарный сигнал от нестационарного сигнала, так как спектральные коэффициенты вычисляются интегрированием по всему интервалу задания сигнала. Классический алгоритм преобразования Фурье в принципе не предоставляет возможности анализировать частотные характеристики сигнала в произвольные моменты времени.

Напомню, что, используя преобразование Фурье, можно работать с сигналом либо только во временной области, либо только в частотной. Одновременно получить частотно-временное представление, используя классический алгоритм преобразования Фурье, нельзя (отсутствует возможность получения информации о том, какие частоты присутствуют в сигнале в данный момент времени). Для стационарного сигнала эта информация и не требуется, поскольку частотные составляющие сигнала и их амплитуды на любом временном интервале идентичны.

Оконное преобразование Фурье. В случае применения оконного преобразования Фурье вводится движущаяся вдоль независимой переменной (пространство или время) оконная функция, имеющая компактный носитель. Ширина окна выбирается в несколько раз меньше длительности сигнала. Временной интервал сигнала разделяется на подинтервалы (дискретные или непрерывные в зависимости от заданного алгоритма скольжения оконной функции). Преобразование Фурье выполняется последовательно для каждого подинтервала в отдельности. Тем самым осуществляется переход к частотно-временному (или частотно-координатному) представлению сигналов, при этом в пределах каждого подынтервала сигнал предполагается стационарным. Результатом оконного преобразования Фурье является семейство спектров, которым отображается изменение спектра сигнала по интервалам сдвига окна преобразования. Это позволяет выделять на координатной оси и анализировать особенности нестационарных сигналов. Размер носителя оконной функции w(t) (ширина окна) обычно устанавливается соизмеримым с предполагаемыми длительностями особенностей сигнала. В результате оконное преобразование Фурье сопоставляет исходному сигналу функцию двух переменных – частоты и положения окна (временное или координатное). При этом для получения результатов, позволяющих характеризовать свойства исследуемого сигнала, необходимо в оконное преобразование Фурье заложить априори размер стационарности сигнала.

Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:

(4)

Комплексная функция представляет собой функцию окна сдвига преобразования по координате t, где параметром b_k задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом значения b_k = kΔb. В качестве окна преобразования могут использоваться как простейшее прямоугольное окно (w(t) = 1 в пределах окна и 0 за его границами), так и специальные весовые окна (Барлетта, Гаусса, Кайзера и пр.), выбираемые из условия внесения наименьших искажений спектра граничными условиями вырезки оконных отрезков сигналов, а также нейтрализующие явление Гиббса.

При всех своих возможностях, оконному преобразованию Фурье, присущи проблемы исходящих из явления, которое называется принципом неопределенности Гейзенберга. Этот принцип в применении к частотно-временному преобразованию гласит, что невозможно получить произвольно точное частотно-временное представление сигнала, то есть нельзя определить для какого-то момента времени, какие спектральные компоненты присутствуют в сигнале. Единственное, что мы можем знать, так это временные интервалы, в течение которых в сигнале существуют полосы частот. Эта проблема называется проблемой разрешения.

Чем уже окно, тем лучше временное разрешение, но хуже частотное. И наоборот. Кроме того, чем уже окно, тем более справедливы становятся предположения о стационарности сигнала в пределах окна.

При применении преобразования всегда возникают вопросы, какой вид окна использовать, узкое окно обеспечивает лучшее временное разрешение, а широкое – лучшее частотное. Проблема состоит в том, что приходится выбирать окно «раз и навсегда», то есть для анализа всего сигнала, тогда как разные его участки могут требовать применения разных окон. Если сигнал состоит из далеко отстоящих друг от друга частотных компонент, то можно пожертвовать спектральным разрешением в пользу временного и наоборот.

Вейвлет-анализ

Гармонические базисные функции преобразования Фурье предельно локализованы в частотной области (до импульсных функций Дирака при Т → ∞) и не локализованы во временной (они определены во всем временном интервале от –∞ до ∞).

Противоположностью гармоническим базисным функциям являются импульсные базисные функции типа импульсов Кронекера, которые предельно локализованы во временной области и "размыты" по всему частотному диапазону.

Вейвлеты по локализации в этих двух представлениях можно рассматривать как функции, занимающие промежуточное положение между гармоническими и импульсными функциями. Они должны быть локализованными как во временной, так и в частотной области представления. При создании таких функций опять имеет значение принцип, аналогичный принципу неопределенности Гейзенберга, который связывает эффективные значения длительности функций и ширины их спектра. Чем точнее осуществлять локализацию временного положения функции, тем шире будет становиться ее спектр, и наоборот, что наглядно видно на рисунке 1 и рисунке 2, где приведен Mhat-вейвлет без сдвига при различных коэффициентах растяжения и им соответствующий спектр[2].

Рисунок 1 – MHAT-вейвлет при трёх коэффициентах растяжения

Рисунок 2 – Соответствующие спектры MHAT-вейвлетов

Вейвлеты. Вейвлет преобразование сигнала – это его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций

(5)

сконструированных из материнского (исходного) вейвлета ψ(t), обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени (b) и изменения временного масштаба (a) рисунок 3. Множитель 1/√a обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа a.

Итак, для заданных значений параметров a и b функция ψ_ab(t) и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом ψ(t).

Малые значения а соответствуют мелкому масштабу ψ_ab(t) или высоким частотам (ω ~1/a ), большие параметры a – крупному масштабу ψ_ab(t), т.е. растяжению материнского вейвлета ψ(t) и сжатию его спектра.

Таким образом, в частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески (волны) с пиком на частоте ω₀ и полосой Δω, т.е. имеют вид полосового фильтра; при этом ω₀ и Δω уменьшаются с ростом параметра a.

Следовательно, вейвлеты локализованы как во временной, так и частотной областях.

Рисунок 3 – Значения вейвлет-преобразования на частотно-временной плоскости

В соответствии с принципом неопределенности произведение эффективной длительности (τ_э) и эффективной ширины спектра (Δω_э) функции ψ_ab(t) (площадь прямоугольников на рисунке 3) остается неизменным. Кроме того, из-за масштабирования и временного сдвига (b/a = Δ = const) сохраняется относительная «плотность» расположения базисных функций по оси t.

Следует отметить, что спектральное представление (образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Это служит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов. Поэтому нетрудно понять, что с помощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала S(t) (функции S(x)).

Главные признаки вейвлета. В качестве базисных функций, образующих ортогональный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом, основные из них:

- ограниченность, квадрат нормы функции должен быть конечным

(6)

- локализация, вейвлет преобразование в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

, (7)

. (8)

Например, дельта-функция δ(t) и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях;

- нулевое среднее, график исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени рисунок 3, иметь нулевую площадь

(9)

Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» - маленькая волна.

Равенство нулю площади функции ψ(t), т.е. нулевого момента, приводит к тому, что Фурье-преобразование S_ψ(ω) этой функции равно нулю при ω = 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях a это будет набор полосовых фильтров.

Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не только нулевой, но и все первые n моментов были равны нулю

(10)

Вейвлеты n порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие;

- автомодельность, характерным признаком вейвлет преобразования является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства ψ_ab(t) имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет ψ(t), поскольку получены из него посредством масштабных преобразований (a) и сдвига (b).

Примеры материнских вейвлетов. Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Материнские вейвлеты

Вейвлеты	Аналитическая запись ψ(t)	Спектральная плотность ψ(ω)
Вещественные непрерывные базисы
Гауссовы: - первого порядка, или WAVE-вейвлет; - второго порядка, или MHAT-вейвлет;
Вещественные дискретные
HAAR-вейвлет
Комплексные
Морле (Morlet)
Пауля (Paul)

Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе производных функции Гаусса. Это обусловлено тем обстоятельством, что функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации, как во временной, так и в частотной областях.

Наиболее простой пример дискретного вейвлета – это HAAR-вейвлет. Недостатком его являются несимметричность формы и негладкость – резкие границы в t-области, вследствие чего возникает бесконечное чередование «лепестков» в частотной области, хотя и убывающих как 1/ω.

LR − вейвлет, имеющий, наоборот, резкие границы в ω-области, можно считать другим предельным случаем.

Среди комплексных вейвлетов наиболее часто используется базис, основанный на хорошо локализованном и во временной и в частотной областях вейвлете Морле. Характерный параметр ω₀ позволяет изменять избирательность базиса. Вещественная и мнимая части ψ(t) – это амплитудно-модулированные колебания.

Большинство типов вейвлетов не имеют аналитического описания в виде одной формулы, а задаются итерационными выражениями, легко вычисляемыми компьютерами. Примером таких вейвлетов являются функции Добеши (Daubechies)[3].

Выбор конкретного материнского вейвлета (будь то непрерывный или дискретный) целиком зависит от характера поставленной задачи и от конкретного анализируемого сигнала. Разные сигналы удается анализировать тем или иным способом, и критерием успеха обычно служит простота получаемого разложения. При этом решающим фактором оказываются интуиция и практический опыт исследователя.

Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП или CWT – continuous wavelet transform) обеспечивается непрерывными изменениями обоих параметров преобразования: сдвига и масштабирования.

Допустим, имеются функции s(t) с конечной энергией (нормой) в пространстве L²(R), определенные по всей действительной оси R(–∞, ∞). Для финитных сигналов с конечной энергией средние значения сигналов, как и любых других функций из пространства L²(R), должны стремиться к нулю на ±∞.

Непрерывным вейвлет-преобразованием (или вейвлетным образом) функции s(t)L²(R) называют функцию двух переменных

(11)

где вейвлеты ψ(a,b,t)ψ_ab(t) – масштабированные и сдвинутые копии порождающего вейвлета ψ(t)L²(R), совокупность которых создает базис пространства L²(R).

Коэффициенты вейвлет-преобразования С(a, b) содержат комбинированную информацию об анализируемом сигнале и об используемом вейвлете. Поэтому результаты вейвлет-анализа в значительной степени зависят от выбора порождающей вейвлет функции, что, с одной стороны, даёт исследователю некоторую степень произвола, но, с другой стороны, усложняет интерпретацию результатов вейвлет-преобразования.

Порождающими функциями могут быть самые различные функции с компактным носителем – ограниченные по времени и местоположению на временной оси, и имеющие спектральный образ, локализованный на частотной оси[6].

Базис пространства L²(R), как и для рядов Фурье, целесообразно конструировать из одной порождающей функции, норма которой должна быть равна единице. Для перекрытия локальной функцией вейвлета всей временной оси пространства используется операция сдвига (смещения по временной оси): ψ(b,t) = ψ(t - b), где значение b для непрерывного вейвлет-преобразования является величиной непрерывной. Для перекрытия всего частотного диапазона пространства L²(R) используется операция временного масштабирования вейвлета с непрерывным изменением независимой переменной:

(12)

На рисунке 1 и рисунке 2 видно, что если временной образ вейвлета будет расширяться (с изменением значения параметра а), то его "средняя частота" будет понижаться, а частотный образ (частотная локализация) перемещаться на более низкие частоты.

Таким образом, путем сдвига по независимой переменной (t – b) вейвлет имеет возможность перемещаться по всей числовой оси произвольного сигнала, а путем изменения масштабной переменной а (в фиксированной точке (t – b) оси) "просматривать" частотный спектр сигнала по определенному интервалу окрестностей этой точки.

С использованием этих операций вейвлет-базис функционального пространства образуется путем масштабных преобразований и сдвигов порождающего вейвлета ψ(t)

(13)

Исходя из (14) можно убедиться, что нормы вейвлетов ψ(a, b, t) равны норме ψ(t), что обеспечивает нормировочный множитель |а|^-1/2. При нормировке к единице порождающего вейвлета ψ(t) все семейство вейвлетов также будет нормированным. Если при этом выполняется требование ортогональности функций, то функции ψ(a, b, t) образуют ортонормированный базис пространства L²(R).

Понятие масштаба вейвлет-преобразования имеет аналогию с масштабом географических карт. Большие значения масштаба соответствуют глобальному представлению сигнала, а низкие значения масштаба позволяют различить детали. Низкие частоты тогда соответствуют глобальной информации о сигнале (распределенность на всей его протяженности), а высокие частоты – детальной информации и особенностям, которые имеют малую протяженность, т.е. масштаб вейвлета, как единица шкалы частотно-временного представления сигналов, обратно пропорционален частоте. Масштабирование как математическая операция, расширяет или сжимает сигнал. Большие значения масштабов соответствуют расширениям сигнала, а малые значения – сжатиям.

Значения параметра а > 1 расширяют сигнал, в то время как значения а < 1 сжимают его, так как в определении вейвлета, коэффициент масштаба а стоит в знаменателе.

Процедура преобразования стартует с масштаба а = 1 и продолжается при увеличивающихся значениях а, т.e. анализ начинается с высоких частот и проводится в сторону низких частот. Первое значение а соответствует наиболее сжатому вейвлету. При увеличении значения а вейвлет расширяется. Вейвлет помещается в начало сигнала (t = 0), перемножается с сигналом, интегрируется на интервале своего задания и нормируется на 1/. При задании четных или нечетных функций вейвлетов результат вычисления С(a, b) помещается в точку (a= 1, b= 0) масштабно-временного спектра преобразования. Сдвиг b может рассматриваться как время с момента t = 0, при этом координатная ось b повторяет временную ось сигнала.

Для полного включения в обработку всех точек входного сигнала требуется задание начальных и конечных условий преобразования (определенных значений входного сигнала при t < 0иt > t_max на полуширину окна вейвлета). При одностороннем задании вейвлетов результат относится, как правило, к временному положению средней точки окна вейвлета.

На следующем шаге алгоритма вейвлет масштаба а = 1 сдвигается вправо на значение b и процедура повторяется. Получается значение, соответствующее t = b в строке а = 1 на частотно-временном плане. Процедура повторяется до тех пор, пока вейвлет не достигнет конца сигнала. Таким образом получаем строку точек на масштабно-временном плане для масштаба а = 1.

Для вычисления следующей масштабной строки значение а увеличивается на некоторое значение. При непрерывном вейвлет-преобразовании в аналитической форме приращения параметров Δb  0 и Δa 0. При выполнении преобразования в компьютере осуществляется дискретизация масштабно-временное плоскости: вычисляется аппроксимация с увеличением обоих параметров с заданным конечным шагом.

Начальное значение масштабного коэффициента может быть и меньше единицы. Для детализации самых высоких частот сигнала минимальных размер окна вейвлета не должен превышать периода самой высокочастотной гармоники. Если в сигнале присутствуют спектральные компоненты, соответствующие текущему значению а, то интеграл произведения вейвлета с сигналом в интервале, где эта спектральная компонента присутствует, дает относительно большое значение. В противном случае - произведение мало или равно нулю, так как среднее значение вейвлетной функции равно нулю. С увеличением масштаба (ширины окна) вейвлета преобразование выделяет все более низкие частоты.

Рисунок 4 – Вейвлет-преобразование чистого гармонического сигнала

В общем случае непрерывного вейвлет-преобразования значения параметров а и b, в выражениях (11) и (13), являются непрерывными, а множество базисных функций – избыточным. В силу этого непрерывное преобразование сигналов содержит очень большой объем информации. Сигналу, определенному на R, соответствует вейвлетный спектр на R × R. C позиций сохранения объема информации при преобразованиях сигналов отсюда следует, что вейвлетный спектр имеет огромную избыточность.

Дискретное вейвлет-преобразование(ДВП или DWT – discrete wavelet transform). При обработке данных на компьютере может выполняться дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования с заданием дискретных значений параметров (a, b) вейвлетов с произвольным шагом Δa и Δb. В результате получается избыточное количество коэффициентов, намного превосходящее число отсчетов исходного сигнала, которое не требуется для реконструкции сигналов[7].

Главным достоинством дискретного вейвлет-преобразования является возможность быстрого вейвлет-преобразования с пирамидальным алгоритмом вычислений. Однако возможности быстрого вейвлет-преобразования могут быть реализованы не для всех типов вейвлетов.

Дискретное вейвлет-преобразование обеспечивает достаточно информации как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем значительно более экономным, чем непрерывное вейвлет-преобразование по числу операций и по требуемой памяти. Дискретное вейвлет-преобразование оперирует с дискретными значениями параметров а и b, которые задаются в виде степенных функций:

, , , . (14)

где Z – множество целых чисел ;

m – параметр масштаба;

k – параметр сдвига.

Значение a может быть произвольным, но обычно принимается равным 2, при этом преобразование называется диадным вейвлет-преобразованием. Для диадного преобразования разработан быстрый (пирамидальным) алгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье, что предопределило его широкое использование при анализе массивов цифровых данных.

Разложение функций на вейвлет-ряды на заданном уровне разрешения m выполняется по формуле:

(15)

Значения коэффициентов (которые обычно называют суммами и разностями):

(16)

(17)

На практике значения коэффициентов определяются с помощью быстрого вейвлет-преобразования.

Первая сумма в (15) содержит усредненные значения функции s(t) по диадным интервалам, вторая – значения флюктуаций на данных интервалах. По мере возрастания значения m длина интервалов уменьшается и уровень детализации (разрешения) функции s(t) увеличивается. На самом детальном уровне m = m_max = M ряд представлен только скейлинг-функцией и, в пределах точности разложения, практически совпадает с исходной функцией:

(18)

Схемы последовательного масштабного разложения сигналов действуют на любых масштабах. Эту процедуру вычисления вейвлетных рядов называют быстрым вейвлет-преобразованием или алгоритмом Малла по фамилии его автора.

Принцип быстрого вейвлет-преобразования в том, что любую функцию s(t) можно рассматривать на любом m – уровне разрешения. Для разделения функции на этом уровне между ее усредненными значениями и флюктуациями вокруг средних значений преобразуем формулу (11) к следующему виду:

(19)

На практике мы обычно имеем дело с цифровыми данными в виде конечного набора отсчетов, а, соответственно, наилучший уровень разрешения определен интервалом, содержащим один отсчет, и суммирование выполняется в конечных пределах. Значение m = 0 обычно принимается для этого наилучшего уровня разрешения. Для принятой нами формы вейвлетов φ_m,k = 2^m/2 φ(2^m t - k) усреднение отсчетов (расширение размеров вейвлетов) происходит при уменьшении значений m, т.е. при m = 0, -1, -2, .... Для исключения использования отрицательных индексов масштабирования знак "минус" обычно вводится непосредственно в функции вейвлетов, т.е. φ_m,k = 2^-m/2 φ(2^-m t - k), при этом вейвлет-коэффициенты вычисляются для m > 0.

Кратномасштабный анализ при последовательном увеличении значений m приводит к естественной форме быстрых итерационных вычислений:

, (20)

, (21)

. (22)

Уравнения обеспечивают пирамидальный алгоритм вычисления вейвлет-коэффициентов (алгоритм Малла), приведенный на рисунке 5. Явный вид вейвлета требуется только для расчета коэффициентов hn и gn, при самом преобразовании используются значения коэффициентов hn и gn[5]. Уравнение (22) применяется при известной аналитической форме функции s(t). Для цифровых данных в качестве значений C_0,kпринимаются исходные значения данных, т.е. C_0,k = s(k).

Рисунок 5 – Алгоритм Малла

Сущность операций, выполняемых формулами (20) и (21), заключается в следующем. На первом этапе преобразования цифровой фильтр hn из сигнала s_k = C_0,k выделяет низкие часто-ты |ω| ≤ π/2, а октавный фильтр gn выделяет верхние частоты π/2 ≤ |ω| ≤ π. Поскольку на выходе фильтра hn отсутствует верхняя половина частот, то частота дискретизации выходного сигнала может быть уменьшена в 2 раза, т.е. выполнена децимация выходного сигнала, что производится в формуле (19) сдвигами (2k+n) через 2 отсчета по входному сигналу. На выходе фильтра gn освобождается место в области низких частот, и аналогичное прореживание выходного сигнала приводит к транспонированию верхних частот на освободившееся место. Таким образом, каждый из выходных сигналов несет информацию о своей половине частот, при этом выходная информация представлена таким же количеством отсчетов, что и входная.

Обязательным условием преобразования сигнала является его задание количеством точек (отсчетов), равном N=2^m, где значение m ≥ 1 определяет максимально возможное число уровней декомпозиции сигнала при целочисленных значениях кратности сдвигов операторов фильтров количеству отсчетов вейвлетных коэффициентов на каждом уровне декомпозиции. Для выполнения этого условия количество отсчетов сигнала, как правило, дополняется до ближайшего большего значения N методами, известными из практики задания начальных/конечных условий свертки (нулями, концевыми значениями сигналов, четными или нечетными значениями относительно концевых отсчетов, периодическим продолжением и т.п.). Может применяться также передискретизация исходного сигнала до необходимого количества отсчетов.

Основная информация обычно заключена в низкочастотной части сигнала, разложение которой может быть продолжено вплоть до нулевого уровня. Но аналогичная операция может применяться и к любой высокочастотной части разложения. Это соответствует замене вейвлета ψ(t) на два новых вейвлета:

, (23)

. (24)

которые тоже локализованы в пространстве, но на вдвое более широком интервале, чем исходный вейвлет. Бинарное дерево разложения рисунок 2.20 "расщепляется" и для коэффициентов D любого уровня.

Рисунок 6 – Структура (дерево) вейвлет-представления сигнала для пакетных вейвлетов

Такое расщепление является адаптивным и легко приспосабливается к индивидуальным особенностям сигналов. Функции адаптивного преобразования называют вейвлет-пакетом.

Очистка сигнала от шума и компрессия сигнала. Традиционно для решения этих задач применяется известный из практики фильтрации метод подавления высокочастотных составляющих спектра.

Кроме того, с использованием вейвлетов есть еще один метод – ограничение уровня детализирующих коэффициентов. Задав определенный порог для их уровня и «отсекая» коэффициенты ниже этого порога, можно значительно снизить уровень шума и сжать сигнал или изображение рисунок 8. Это равносильно заданию оптимального пути по дереву вейвлет-преобразования. Возможны различные типы порогов ограничения: мягкий или гибкий и твердый или жесткий. При этом устанавливаются различные правила выбора порога: адаптивный порог, эвристический, минимаксный и др.

Но самое главное состоит в том, что пороговый уровень можно устанавливать для каждого коэффициента отдельно. Это позволяет строить адаптивные к изменениям сигнала (изображения) способы очистки от шума и компрессии.

Идея вейвлет-фильтрации заключается в том, чтобы, проведя кратно-масштабное разложение и получив аппроксимацию сигнала и его детализацию, некоторым образом воздействовать на коэффициенты высокочастотной составляющей (например, обнулить коэффициенты, значения которых ниже некоторого порога). Затем путем обратного вейвлет-преобразования проводят восстановление исходного сигнала и получают отфильтрованное изображение. Метод позволяет эффективно подавлять шумы со спектрами, отличными от белого.

Процедура удаления шума и сжатия включает в себя три шага:

- разложение до уровня n. При этом выбирается тип вейвлета и уровень декомпозиции;

- детализация. Выбирается определенный порог для детализирующих коэффициентов;

- вейвлет-восстановление.

Рисунок 7 – Зашумленный сигнал

Рисунок 8 – Очищенный сигнал

Вейвлет-анализ кардиосигнала

Имеется обширная литература, посвященная методам анализа зубцов кардиосигнала, длительности комплексов зубцов, вариабельности длин различных интервалов кардиосигнала. Традиционно используется статистические методы. Считается, что кардиосигнал является случайной величиной Х, представленной в виде конечной выборки x₁,…, хn. Другие характеристики: частота сердечных сокращений, длительности комплексов QRS или длительности интервалов между зубцами – являются также случайными величинами, функциями от Х. Для анализа этих величин используется выборочные точечные оценки случайной величины:

- выборочное среднее ;

- выборочная (несмещенная) дисперсия ;

- выборочное стандартное отклонение ;

- автокорреляционная функция .

Сравнивая данный характеристики для разных кардиосигналов или других величин, делают выводы о наличии паталогических явлений.

Сильным инструментов для изучения кардиосигнала является также разложение в ряд Фурье и анализ спектра. Вейвлеты применяются для анализа кардиосигнала недостаточно широко.

Считается, что верхняя граничная частота нормального (без нагрузки) кардиосигнала, заметно влияющая на ее форму, не превышает 100 Гц. Поэтому при контурном анализе электрокардиограммы частоты выше 100 Гц практические не учитываются. Преимущество вейвлет-анализа заключается в том, что имеется возможность для изучения высших частот, а также удаления шума, сжатия и сглаживания электрокардиограммы.

Многоуровневый анализ кардиосигнала. Для вейвлет-анализа были получены кардиосигналы с второго грудного отведения V2, записанные с помощью кардиографа высокого разрешения SCHILLER CARDIOVIT AT-2, с частотой дискретизации 1024 отсчёта в секунду. Для вейвлет-разложения был принят вейвлет Добеши db4, имеющий носитель на промежутке (0, 7).

С помощью программы MatLab,проводилась загрузка и обработка сигнала (автора статьи) Sm. Длина сигнала составляет более 70 000 отсчётов. Для оптимизации вычислений выбирается фрагмент этого сигнала длиной 4096 отчётов и проводится разложение до уровня 3 (cD1, cD2, cD3) с построением графика кардиосигнала рисунок 9 и вейвлет-коэффициентов рисунок 10.

Рисунок 9 – График кардиосигнала Sm

Рисунок 10 – Графики детализирующих коэффициентов Sm

Вейвлет ψ(t) Добеши db4 имеет носитель на промежутке (0, 7) и центральную частоту Fr = 0.7143 Гц. Поскольку Δt = 1/1024, то носитель вейвлета находится на промежутке (0, 7Δt) и центральная частота вейвлета ψ(t), используемого для первого уровня разложения, равна Fr₁ = 0.7143*1024 = 734.30 Гц. Для второго уровня разложения частота вейвлета будет в два раза меньше, Fr₂ = 367.15 Гц, а для третьего уровня разложения Fr₃ = 183.57 Гц. Вейвлет-коэффициенты уровней отражают характеристики кардиосигнала на указанных частотах.

Так же интерес представляют компоненты сигнала, которые соответствуют найденным вейвлет-коэффициентам уровней. Это будут компоненты сигнала на частотах 183.57 Гц, 367.15 Гц и 734.30 Гц (ScD1, ScD2, ScD3). Отношение данных компонент к указанным частотам достаточно условно и не соответствует аналогичному понятию для разложения Фурье. В частности, частота 734.30 Гц выше частоты Найквиста, равной 512 Гц. Однако можно увидеть, что спектр частот компонент сигнала достаточно хорошо локализован. Для нахождения компонент сигнала осуществляется прямое восстановление отдельно по каждому набору детализирующих коэффициентов.

Рисунок 11 – Восстановленный сигнал Sm по детализирующим коэффициентам

Для сравнения сделан такой же анализ кардиосигнала (второе грудное отведение V2) пациента, перенесшего месяц назад инфаркт миокарда и находящегося на лечении в больнице. Обе кардиограммы сняты на одном и том же кардиографе в одно и тоже время, сначала – уже рассмотренный пациент (Sm), затем сразу – другой пациент (Th).

Рисунок 12 – График кардиосигнала Th

Рисунок 13 – Графики детализирующих коэффициентов Th

Имеется визуальная разница графиков детализирующих коэффициентов двух пациентов. Так же можно выразить эту разницу в цифрах, для этого можно использовать, по крайней мере, три подхода:

1) статистические характеристики. Можно рассмотреть статистические характеристики как вейвлет-коэффициентов, так и элементов сигнала, советующих этим коэффициентам. Очевидно (это подтверждается вычислениями), что среднее значение равно нулю. Получив среднее квадратичное отклонение полученный вейвлет-коэффициентов cD1, cD2, cD3 и компонент сигнала ScD1, ScD2, ScD3 пациентов Sm и Th для сравнения. Результаты вычислений приведены в таблице 2. Можно увидеть, что стандартные отклонения вейвлет коэффициентов двух различных пациентов различаются почти в два раза. Поэтому они имеют диагностическую значимость;

Таблица 2 – Статистические характеристики вейвлет-коэффициентов

Пациенты	Вейвлет-коэффициенты			Компоненты сигнала
	cD1	cD2	cD3	ScD1	ScD2	ScD3
Пациент Sm	0.0047	0.0186	0.0448	0.0033	0.0093	0.0168
Пациент Th	0.0025	0.0092	0.0281	0.0018	0.0046	0.0099
Отношение Sm/Th	1.88	2.02	1.59	1.83	2.02	1.60

2) второй естественный способ получения количественных характеристик сигналов cD1, cD2, cD3 и ScD1, ScD2, ScD3 состоит в том, чтобы исследовать энергетический спектр их преобразований Фурье. Правильнее использовать не вейвлет-коэффициенты, а компоненты сигналов ScD1, ScD2, ScD3.

Рисунок 14 – Энергетический спектр компонент сигнала пациента Sm

Рисунок 15 – Энергетический спектр компонент сигнала пациента Th

Как и ожидалось, энергетические спектры компонент сигналов на различных частотах достаточно хорошо локализованы. Видна существенная разница спектров двух пациентов, особенно по самой высокочастотной компоненте, соответствующей первому уровню разложению – ScD1 и TcD1;

3) стохастические характеристики [4]. Рассматривая рисунки 10, 11, 13, можно увидеть, что поведение вейвлет-коэффициентов и компонент сигналов является достаточно сложным, имеет характер хаотичности. Для анализа таких хаотических систем в настоящее время разработаны математические методы. Они основаны на том, что по имеющимся одномерным данным можно построить динамическую систему в многомерном фазовом пространстве, для которой наблюдаемая переменная будет одной из координат. Метод построения был предложен Такенсом в 1981 году. Поведение решения динамической системы является достаточно сложным и может восприниматься как хаотическое. Для характеристики таких движений применяется понятие «динамический хаос». В работе Рюэля и Такенса, опубликованной в 1971 году, был введен новый математический образ динамического хаоса – странный аттрактор. Слово «странный» подчеркивает два свойства аттрактора. Это, во-первых, необычайность его геометрической структуры. Размерность странного аттрактора является дробной (фрактальной). Во-вторых, странный аттрактор – это притягивающая область для траекторий. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы, что выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий.

Для оценки хаотических вейвлет-коэффициентов можно использовать такие характеристики, как фрактальная размерность, показатель Херста, корреляционная размерность и размерность фазового пространства.

Фрактальная размерность D_F некоторого множества в n-мерном пространстве определяется как предел

(25)

где – минимальное число n-мерных кубиков с ребром ε необходимых для покрытия данного множества.

Для нетривиальных множеств размерность D_F может оказаться дробной.

Показатель Херста H достаточно известен, он описывает вероятность того, что два соседних отсчёта могут быть одинаковыми. Имеет место формула H = 2 - D_F.

Размерность фазового пространства есть минимальная размерность пространства, в которое можно вложить наш ряд значений в виде динамической системы – странного аттрактора.

Стохастические характеристики кардиосигналов пациентов Sm и Th существенно различны, таблица 3. Поэтому они также представляют диагностическую ценность.

Таблица 3 – Стохастические характеристики компонент кардиосигнала

Пациенты	Показатель Херста	Фрактальная размерность	Корреляционная размерность	Размерность фазового пространства
Пациент Sm	0.2280	1.7669	3.829	32
Пациент Th	0.3103	1.6897	6.423	17

Непрерывный вейвлет-анализ кардиосигнала. Для анализируемых кардиосигналов сделано непрерывное вейвлет-преобразование с использованием вейвлета Добеши db4, выбрав значение масштаба a в пределах от 1 до 600 с шагом 4, сначала для пациента Sm рисунок 3.8, а затем для Th рисунок 3.9. Это значит, что будут отражаться частоты от 731.4 Гц до 1.22 Гц.

Поскольку в данном анализе применяется вейвлет Добеши db4 и Δt = 1/1024, то центральная частота вейвлета, используемого для первого уровня разложения (когда масштабный коэффициент a = 1), равна Fr = 0.7143*1024 = 731.4 Гц. Для значения а = 100 имеем частоту 731.4/100 = 73.14 Гц. Значение а = 200 обеспечивает частоту просмотра 3.66 Гц.

Рисунок 16 – Графики кардиосигнала и спектрограмма пациента Sm

Рисунок 17 – Графики кардиосигнала и спектрограмма пациента Th

Рисунок 18 – Комплекс зубцов электрокардиограммы

На спектрограммах хорошо виден комплекс QRS на высоких частотах, пик T проявляется на более низких частотах. Хорошо отображается пик P, а также виде пик U, едва заметный на кардиограмме. Видны так же другие элементы на высоких частотах, которые на кардиограмме не заметны. Отчётливо видна разница двумерных изображений кардиограмм. Спектрограмма кардиосигнала более наглядно и более полно отражает кардиосигнал.

Удаление шума, компрессия и сглаживание кардиосигнала. В случае кардиографов высокого разрешения кардиосигнал может иметь очень большой объем. Поэтому задача сжатия кардиосигнала является достаточно актуальной. Сжатие сигнала можно провести за счёт удаления шума. Шумом принято считать высокочастотные компоненты кардиосигнала. Удаление шума приводи к сжатию и сглаживанию сигнала. Считается, что верхняя граничная частота нормального (без нагрузки) кардиосигнала, заметно влияющая на её форму, не превышает 100 Гц. Поэтому компоненты сигнала частоты выше 100 Гц можно удалить без существенного изменения формы сигнала. Таким образом получаем один из вариантов сжатия и сглаживания.

Так как использовался для анализа вейвлет Добеши db4, а он имеет центральную частоту Fr = 0.7143 Гц. Разложив сигнал до четвёртого уровня, получаем Fr₄ = 91.8 Гц. Для удаления шума из сигнала, обнуляем детализирующие компоненты cD1, cD2, cD3 и восстанавливаем его по значениям коэффициента cD4. В этом случае получаем сжатие сигнала в 2⁴ = 16 раз. На рисунке 19 можно визуально увидеть различие между зашумленным и сжатым (очищенным) сигналом.

Рисунок 19 – Графики кардиосигнала и его сжатия

Заключение

Целью работы являлось изучение и применение вейвлет анализа в контроле и диагностике для нахождения информативных характеристик и диагностических параметров преобразования, позволяющих проводить обработку и диагностику сигналов, полученных от исследуемых объектов.

В статье рассмотрены существующие средства спектрального анализа, такое как преобразование Фурье, которое является относительно простым алгоритмом спектрального анализа периодического сигнала, но имеет ряд недостатков, оно малопригодно для нестационарных сигналов в виду сложного спектрального распределения таких сигналов во времени, так же не позволяет выделить тонкую структуру сигнала из-за малого соотношения сигнал-шум. Рассмотрены виды вейвлетов, свойства, принципы вейвлет-преобразования сигнала.

Вейвлет-преобразование дает больше информации о спектральном распределении сигнала во времени по сравнению с преобразованием Фурье, что важно при решении многих задач связанных с контролем и диагностикой, т.к. в современное диагностике всё большие требований предъявляются к обработке сигналов с целью получения более детальной (тонкой) информации от объекта контроля.

В работе был проведён многоуровневый, непрерывный вейвлет-анализ кардиосигналов, а так же проведено удаление шума, компрессия и сглаживание кардиосигнала. Полученные результаты показывают, что числовые характеристики высокочастотных компонент кардиосигналов у здорового человека существенно больше по абсолютной величине и более разнообразны по своей структуре, чем у человека с проблемами сердца. Таким образом, вейвлет-анализ позволяет получить принципиально новые характеристики кардиосигнала, новые параметры для проведения диагностики сердечных заболеваний. Вейвлет-спектрограмма кардиосигнала визуально более информативна, чем кардиограмма. Вейвлет-анализ позволяет провести сжатие и сглаживание кардиосигнала, что имеет не малое значение в процессе роста объема полученной информации.

Вейвлет-анализ является весьма сложным, интенсивно развивающимся алгоритмом, требующим больших вычислительных мощностей, а результаты, получаемые с его помощью, как правило, нуждаются в дополнительной обработке и интерпретации. Окончательная постановка диагноза возможна с применением алгоритмов интеллектуальной обработки данных таких, как, например, обучающиеся алгоритмы и искусственные нейронные сети.

Список использованной литературы

1 Астафьева Н.М. Вейвлет анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук. – 2004. – № 166. – С. 1145 – 1170.

2 Блаттер К. Вейвлет анализ / К. Блаттер // Основы теории. – М. : Техносфера, 2004. – 276 с.

3 Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши // Регулярная и хаотическая динамика. – Ижевск : НИЦ, 2004. – 464 с.

4 Куркин С. А. Непрерывный вейвлетный анализ в физике открытых систем / С. А. Куркин // Учебно-методическое пособие. – Саратов : СГУ, 2012. – 81 с.

5 Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла – М. : МИР, 2005. – 338 с.

6 Поликар Р. Введение в вейвлет-преобразование / Р. Поликар – СПб. : АВТЭКС, 2010. – 59 с.

7 Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов / Н. К. Смоленцев – М. : ДМК Пресс, 2005. – 304 с.

Код для цитирования: Скопировать