VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Введение

Когда имеется неопределенность исходных позиций и неопределенность результата, стоит попробовать воспользоваться математическими правилами выбора оптимального решения. В этом в первую очередь может помочь теория игр. Теория игр - это раздел математики, ориентированный на построение формальных моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами. Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались (начиная с 17 в.) многими учёными. Систематическая же математическая теория игр была детально разработана американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном (1944) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития Теория игр переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов. В рамках Теории игр в принципе поддаются математическому описанию военные и правовые конфликты, спортивные состязания, «салонные» игры, а также явления, связанные с биологической борьбой за существование.В данной работе рассматривается применение теории игр в медицине.

В первой части ТПР изложена информация о необходимых для исследования игры с природой понятий: максиминная смешанная стратегия, цена игры в смешанных стратегиях, критерий Байеса.

Во второй части ТПР представлена ситуация из врачебной практики в формализованном виде. Рассматриваемая игра отнесена к классу игр с природой, так как против такого игрока как врач выступает игрок – болезнь. Поскольку целью болезни не является минимизация проигрыша, данную игру нельзя признать антагонистической. Четко обозначены возможные схемы поведения, или стратегии, главного игрока, в нашем случае врача, а также возможные состояния среды, т.е реакции пациента на операцию в зависимости от состояния, в котором он находился до нее.

Целью ТПР является подтверждение предположения о том, что даже основные элементы теории игр могут успешно применяться таких сферах деятельности, как медицина.

1.Теоретическая часть

1.1 Игры с природой

Данная задача представляет собой задачу игры с природой, природа в данном случае выбирает заболевание пациента. В игре с природой осознанно действует только один игрок, а именно: лицо, принимающее решение; обозначим его через А. Природа, обозначим ее через П, является вторым игроком, но не противником игрока А, т.к. она не действует осознанно против игрока А, а принимает неопределенным образом то или иное свое состояние, не преследуя конкретной цели и безразлично к результату игры.

Пусть игрок А имеет т возможных стратегий , а природа П может находиться в одном из п состояний , которые можно рассматривать как ее "стратегии". Выигрыш игрока А при выбранной им стратегии , и при состоянии , природы П обозначим . Так же, как и в матричной игре, из выигрышей игрока А можно сформировать матрицу выигрышей игрока А (матрицу игры, платежную матрицу),

	П1	...	Пn
A1	a11	...	a1n
...	...	...	...
Am	am1	...	amn

которая содержательно отличается от матрицы антагонистической игры тем, что элементы столбцов не являются проигрышами природы при соответствующих ее состояниях.

Задача выбора игроком А чистой или смешанной стратегии, более эффективной, чем остальные, в игре с природой, с одной стороны, проще аналогичной задачи в антагонистической игре, поскольку в игре с природой отсутствует систематическое противодействие игроку А, а с другой стороны, эта задача осложняется наличием неопределенности, связанной с дефицитом знанийо характере проявления состояний природы.

Если какая-нибудь из стратегий игрока А окажется доминирующей каждую из остальных его стратегий, то она и должна выбираться игроком А в качестве предпочтительной, поскольку его выигрыш при этой стратегии и при любом состоянии природы П не меньше выигрыша при любой из остальных стратегий. Таким образом, в играх с природой можно и полезно пользоваться принципом доминирования стратегий игрока А. Однако принцип доминирования состояний природы недопустим, поскольку природа не выбирает свои состояния с целью уменьшения выигрышей игрока А, для неё нет более или менее эффективных состояний. Это обстоятельство является еще одним свойством, отличающим игры с природой от антагонистических матричных игр. При решении вопроса о выборе возможной стратегии в игре с природой игрок А должен исходить из матрицы выигрышей. Однако матрица выигрышей не всегда адекватно отражает имеющуюся ситуацию. На выбор стратегии должны влиять не только выигрыши, составляющие матрицу игры, но и показатели "удачности" или "неудачности" выбора данной стратегии при данном состоянии природы и благоприятности этого состояния для увеличения выигрыша.

Показателем благоприятности состояния природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, т. е. наибольший элемент в столбце матрицы игры: . Таким образом, благоприятность состояния природы рассматривается как фактор, увеличивающий выигрыш игрока А при этом состоянии природы. В теории антагонистических матричных игр эта величина представляла собой показатель неэффективности стратегии игрока В.

Для определения степени удачности применения игроком А стратегии при состоянии природы П вводят понятие "риска". Риском игрока А при выборе им стратегии в условиях состояния природы П называется разность между показателем благоприятности состояния природы и выигрышем , т. е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние , и выигрышем, который он получит при этом же состоянии , выбрав стратегию , т. е.

Таким образом, риск игрока А при применении стратегии в условиях состояния природы естьупущенная им возможность максимального выигрыша при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется невыигранной частью величины максимального выигрыша .

Из формул следует, что риск для любых и неотрицателен: . Можно установить и верхнюю границу рисков для каждого состояния природы . Для этого введем в рассмотрение величину, представляющую собой наименьший выигрыш игрока А при состоянии природы . Тогда . Разность естественно назвать колебанием выигрышей при состоянии природы , .

Если , то , т. е. стратегия при состоянии природы , является безрисковой. Если , то риск , который по определению равен является максимальным. Следовательно, по критерию риска стратегия , в этом случае наихудшая. Если , то все выигрыши в столбце матрицы игры равны между собой: и риск . Поэтому в этом случае любая стратегия игрока А при состоянии природы - безрисковая.

Для матрицы Аматрица рисков R_Aимеет ту же размерность и следующий вид:

	П1	...	Пn
A1	r11	...	r1n
...	...	...	...
Am	rm1	...	rmn

Можно отметить, что матрица выигрышей Аоднозначно порождает матрицу рисков R_A, поскольку каждый риск однозначно определяется соответствующими показателем благоприятности состояния природы и выигрышем . Обратное неверно: одна и та же матрица рисков может соответствовать разным матрицам выигрышей. Т.е. одинаковые выигрыши при одной и той же стратегии и при различных состояниях природы могут быть неравноценными в смысле рисков. Одинаковые же выигрыши при разных стратегиях, но при одном и том же состоянии природы всегда равноценны. В самом деле, если - одинаковые выигрыши соответственно при разных стратегиях и и при состоянии природы , с благоприятностью то

В теории игр с природой в зависимости от имеющейся информации различают две ситуации. В ситуации, когда либо известны вероятности, с которыми природа принимает свои состояния, либо вероятности состояний природы устанавливаются в результате опроса экспертов и усреднения их показаний, говорят о "принятии решения в условиях риска". А в ситуации, когда вероятности возможных состояний природы неизвестны и нет никакой возможности получить о них какую-либо информацию,говорят о "принятии решения в условиях неопределенности".

1.2 Критерий Байеса относительно выигрышей

Предположим, что нам известны состояния , в которых может находиться природа , и соответствующие вероятности , с которым природа реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска.

Показателем эффективности стратегии по критерию Байеса относительно выигрышей называется среднее значение, или математическое ожидание выигрыша -ой строки с учетом вероятностей всех возможных состояний природы. Обозначая это среднее значение через , будем иметь . Таким образом, представляет собой взвешенное среднее выигрышей -ой строки, взятых с весами .

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей считается стратегия с максимальным показателем эффективности, то есть с максимальным средним выигрышем, т.е. выбранное решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

1.3 Максимин матричной игры

Нижней ценой игры (или максимином) матричной игры в смешанных стратегиях называется величина

2. Практическая часть

2.1 Постановка задачи

Больной находится в одном из трех (недиагностируемых) состояний , которые соответствуют трем несовместимым заболеваниям:

– острое заболевание, при котором срочная операция необходима,

– заболевание, при котором срочная операция не требуется,

– заболевание, при котором срочная операция противопоказана.

Врачу необходимо принять решение, проводить ли срочную хирургическую операцию. При этом у него имеется две стратегии:

- проводить срочное оперативное вмешательство,

- отказаться от срочной операции.

Матрица вероятностей летального исхода при разных сочетаниях , и , , имеет следующий вид:

Mc	П1	П2	П3
А1	0,02	0,05	0,4
А2	0,2	0,01	0

Требуется расчетным путем обосновать оптимальное решение врача в данной ситуации:

1. при использовании максиминной смешанной стратегии для показателя выигрыша (вероятность выздоровления больного, и для показателя полезности , где - риск, , - показатель благоприятности состояния больного для увеличения выигрыша;

2. в случае, когда известны априорные вероятности состояний: на основе максимизации среднего значения выигрыша;

3. в случае, когда .

2.2 Решение задачи

Начнем с первого пункта задачи. Для начала построим матрицу выигрыша, по формуле и добавим - показатели благоприятности состояния больного для увеличения выигрыша :

	П1	П2	П3
А1	0,98	0,95	0,6
А2	0,8	0,99	1
bj	0,98	0,99	1

Матрица рисков будет иметь вид:

	П1	П2	П3
А1	0	0,04	0,4
А2	0,18	0	0

И, наконец, матрица полезности :

	П1	П2	П3
А1	0,98	0,91	0,2
А2	0,62	0,99	1

Воспользуемся определением максимина игры и найдем оптимальную смешанную стратегию для матрицы выигрышей:

P0 =	0,344827	0,655173
H (P0 ,Bj) =	0,862069	0,976207	0,862069
α (P0) =	0,862069
V =	0,862069

При вычислении максимума показателя эффективности смешанной стратегии использовался поиск решения из табличного редактора Excel. Итак, мы получили, что в 34,48% случаев врачу следует делать операцию, а в 65,52% – нет . При этом вероятность успеха в среднем равна 86,21%.

Выполним аналогичные расчеты для показателей полезности:

P0 =	0,327429	0,672571
H (P0 ,Bj) =	0,737874	0,963806	0,738057
α (P0) =	0,737874
V =	0,737874

Если врач будет проводить операцию в 32,74% случаев и не проводить в 67,26%, то показатель полезности в среднем будет равен 73,79%.

В случае, когда известны априорные вероятности состояний: будем искать показатели эффективности по критерию Байеса:

	П1	П2	П3	ā1
А1	0,98	0,95	0,6	0,93
А2	0,8	0,99	1	0,896

Оптимальной стратегией в данном случае будет стратегия , так как у нее максимальный показатель эффективности по критерию Байеса, то есть врачу при таком распределении вероятностей состояний больного следует делать операцию.

Если вероятности состояний равны: , то можно использовать критерий Лапласа и за показатель эффективности принять сумму выигрышей данной стратегии.

	П1	П2	П3	ā1
А1	0,98	0,95	0,6	0,93
А2	0,8	0,99	1	0,896

По данному критерию врачу следует делать операцию.

Заключение

В результате проведения ТПР можно с уверенностью утверждать, что при грамотном подходе теория игр способна спасти жизнь человека почти с единичной вероятностью.

В ходе работы был рассмотрен теоретический материал, на основе которого была построена модель игры, описывающая возможную ситуацию в больнице. Модель включала в себя набор стратегий игрока (врача) и набор состояний природы (болезни), а также матрицу «выигрышей» игрока (матрицу вероятностей летального исхода). Для определения стратегии игрока использовались различные методы в зависимости от начальных условий. В рассмотренной задаче при наличии заданных вероятностей согласно критерию Лапласа и Байеса в результате анализа матрицы эффективности игроку следует придерживаться стратегии , без наличия заданных вероятностей использование поиска оптимального решения в смешанных стратегиях привело игрока к выбору стратегии .

Таким образом, можно сказать, что, опираясь на базовые моменты теории игр можно построить вполне рабочую модель, имеющую решение, которая может привести к неочевидным результатам. При этом очень важно максимально полно описать ситуацию и верно ее формализовать, иначе можно столкнуться с получением противоречивых результатов.

Список литературы:

1. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2006. - 208 с.

2. Васин А.А., Морозов В.В. Введение в теорию игр с приложениями к экономике. – М., 2003. - 278 с.

3. Абульханова-Славская К.А. Стратегия жизни. — М., 1991.

4. Крушевский А.В. Теория игр. – Киев, 1977.

5. Оуэн Г. Теория игр. – М.: Мир, 1971.

6. http://www.cfin.ru/

Код для цитирования: Скопировать