VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В практической деятельности с некоторой степенью приближения можно свести случайные процессы к марковским.

Случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из состояние S_i в какое-то другое состояние S_jне зависит от того, когда и как система пришла в состояние S_j. В лабораторной работе рассматриваются вопросы применения марковских цепей на примере моделирования поведения лягушки в естественной среде обитания (биологическая система).

I.1 Выберем математическую модель для описания биологической системы.

1. K – лягушка сидит на кочке

2. Л – лягушка находится на листе

3. В – лягушка плавает в воде

Зная вероятности переходов из одного состояния в другое и ее начальное положение, определить вероятности пребывания лягушки в каждом состоянии через nшагов (nминут).

I.2 Обоснование выбора модели

Так как переход лягушки из одного состояния в другое состояние зависит только от ее положения в данный момент, мы имеем дело с марковским случайным процессом.

Для моделирования принимаются следующие допущения:

1. Будем считать, что лягушка совершает прыжки (меняет состояние) строго через определенные промежутки времени (через одну минуту).

2. Считаем, что количественные характеристики случайных событий наблюдались при достаточно большом числе опытов и незначительно колеблются относительно среднего значения

Поскольку лягушка меняет свое состояние в дискретные моменты времени, мы имеем дело со случайной последовательностью, а так как вероятности перехода не зависят от шага и предыстории (допущение 2), то – с однородной марковской погрешностью.

I.3. Обработка результатов моделирования

Представим нашу систему (лягушка+среда обитания) в виде ориентированного графа, в котором вершины соответствуют состояниям системы К,Л,В, а дуги обозначают возможные переходы из одного состояния в другое. Дуги, соединяющие две вершены S_iи S_jпомечаются соответствующими вероятностями периода P_ij.

Данный граф можно представить в виде матрицы переходов П

K Л В

П= P11P12P13P21P22P23P31P32P33

Вероятности перехода P₁₁, P₂₂,P₃₃ характеризуют вероятность того, что лягушка не изменит своего текущего состояния.

Состояние лягушки на шаге nбудем характеризовать вектором вероятностиP(n)=(P₁(n), P₂(n),P₃(n)), где P₁(n), P₂(n), P₃(n) – вероятности нахождения лягушки в состояниях К, Л, В соответственно. Например, если вероятность образует набор (1,0,0), то это значит, что лягушка находится на кочке, а в случае набора (1/3, 1/3, 1/3) все состояния равновероятны.

В теории марковских процессов доказано, что вектор вероятности состояний P(n) определяется через начальное состояние вектора вероятности P(0) по формуле:

Pn=P0*Пn,

где Пn – переходная матрица, возведенная в степень n

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с различными видами случайных процессов, методами построения математических моделей на основе марковских процессов.

2. Получить задание у преподавателя

3. Разработать алгоритм, моделирующий поведение биологической системы

4. Выполнить моделирование биологической системы при n=5,10,15 мин, т.е. определить вектор вероятности состояний P(n)

5. Установить тенденцию изменения вектора вероятности состояний P(n) при возрастании n.

6. Оформить отчет.

Содержание отчета

1. Название и цель работы.

2. Постановка задачи моделирования системы с данными своего задания.

3. Алгоритм моделирования системы.

4. Результаты расчетов.

5. Выводы по работе.

В данном случае, расчет вероятностей сводится к работе с матрицами. Зададим в MicrosoftExcel в виде таблицы вектор начального состояния и переходную матрицу П (таблица 1):

Таблица 1

Далее возводим переходную матрицу П в степень n (5, 10, 15). Т.к. в Excel отсутствует функционал, позволяющий это сделать, поэтому воспользуемся VBA:

Исполняя программу, возводим переходную матрицу в степень n=5 и умножаем на вектор начального состояния. Результат приведен в таблице 2.

Таблица 2.

Вектор вероятности состояний для n=5 имеет вид:

P(5)=(2,41308; 2,08212; 0,94692)

Для случая n=10 действия аналогичны, разве что желательно изменить формат ячеек на «Числовой» и добавить знаков после запятой, для большей точности и наглядности. (таблица 3)

Таблица 3.

Вектор вероятности для n=10 имеет вид:

P(10)=(12,31928; 10,61505484; 4,828289)

Для случая n=15: (таблица 4)

Таблица 4.

Вектор вероятности для n=15 имеет вид:

P(15)=(62,84869703; 54,15436324; 24,63226793)

Таблица 5.

Варианты исходных данных

1^ Необходимо учитывать, что в данном примере действует жесткая привязка формул к ячейкам. В случае выполнения работы, в каждом конкретном случае - ссылки на ячейки будут отличаться.

2^ Выражение (7), заданное в виде соотношения значений ячеек в MS Excel.