VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции называли задачи на вычисление площадей. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу».

Многие достижения математиков Древней Греции в решении задач о нахождении крадратур (площадей) и кубатур (объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 – ок. 355 гг. до н. э.). Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом (ок. 287 – 212 гг. до н. э.). Его идеи, связанные с вычислением площадей и объемов тел, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа и интегрального исчисления, сделанное почти 2000 лет спустя.

Символ интеграла введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же в 1696г. появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

В современном мире понятие «определенных интеграл» используется не только в алгебре и математическом анализе, но и в таких дисциплинах, как физика, геометрия и экономика. Более детальному рассмотрению использования этого понятия при решении экономических задач и посвящена данная работа.

С помощью такого понятия, как «определенный интеграл» можно вычислить потребительский излишек (CS – consumer`s surplus). Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене. Еще одно понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения.

Перейдем теперь к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка. Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E_0(P0; Q₀) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа, рис. 1).

Если покупатель приобретает товар в количестве Q₀ по равновесной цене P₀, то общие расходы на покупку такого товара составят P₀Q₀, что составит площадь прямоугольника ОQ₀E_0P0.

Но предположим, что товар в количестве Q₀ продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка. Стоит отметить, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q₁ = ∆Q, который продается по цене P₁ = f(Q1). Так как по предположению величина Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P₁, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P₁ ∆Q. Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P₂ = f(Q₂), где Q₂ = Q₁ + ΔQ – общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P₂ ΔQ. Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q₀ = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина ΔQ для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q₀. В результате получим, что цена n-й партии товара P = f(Qn) = f(Q₀) = P₀, а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят PnΔQ, или площадь прямоугольника Sn.

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями ΔQ равны

SB=0Q0fQdQ

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса P_i = f(Q_i):(i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q₀ единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника ОQ₀E_0P0 есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение. Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле: CS=0QofQdQ-PoQ0.

С помощью определенного интеграла решаются также задачи на определение объема продукции, произведенной за определенный промежуток времени. Пример. Найти объем продукции, произведенной рабочим за четвертый час рабочего дня, если производительность труда характеризуется следующей функцией:

ft=5+31+3t

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то V продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ доt₂, будет выражаться формулой:

V=t1t2ftdt, V=345+31+3tdt=534dt+334dt1+3t=5t|43+33 44d1+3t1+3t= =[5t+ln(3t+1)]|43=20+ln13-15-ln10=5+ln1,3 ~5,3(ед.)

Ответ: за 4-й час рабочий произведет 5 единиц продукции.

Еще один аспект применения определенного интеграла - определение объема запаса, накопленного за определенный промежуток времени.Пример: найти запас товаров в магазине, образуемый за 2 дня, если поступление характеризуется формулой: f(t)=25+8t.

Решение.Аналогично рассуждая, становится понятно, что объем запаса находится как:

V=t1t2fdt

c единственной лишь разницей: в качестве t₁ следует принять нуль, так как это позволит рассчитать объем, запасенный не только за второй день, как если бы аналогично вышеописанной задаче мы приняли за t₁ единицу, а именно за все прошедшие дни, в данной случае – за первые 2.

V=0225+8tdt=(25t+8t22)|20=50+16=66(ед.)

Ответ:за 2 дня при заданной функции поступления в магазине образуется 66 единиц товара запаса.

Литература.

1. Пустобаева О.Н. «Определенный интеграл и его приложения». Математика. Образование: Материалы XVII международной конференции. Двухязычное(билингвальное) обучение в системе общего и высшего профессионального образования: Материалы I международного симпозиума. Чебоксары: Издательство Чуваш. ун-та, 2009.

2. Макаров С. И., «Математика для экономистов»: учебное пособие/С. И. Макаров. – 2-е изд., стер. – М.:КНОРУС, 2008.

Код для цитирования: Скопировать