VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Особенностью современных методов исследования экономических, технологических и социальных процессов является формализация их анализа при помощи математических моделей, широкое применение численных методов, средств вычислительной техники и современного программного обеспечения. Все это обуславливает необходимость подготовки специалистов, владеющих математическим аппаратом, умеющих использовать математические пакеты и электронные таблицы для решения научных и производственных задач.

Интерполяция − способ обработки экспериментальных данных, предложенный еще в 18 веке Ньютоном и Лагранжем. Сущность метода заключается в следующем. Пусть исследуемая функция y = f(x) задана таблицей своих значений {x_i,y_i}. Это означает, что дискретному множеству аргумента {x_i} поставлено в соответствие множество значений функции {y_i} (i=0,1,2,...,n). Эти значения либо результаты расчетов, либо, чаще всего, экспериментальные данные.

Задача интерполирования обычно ставится в следующей форме: найти аналитическую зависимость определенного вида, которая принимает заданные значения y_i в заданных узлах x_i. Этот процесс может быть назван аналитической заменой. Классический численно-аналитический подход заключается в том, что табличная зависимость заменяется многочленом, с которым легко можно выполнить любые действия.

Итак, определим многочлен

Pn(x)=c₀xn+ c₁x^n-1+ ... + c_n-1x+ cn,

значения которого в точках (x_i) (i=0,1,...,n) совпадают со значениями данной функции, т.е. Pn(x_i) = y_i(x_i). Геометрически это означает, что нужно найти кривую вида y = Pn(x) , график которой проходит через заданное множество точек.

Многочлен Pn(x) называется интерполяционным многочленом. Точки {x_i,y_i} называются узлами интерполяции. Доказано, что в указанной постановке задача интерполирования всегда имеет единственное решение.

Интерполяционные формулы обычно используются при нахождении неизвестных значений функции f(x) для промежуточных значений аргумента. При этом различают интерполирование, когда x₀  x  xn и экстраполирование, когда x  xn или x  x ₀. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами: inter – между, внутри, extra – вне, pole – узел.

В известном смысле задача интерполирования обратна задаче табулирования функций. Именно при табулировании по аналитическому выражению функции находится таблица её значений, а при интерполяции, наоборот, по таблице значений функции строится её аналитическое выражение.

Поставленная задача отыскания многочлена Pn(x) может быть решена путем различных подходов. Из условия Pn(x_i) = y_i, имеем систему

(i=0,1,2,....,n) (1)

Такой способ введения аппроксимирующей функции называют лагранжевой интерполяцией, а условия (1) – условиями Лагранжа. Аппроксимирующая функция, удовлетворяющая условиям Лагранжа, называется интерполяционной функцией.

Нахождение искомых коэффициентов сводится к решению системы (n+1) линейных алгебраических уравнений с (n+1) неизвестными. Эта система имеет единственное решение, если значения x_i отличны друг от друга.

Пусть, например, требуется интерполировать представленную табличную зависимость

х	1	2	3	4
у	5	1	4	3

кубическим многочленом Р(x)=Aх³+Bх²+Сх+D.

Если эти табличные значения изобразить на координатной плоскости, то, соединив их отрезками прямых, получим ломаную 1-2-3-4. Ставится задача: интерполировать эту табличную зависимость многочленом 3-й степени

т.е. найти такие коэффициенты A,B,C,D чтобы график многочлена прошел через заданные точки.

Эти коэффициенты можно найти из решения системы y(x_i) = y_{i ,} (i=1,2,3,4)

(2)

В матричной форме эта система в общем виде для заданной таблицы будет иметь вид Х*K=Y:

Для решения системы линейных уравнений (СЛАУ) используем матричный метод. Обе части матричного равенства ХK=Y умножим слева на обратную матрицу Х^-1. Получим Х^-1XK = X ^-1Y. Т.к. Х^-1X =E, где E – единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю). Тогда решение системы запишется в виде K= X ^-1Y. Т.е. для решения системы, вычисления вектор-столбца коэффициентов K, необходимо найти для матрицы X обратную X ^-1 и умножить ее справа на вектор-столбец Y свободных членов.

Решим систему (2) с помощью электронных таблиц MS Excel. Задав матрицы Х и Y (смотри рабочий лист Excel), воспользуемся встроенными функциями MS Excel. Выделим диапазон A7:D10 и вызовем матричную функцию =МОБР(A7:D10). Нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER и найдем обратную матрицу.

Далее выделим диапазон F7:F10 и введем формулу =МУМНОЖ(A14:D17;F7:F10) и закончим работу с матричной функцией МУМНОЖ трехклавишной комбинацией CTRL+SHIFT+ENTER.

Решив эту систему, получим искомый многочлен

Используя найденный полином 3-й степени, выполним прогноз значения у при х_прог =4,17. Подставляя значение переменной х=4,17 в многочлен, получим у_прог= 1,6409.

Рассмотренную задачу можно решить, используя различные компьютерные программы. Существуют различные пакеты прикладных программ (ППП) для решения задач вычислительной математики (EUREKA, DERIVE, MATHCAD, MATLAB и др.).

Приведем пример решения рассматриваемой задачи с помощью математического пакета MATHCAD.

Построить интерполяционный полином можно и с помощью встроенной функции MATHCAD regress(x,y,3), где х и у – известные вектор-столбцы, 3 – степень получаемого полинома.

Код для цитирования: Скопировать