VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

В методологии науки известен ранговый анализ, заключающийся в построении и анализе ранговых распределений (РР). РР – это распределение, полученное в результате процедуры ранжирования последовательности значений параметров Wбольшого числа объектов системы, поставленных соответственно рангу r в порядке убывания этого параметра W. Распределение Гаусса представляет собой функцию f(x) вероятности обнаружения параметра xв определённом малом интервале значений x. Какую форму будет иметь график РР набора чисел случайных величин Гауссового распределения (ГР)? Поиск ответа на этот вопрос составил задачу исследования.Для решения задачи была использована совокупность значений случайных величин ГР – 49 измерений выходного напряжения логического нуля ММС выборки из пособия [1, с.76]. Измеренные значения напряжения лежат в интервале 720-860 мВ.

На первом этапе решения задачи было построено табулированное РР 49 измерений выходного напряжения по данным [1, с.76]. При этом, следуя обозначениям величин в РА, ранжируемая величина W = U_вых .

На втором этапе по данным табулированного РР построен график соответствующего ему РР (рис. 1), из которого видно, что РР – это S–образная кривая, симметричная относительно биссектрисы прямого угла, образующего координатные оси. Справа на рис.1 приведена соответствующая ему гистограмма ГР из пособия [1, с.76], повёрнутая для наглядности на 90 градусов относительно графика РР. При этом максимум ГР приходится на интервал 770-790 мВ, а его ось симметрии проходит через значение U_вых = 780∙10^-3 В, большинство значений напряжения заключено в пределах 780-800 мВ. Следовательно, S–образный вид РР W(r)свидетельствует о принадлежности совокупности параметровW к ГР. Дальнейшее исследование свелось к нахождению ответа на вопрос: «Как влияет дисперсия ГР на вид S–образного графика РР» ?

Рис. 1. Соотношение рангового и Гауссового распределений.

Слева: РР значений выходного напряжения W(r) , W – выходное напряжение, мВ, r – ранговый номер значения напряжения; справа: соответствующее ему Гауссово частотное распределение f_i, %, этих же величин из пособия [1, с.76] .

Для решения этой задачи был составлен алгоритм генерации псевдослучайных чисел (выборка 10000) в рамках программы Matlab с использованием метода обратных функций, позволяющий осуществить имитационное моделирование случайных чисел с заданным ГР. В результате были построены 9 графиков ГР с дисперсиями 5 ,10, 15, 20, 25, 30, 50, 75, 100. Далее значения всех случайных величин были проранжированы в порядке убывания параметра W и, соответственно этим ГР, были построены 9 графиков ранговых распределений W(r). Для примера на рис. 2 ( а , б, в ) приведены три графика гауссовых распределений с дисперсиями 10 (а), 30 (б) и 50 (в) (слева) и, соответствующие им, ранговые распределения этих же величин W(r) (справа) [2]. Из графиков видно: с увеличением дисперсии в гауссовом распределении крутизна S–образной характеристики РР уменьшается, угол α между касательной к S–кривой в точке перегиба и горизонтальной осью увеличивается. При этом диапазон значений величин W также увеличивается.

 

а)

 

 

б)

 

 

в)

 

Рис.2. Гауссовы частотные распределения f_i с разными дисперсиями (а – 10, б – 30;,

в – 50) и, соответствующие им, РР этих же величин W(r) .

Дальнейшее исследование свелось к нахождению ответа на вопрос: «Какова эмпирическая зависимость тангенса угла наклона касательной к S–образной кривой в точке перегиба и горизонтальной осью от дисперсии соответствующих Гауссовых распределений Tgα (σ)?».

Результаты построения такого графика для 9 значений представлены на рис. 3 в соответствии с таблицей эмпирических данных 1.

Табл.1. Эмпирические данные к графику рис. 3.

σ	5	10	15	20	25	30	50	75	100
Tgα	1,4	2,8	3,6	4,8	6,4	8	12,8	18	24

Рис. 3. Эмпирическая зависимость Tgα (σ)

Из графика 3 следует, что зависимость Tg α (σ) является прямо пропорциональной с высокой степенью точности: квадрат коэффициента регрессии приближается к единице.

Выводы

• Методология научных исследований пополнилась дополнительным способом, позволяющим идентифицировать принадлежность выборки значений случайных величин к Гауссовому распределению. Для этого необходимо построить графическое РР этих случайных величин и убедиться, что оно имеет S–образный вид.

• зависимость тангенса угла наклона касательной к S–образной кривой в точке перегиба и горизонтальной осью Tgα (σ) представляет собой .

• выявлена линейная эмпирическая зависимость тангенса углов наклона касательных к точке перегиба S–образных кривых РР выборки случайных величин и горизонтальной осью от дисперсии соответствующих им Гауссовых распределений Tgα (σ).

Литература

1. Семёнов Ю.Г. Контроль качества/ Технология полупроводниковых приборов и изделий микроэлектроники. Кн. 10 /– М.: Высш. шк., 1990. – 111 с.

2. Гурина Р.В., Евсеев Д. А. О соотношении Гауссового и рангового распределений/ Теоретические и прикладные вопросы науки и образования: сб. науч. тр по материалам Междунар. науч.-практ. конф 31 августа 2013 г. Часть1. – Тамбов. – 2013. – С.47-49. http://www.ucom.ru/doc/conf/2013_08_31_1.pdf

3. Дятлова М. В., Евсеев Д. А. О соответствии распределений Ципфа и Гаусса/ Физик и ее преподавание в школе и вузе: материалы всероссийской научно-практической конференции преподавателей высшей и средней школы. IX Емельяновские чтения. Йошкар-Ола, 2011. С. 100-103.

 

 

Код для цитирования: Скопировать