VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Введение

Работа «ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СИЛ ТРЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЕЗДА» (далее по тексту – Работа) выполнена студентами 2 курса специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений».

Работа относится к разделу «Динамика» дисциплины «Теоретическая механика» и включает в себя 4 раздела: «Движение без учета сил трения», «Учет силы трения скольжения», «Учет силы вязкого трения» и «Учет сил вязкого трения и трения скольжения».

Некоторые ресурсы [1] утверждают о том, что в недрах земли существуют межконтинентальные тоннели.

Возможно, эта информация стала мотивом постановки задачи о движении по прямому тоннелю внутри Земли. В XVII столетии Роберт Гук в письме к Исааку Ньютону представил идею ускорения объекта в планете [2].

Основной смысл этой идеи заключается в том, что тело в прямолинейном канале внутри Земли передвигается под действием одной силы гравитационного притяжения, которая первую половину пути будет ускорять тело, а вторую половину – тормозить. Если не учитывать трение, то тело достигнет конца канала. Вид транспорта, движение которого происходит под действием сил гравитационного притяжения, впоследствии был назван «Гравитационным поездом» (далее – ГП).

Таким образом, «Гравитационный поезд» – теоретическое средство транспорта, позволяющее перемещаться между двумя пунктами, расположенными на поверхности Земли, посредством прямого тоннеля, то есть сквозь планету.

Однако, несмотря на строгое определение, существует несколько моделей ГП, возникшие вследствие проблем прямого тоннеля.

Примером такой проблемы является скопление воды в центре тоннеля, именно поэтому появились модели канала с параболической траекторией (рисунок 1), которые частично решают проблему скопления воды, но приобретают проблемы видимости и энергопотребления. А так как основной идеей ГП является минимальные затраты энергии, модели с траекториями, отличными от прямой, стали неактуальны.

Задача о движении ГП по прямолинейному каналу без учета трения была решена в XVIII веке. Однако интерес к данной задаче не угасает до сих пор, так как ГП является перспективным видом транспорта на фоне современных проблем энергопотребления.

Целью работы является исследование движения ГП при учете сил трения скольжения и вязкого трения.

Задачи Работы:

1. вывод уравнений движения ГП;

2. нахождение начальной скорости, обеспечивающей движение ГП до конца канала.

Актуальность Работы определяется ограниченностью ресурсов, используемых в качестве топлива. ГП позволяет перемещаться на большие расстояния за относительно короткое время при минимальных затратах топлива.

Новизна Работы заключается в получении уравнений движения, когда на ГП помимо сил гравитационного притяжения действуют силы трения скольжения и вязкого трения.

Апробация. Работа в виде двух сообщений, занявших призовые места, была доложена на заседании секции «Теоретическая механика» XVII научно-образовательной конференции студентов ТюмГАСУ, и была опубликована в двух статьях [3], [4].

Движение без учета сил трения

Рассмотрим задачу, поставленную Робертом Гуком в XVII веке и решенную спустя столетие.

Материальная точка без начальной скорости из положения А в положение В по прямому каналу в Земле. Длина хорды АВ - 2а (рисунок 2). Радиус Земли R. Пренебрегая силами трения, определить закон движения точки по прямолинейному каналу.

Решение: изобразим точку в произвольном положении.

Силы, действующие на точку: сила гравитационного притяжения F, модуль которой определяется формулой [5]:

F=mgrR, (1)

где r =MC – расстояние от точки М до центра земли; N - реакция опоры.

Второй закон Ньютона для данного тела:

ma=F+N (2)

Помести начало отсчета в точку О, ось x направим вправо. Запишем выражение (2) в проекции на ось Ox:

max=Fx (3)

или

mx=-mgrRcosα. (4)

Вводя замену g/R=k², получим:

x+k2x=0 (5)

Решение этого уравнения при начальных условиях (x0=-a; v0=0) имеет вид:

x=a coskt (6)

Таким образом, тело будет совершать гармонические колебания в канале АВ. Подставляя в решение (6) конечное условие x1=a, находим время движения тела по каналу из точки А в В:

t1=πRg≈42 мин 11 с (7)

Это время не зависит от длины канала АВ, то есть при отсутствии сил трения перемещение по прямолинейному каналу из любой точки планеты в любую другую точку планеты будет занимать одно и то же время.

Учет силы трения скольжения

Рассмотрим эту же задачу о движении ГП, но с учетом силы трения скольжения (рисунок 3).

Требуется найти уравнение движения тела в канале.

Примем обозначения: AB=2a;OC=l.

Сила трения скольжения:

Fтр=fN, (8)

где f – коэффициент трения, N– реакция стенки канала.

В нашем случае:

N=Fsinα=mgrRlr=mglR, (9)

Где r – расстояние от точки М до центра Земли С, f – коэффициент трения скольжения.

Отсюда следует, что сила N – по модулю величина постоянная.

Запишем второй закон Ньютона:

ma=F+N+Fтр (10)

В проекции на ось Ox получим:

max=-Fтр-Fcosα=-fmgrR lr-mgrR xr (11)

или

x+k2x=-k2fl, (12)

где обозначено: k2=gR, x – проекция ускорения точки на ось Ох.

Решение дифференциального уравнения (12) имеет вид:

x=Asin(kt+φ)-flx=Akcos(kt+φ) , (13)

где А и φ – постоянные интегрирования. Определяем их из начальных условий:

при t0=0 x0=-ax0=v0 (14)

Подставив эти условия в решение (13), получим:

tg φ= flk-akv0; (15)

A=(fl-a)2+v02k2 (16)

Из первого уравнения решения (13) следует, что ГП не достигнет конца канала. Будем решать эту проблему путем сообщения ГП начальной скорости v0, которая бы обеспечивала в конце канала скорость vτ=0. Подставим в решение (13) конечные условия:

при t=τ xτ=axτ=0, (17)

тогда:

a=Asinkτ+ φ-fl0=Akcos(kτ+ φ) . (18)

После преобразований получим:

(fl+a)2=(fl- a)2+v02k2 (19)

Найдем из выражения (19) начальную скорость v0:

v0=k(fl+a)2-(fl- a)2=2kfla=2fgaR2-a2R (20)

Из формулы (20) следует, что начальная скорость будет зависеть от двух величин: коэффициента трения скольжения f и расстояния a. Эта зависимость не является линейной.

Используя конечные условия (17), определим время движения ГП по каналу АВ, при начальной скорости v0:

τ=arcsina+flA-arctgflk-akv0k (21)

Из (21) следует, что τтак же, как и v0 зависит от двух величин: коэффициента трения скольжения и расстояния а.

Представим зависимости (20) и (21) в виде графиков, изображенных на рисунках 4 и 5. Соответствующие поверхности наглядно демонстрируют зависимость v0 и τ от параметров f и a.

На рисунках 4 и 5 значения начальной скорости v0 указаны в метрах в секунду, время τ в секундах, расстояние а в метрах.

Из рисунка 4 следует, что начальная скорость v0 пропорциональна произведению корней коэффициента трения скольжения f и расстояния а.

Время движения τ, как видно из рисунка 5, пропорционально корню расстояния а и обратнопропорционально коэффициенту трения скольжения f, однако вид последней зависимости более сложный.

О верности полученных результатов свидетельствует то, что при f =0 ГП для достижения конца канала не требуется начальная скорость, а время двиджения немного больше 2500 секунд, то есть примерно 42 минуты. Этот результат, был получен в задаче, решенной без учета сил трения.

Учет силы вязкого трения

Рассмотрим ту же задачу с учетом силы вязкого трения, но без учета сил трения скольжения. Найдем уравнение движения ГП в канале.

Примем обозначения: AB=2a;OC=l.

Сила вязкого трения:

Fтр=μv,(22)

где μ – коэффициент вязкого трения, v – скорость движения точки.

Запишем второй закон Ньютона для данного тела:

ma=F+N+Fтр (23)

В проекции на ось Ox (23) получим:

max=-Fтр-Fcosα=-μvx-mgrR xr (24)

После преобразований, имеем дифференциальное уравнение:

x+2bx+k2x=0, (25)

где обозначено 2b=μm, k2=gR.

Рассмотрим случай, когда k>b, то есть рассмотрим затухающие колебания.

В этом случае, решение уравнения (25) имеет вид [6]:

x=Ae-btsin(ut+φ) x=Ae-bt(ucos(ut+φ)-bsin(ut+φ)), (26)

где u=k2-b2, А и φ – постоянные интегрирования. Определяем их из начальных условий:

при t0=0 x0=-ax0=v0 (27)

При начальных условиях (27) из решения (26) получим:

sin φ= -aA , (28)

A=a2+(v0-ba)2u2. (29)

При затухающих колебаниях амплитуда уменьшается с течением времени, поэтому ГП не достигнет конца канала.

Будем решать эту проблему посредством сообщения ГП начальной скорости v0, которая бы обеспечивала ему в конце канала скорость vτ=0.

Тогда конечные условия будут иметь вид:

при t=τ xτ=axτ=0 (30)

Подставляя конечные условия (30) в решение (26), получим:

a=Ae-bτsin(uτ+φ) 0=-ba+Aue-bτcos(uτ+φ) (31)

Отсюда найдем:

τ=1blnAulk (32)

При данном выражении для τ из второго выражения (31) найдем:

bu(arccosbk-φ)-ln⁡(Auak)=0 (33)

Эта формула устанавливает неявную зависимость начальной скорости v0 от коэффициента b=μ2m и расстояния a.

Построим поверхность, отображающую зависимость начальной скорости v0 от величин bи а (v0 в метрах в секунду, расскояние а в метрах).

Из рисунка видно, что начальная скорость v0 пропорциональна степени коэффициента b и линейно пропорциональна расстоянию а.

О верности полученных результатов свидетельствует то, что при b =0 ГП для достижения конца канала не требуется начальная скорость. Этот результат, был получен в задаче, решенной без учета сил трения.

Учет сил вязкого трения и трения скольжения

Рассмотрим задачу о движении ГП с учетом сил вязкого трения и трения скольжения. Найдем уравнение движения тела в канале.

Примем обозначения: AB=2a;OC=l.

Сила трения скольжения:

Fск=fmglR (34)

Сила вязкого трения:

Fвяз=μv (35)

Запишем второй закон Ньютона для данного тела:

ma=F+N+Fск+Fвяз (36)

Проецируя выражение (36) на ось Ox, после преобразований получим дифференциальное уравнение движения ГП

x+2bx+k2x=-k2fl, (37)

где обозначено 2b=μm, k2=gR.

Решение дифференциального уравнения (37) имеет вид:

x=Ae-btsinut+φ-fl x=Ae-bt(ucos(ut+φ)-bsin(ut+φ)), (38)

где u=k2-b2, А и φ – постоянные интегрирования.

Определим их из начальных условий:

при t0=0 x0=-ax0=v0. (39)

Подставим начальные условия (39) в решение (38) и получим:

sin φ= fl-aA , (40)

A=(fl-a)2+v0+bfl-au2. (41)

Из решения (38) видно, что точка при движении из А не доедет до В, поэтому придадим ей такую начальную скорость v0, что бы в точке А ее скорость была равна нулю.

Подставим в решение (38) конечные условия:

при t=τ xτ=axτ=0. (42)

Тогда получим:

a=Ae-bτsinuτ+φ-fl 0=-b(a+fl)+Aue-bτcos(uτ+φ), (43)

Отсюда выражаем τ:

τ=1blnAuk(a+fl) (44)

Подставляя (44) во второе выражение в системе (43), найдем:

bu(arccosbk-φ)-lnAuk(a+fl)=0 (45)

Из выражения (45) выразить начальную скорость v0 в явном виде невозможно, однако очевидно, что она зависит от трех величин: коэффициентов b и fи расстояния a.

Для того, что бы увидеть зависимость начальной скорости v0 от этих трех величин, построим две поверхности: зависимость начальной скорости v0 от коэффициентов b и fпри расстояниях a, например, равным 1000 (рисунок 9) и 2000 (рисунок 10) километров:

Из рисунков 9 и 10 следует, что начальная скорость v0 пропорциональна произведению корней коэффициента трения скольжения f и коэффициента b. При сопоставлении рисунков 9 и 10 видно, что по мере увеличения расстояния a быстрота изменения начальной скорости v0 возрастает.

О верности полученных результатов свидетельствует то, что при f =0 и b=0 для достижения конца канала ГП не требуется начальная скоростью.

Выводы

1. При учете трения скольжения:

- время движения ГП по каналу τ нелинейно зависит от коэффициента трения скольжения f и длины канала 2а (рисунок 5, формула (21)). При одновременном увеличении f и а время движения по каналу τ убывает.

На начальных интервалах параметров f и а убывание времени τ более существенное.

- начальная скорость v0, позволяющая ГП достигнуть конца канала определяется по формуле (20), зависит нелинейно от коэффициента трения скольжения f и длины канала 2a (рисунок 4).

2) При учете вязкого трения:

- начальная скорость v0, позволяющая ГП достигнуть конца канала, задана неявно в выражении (33). Она зависит нелинейно от коэффициента bи линейно от полудлины канала a (рисунок 7).

3) При учете трения скольжения и вязкого трения:

- начальная скорость v0, позволяющая ГП достигнуть конца канала, задана неявно в выражении (45). Ее зависимость от коэффициентов bи f носит степенной характер (рисунки 9,10). Сопоставление рисунков 9 и 10, построенных для 2a= 1000 (рисунок 9) и 2a= 2000 (рисунок 10) километров, показывает, что с увеличением длины канала 2aвозрастает быстрота изменения начальной скорости v0 в зависимости от коэффициентов bи f.

Библиографический список

1. Информационные ресурсы и услуги // «Правда-TV»: [сайт]. – М., [2013]. – Режим доступа : http : //www.pravda-tv.ru/

2. Информационные ресурсы и услуги // Свободная энциклопедия «Википедия»: [сайт]. – М., [2013]. – Режим доступа : http : //ru.wikidedia.org/

3. Сборник материалов XVII научно-образовательной конференции студентов ТюмГАСУ/ П.Д. Белоконь// Тюмень: РИО ФГБОУ «ТюмГАСУ» , 2013, С. 26-30

4. Сборник материалов XVII научно-образовательной конференции студентов ТюмГАСУ/ В.Н. Винокуров// Тюмень: РИО ФГБОУ «ТюмГАСУ» , 2013, С. 47-51

5. Тарг С.М. Краткий курс теоритической механики: Учеб. Для втузов / Тарг С.М. - 12-е изд., стер – М.:Высш. Шк., 2002. – 416 с.

6. Яблонский А.А. Курс теоритической механики: Учеб. Для втузов в 2 ч. Ч. 1. / Яблонский А.А. Никифорова В.М. - 18-е изд., стер. – М.: Высш. Шк., 1966. – 439 с.

Код для цитирования: Скопировать