V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

В последние годы резко возросла добыча полезных ископаемых таких как нефть, газ, уголь и пр., в связи с чем увеличилось число горных выработок различного назначения. Так как нефть и газ относятся к невозобновляемым ресурсам то их добыча оказывается все больше и больше сопряжена с затратами и различными рисками, которые должны быть максимально минимизированы. Одним из таких рисков является неустойчивость стенок выработки, которая может угрожать безопасности труда, а также сохранности оборудования и ресурсов. В связи с этим особо остро встает вопрос о поддержании устойчивости горного массива и сохранения контуров выработок. Кроме того как, отмечено в работе [1], актуальность этой проблемы подчеркивается также тем, что отработанные горные выработки (особенно в соляных отложениях) могут быть использованы для захоронения и временного хранения использованного ядерного топлива, что в ядерную эру становится просто необходимым. Для разработки методов поддержания контуров выработок и скважин требуется знание напряженного состояние в массиве вблизи названных выработок и скважин, которое возникает вследствие нарушения целостности природного массива.

Долгие годы считалось, что задача по определению напряженного состояния вокруг выработки сводится к задаче Ламе для бесконечной трубы. Согласно ее решению вертикальные нормальные напряжения, возникающие в результате действия горного давления, не зависят от расстояния до контура выработки и равны геостатическому напряжению -Pатм-ρgh, где ρ-усредненная плотность горных пород h-расстояние от дневной поверхности до рассматриваемого сечения, g - ускорение свободного падения [2].

По данным, приведенным в работе [3], экспериментальными исследованиями установлено, что вертикальные нормальные напряжения при удалении от стенок скважины не остаются постоянными. Кроме того, при нефтедобыче имеет место следующий факт: при бурении скважины сначала при достижении нефтеносного пласта возникает значительный приток нефти, который затем, по мере углубления скважины уменьшается, так что в дальнейшем не удается получить промышленный приток. Эти факты не могут быть объяснены с точки зрения традиционной картины распределения напряжений в массиве горных пород, реальная картина может быть получена путем численного моделирования напряженного состояния вокруг выработки конечной глубины.

Пусть имеется горная цилиндрическая выработка в однородном упругом изотропном тяжелом полупространстве. Поскольку выработка в сечении имеет окружность, и в рассматриваемом полупространстве действует только сила тяжести, параллельная оси симметрии, то данная задача осесимметрична, т.е. распределение напряжений в каждой плоскости, проходящей через ось симметрии, будет одинаковым.

Согласно экспериментальным исследованиям максимальное расстояние, на котором сказывается влияние горной выработки на распределение напряжений, равно пяти-шести радиусам выработки, поэтому ограничимся вместо рассмотрения упругого полупространства исследованием упругого толстостенного цилиндра радиусом R2=7R1 и высотой 54 H, где R1 – радиус горной выработки, H- глубина горной выработки. Такая замена позволяет нам использовать метод конечных разностей для решения уравнений равновесия в перемещениях.

Введем цилиндрическую систему координат r, θ, z (Рис. 1). Начало координат поместим в центре нижнего основания толстостенного цилиндра, ось z направим вертикально вверх по оси выработки.

Обозначим w1(r,θ,z), w2(r,θ,z),w3(r,θ,z)- перемещения в радиальном, тангенциальном, и вертикальных направлениях соответственно. В силу осесимметричности задачи

w1r,θ,z≡w1r,z, w2r,θ,z≡0,w3r,θ,z≡w3r,z.

Для удобства переобозначим перемещения: w1 как U, а w3 как W. Для нахождения напряжений имеем следующие уравнения [4, стр.82]:

σr= λ(∂U∂r+Ur+∂W∂z)+2μ∂U∂r

σθ= λ(∂U∂r+Ur+∂W∂z)+2μUr

σz= λ(∂U∂r+Ur+∂W∂z)+2μ∂W∂z

τrθ= 0

τrz= μ(∂W∂r+∂U∂z)

τθz= 0

U и W находим из следующей системы:

1-ν1r∂U∂r-Ur2+∂2U∂r2+(1-2ν)2∂2U∂z2+12∂2W∂r∂z=0121r∂U∂z+∂2U∂r∂z+1-2ν21r∂W∂r+∂2W∂r2+1-ν∂2W∂z2=ρg1+ν(1-2ν)E

которую решаем при следующих граничных условиях:

1) нижнее основание условно выделяемого толстостенного цилиндра (z=0):

U=0, W=0;

2) внешняя поверхность условно выделяемого толстостенного цилиндра (r=R2):

σz=-Pатм-ρg(H-z), U=0;

3)дневная поверхность (z= 54 H, R1≤r≤R2):

σz=-Pатм, τrz=0;

4) cтенки цилиндрической выработки (r=R1,14H≤z≤54H )

σr=-Pатм, τrz=0;

5) торец выработки (z= 14 H,0≤r≤R1):

σz=-Pатм, τrz=0;

6) центр условно выделяемого толстостенного цилиндра (r=0, 0≤z≤14H ):

τrz=0, U=0.

Выбранные краевые условия достаточно простоты и отражают реальной физическую картину. Все дальнейшие результаты получены в предположении выполнения этих граничных условий (при других условиях результаты могут отличаться).

Данную краевую задачу будем решать методом конечных разностей. Покроем область нахождения решения 0≤z≤54H, 0≤r≤R2 прямоугольной равномерной сеткой узлов (рис.2) 0≤i≤N+1, 0≤j≤M+1с шагом h1 по r и h2 по z:

h1=7R1N+1, h2=5H4(M+1).

Таким образом, мы дополнили нашу область фиктивными точками: 0≤i≤n-1, m+2≤j≤M+1. Будем предполагать в этих точках перемещения равными нулю. При этом узлы 1≤i≤N, 1≤j≤m и n+1≤i≤N, m+1≤j≤M – внутренние узлы; узлы 1≤i≤N, j=0; 1≤j≤M, i=N+1; n+1≤i≤N, j=M+1;m+2≤j≤M i=n; 1≤i≤n-1, j=m+1; 1≤j≤m, i=0 – граничные узлы; узлы i=0,j=0;i=N+1,j=0;i=N+1,j=M+1;i=n,j=M+1;i=n,j=m+1;i=0,j=m+1- угловые узлы.

Каждому узлу сетки с индексами (i,j) соответствуют две неизвестные величины Ui j и Wij. Для каждого узла записываем два уравнения: для внутренних условий – разностные аналоги уравнений равновесия, для граничных - разностные аналоги граничных условий, для фиктивных узлов - условие равенство нулю перемещений. Уравнения для внутренних и внешних узлов имеют определенный физический смысл, для угловых узлов такой определенности нет. Для того чтобы замкнуть систему уравнений, воспользуемся уравнением линейной экстраполяции для угловых узлов.

Разностная схема, с помощью которой была решена система уравнений равновесия, взята из работы [2, стр.21] и в данной статье не приводится.

Полученная система была решена при помощи пакета для математических вычислений Matlab R2012b для следующих значений параметров: количество точек разбиения по r и по z одинаково равно 80, радиус цилиндрической выработки R1=0,1 м, глубина выработки H=800 м, ρ=2400кгм3, E=3⋅108 Па, ν=0,25.

В соответствии с теорией механического подобия [5,стр.468], для обеспечения подобия при моделировании равновесия упругих систем достаточно выполнить условие: ρgH=const. В связи с этим для расчетов брались следующие значения параметров: радиус цилиндрической выработки R1=0,1 м, глубина выработки H=0,8 м, ρ=2,4⋅106кгм3, E=3⋅108 Па, ν=0,25.

Проанализируем полученные результаты на примере σz (Рис.3). Для σz на слоях вдали от торца наблюдается разгрузка, т.е. напряжения по абсолютной величине убывают при приближении к поверхности выработки, физически это можно объяснить снижением плотности материала.

На слоях вблизи торца наблюдается нагрузка, т.е. напряжения по абсолютной величине возрастают при приближении к границе выработки, что обусловливается влиянием торца. Таким образом, вблизи торца наблюдается зона повышенных напряжений.

Данная статья написана на основе курсовой работы по теме: «Численное моделирование напряженного состояния вокруг цилиндрической выработки в упругом массиве» выполненной под руководством к.ф.-м.н. профессора Прокопьева В.П. на кафедре механики и математического моделирования ИМКН УрФУ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кононова Н.С. - Геомеханическое обоснование устойчивости горных выработок в соляных и ледовых отложениях, 2004.

2. Макаров Л.В., Прокопьев В.П. - Напряженное состояние горных пород вокруг вертикальных цилиндрических выработок конечной глубины, «Горный журнал», 1978, №8.

3. Андреева О.Д., Макаров Л.В., Прокопьев В.П. – Об устойчивости стенок полости в тяжелом упруго-пластичном массиве, «Устойчивость и нелинейные колебания», УрГУ, 1983.

4. Амензаде Ю.А. Теория упругости, Москва, Высшая школа, 1971.

5. Седов Л.И. - Механика сплошных сред, том I. Наука, Москва, 1976.

6. Седов Л.И. - Механика сплошных сред, том II. Наука, Москва, 1976.

7. Самарский А.А. – Теория разностных схем. Наука, Москва, 1977.

Код для цитирования: Скопировать